人教B版選修22 1.3.3 導數的實際應用 課件（53張）.pptx

1 3 3導數的實際應用 第一章 1 3導數的應用 學習目標1 了解導數在解決實際問題中的作用 2 掌握利用導數解決簡單的實際生活中的優(yōu)化問題 題型探究 知識梳理 內容索引 當堂訓練 知識梳理 知識點生活中的最優(yōu)化問題 1 最優(yōu)化問題的概念在經濟生活中 為使經營利潤 生產效率 或為使用力 用料 消耗等 需要尋求相應的最佳方案或最佳策略 這些都是最優(yōu)化問題 2 解決最優(yōu)化問題的基本步驟 1 分析實際問題中各量之間的關系 寫出實際問題中變量之間的函數關系y f x 2 求導函數f x 解方程f x 0 3 比較函數在區(qū)間端點和極值點處的函數值的大小 最大的一個為最大值 最小的一個為最小值 4 依據實際問題的意義給出答案 最大 最高 最省 最少 最省 題型探究 類型一平面幾何中的最值問題 解答 例1如圖所示 在二次函數f x 4x x2的圖象與x軸所圍成圖形中有一個內接矩形abcd 求這個矩形面積的最大值 解設點b的坐標為 x 0 且0 x 2 f x 4x x2圖象的對稱軸為x 2 點c的坐標為 4 x 0 bc 4 2x ba f x 4x x2 矩形面積為y 4 2x 4x x2 16x 12x2 2x3 y 16 24x 6x2 2 3x2 12x 8 平面圖形中的最值問題一般涉及線段 三角形 四邊形等圖形 主要研究與面積相關的最值問題 一般將面積用變量表示出來后求導數 求極值 從而求最值 反思與感悟 跟蹤訓練1某市在市內主干道北京路一側修建圓形休閑廣場 如圖 圓形廣場的圓心為o 半徑為100m 并與北京路一邊所在直線l相切于點m 點a為上半圓弧上一點 過點a作l的垂線 垂足為點b 市園林局計劃在 abm內進行綠化 設 abm的面積為s 單位 m2 aon 單位 弧度 1 將s表示為 的函數 解答 解由題干圖知bm aosin 100sin ab mo aocos 100 100cos 則s mb ab 100sin 100 100cos 5000 sin sin cos 0 2 當綠化面積s最大時 試確定點a的位置 并求最大面積 解答 解s 5000 2cos2 cos 1 5000 2cos 1 cos 1 即點a到北京路一邊l的距離為150m 類型二立體幾何中的最值問題 解答 例2某企業(yè)擬建造如圖所示的容器 不計厚度 長度單位 米 其中容器的中間為圓柱體 左右兩端均為半球體 按照設計要求容器的體積為立方米 假設該容器的建造費用僅與其表面積有關 已知圓柱體部分每平方米建造費用為3千元 半球體部分每平方米建造費用為4千元 設該容器的總建造費用為y千元 1 將y表示成r的函數 并求該函數的定義域 兩端兩個半球的表面積之和為4 r2 解答 2 確定r和l為何值時 該容器的建造費用最小 并求出最小建造費用 令y 0 得0 r 2 所以當r 2米時 該容器的建造費用最小 為96 千元 解答 引申探究本例中 若r 0 1 求最小建造費用 解由例2 2 可知 當r 1時 ymin 136 最小建造費用為136 萬元 1 立體幾何中的最值問題往往涉及空間圖形的表面積 體積 在此基礎上解決與實際相關的問題 2 解決此類問題必須熟悉簡單幾何體的表面積與體積公式 如果已知圖形是由簡單幾何體組合而成 則要分析其組合關系 將圖形進行拆分或組合 以便簡化求值過程 反思與感悟 跟蹤訓練2現需要設計一個倉庫 它由上下兩部分組成 上部的形狀是正四棱錐p a1b1c1d1 下部的形狀是正四棱柱abcd a1b1c1d1 如圖所示 并要求正四棱柱的高o1o是正棱錐的高po1的4倍 1 若ab 6m po1 2m 則倉庫的容積是多少 解答 解由po1 2m知 o1o 4po1 8m 因為a1b1 ab 6m 正四棱柱abcd a1b1c1d1的體積v柱 ab2 o1o 62 8 288 m3 所以倉庫的容積v v錐 v柱 24 288 312 m3 2 若正四棱錐的側棱長為6m 則當po1為多少時 倉庫的容積最大 解答 解設a1b1 am po1 hm 則0 h 6 o1o 4hm 連接o1b1 即a2 2 36 h2 類型三實際生活中的最值問題 例3已知一家公司生產某種品牌服裝的年固定成本為10萬元 每生產1千件需另投入2 7萬元 設該公司一年內生產該品牌服裝x千件并全部銷售完 每千件的銷售收入為r x 萬元 且r x 1 求年利潤w 萬元 關于年產量x 千件 的函數解析式 解答 命題角度1利潤最大問題 解當0 x 10時 2 當年產量為多少千件時 該公司在這一品牌服裝的生產中所獲得的年利潤最大 并求出最大值 解答 解當年產量為9千件時 該公司在這一品牌服裝的生產中所獲得的年利潤最大 最大利潤為38 6萬元 解決此類有關利潤的實際應用題 應靈活運用題設條件 建立利潤的函數關系 常見的基本等量關系有 1 利潤 收入 成本 2 利潤 每件產品的利潤 銷售件數 反思與感悟 跟蹤訓練3某商場銷售某種商品的經驗表明 該商品每日的銷售量y 單位 千克 與銷售價格x 單位 元 千克 滿足關系式y(tǒng) 10 x 6 2 其中3 x 6 a為常數 已知當銷售價格為5元 千克時 每日可售出該商品11千克 1 求a的值 解答 所以a 2 2 若該商品的成本為3元 千克 試確定銷售價格x的值 使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大 解答 所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為 2 10 x 3 x 6 2 3 x 6 從而f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 由上表可知 x 4是函數f x 在區(qū)間 3 6 內的極大值點 也是最大值點 所以當x 4時 函數f x 取得最大值 且最大值等于42 答當銷售價格為4元 千克時 商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大 于是 當x變化時 f x f x 的變化情況如下表 解答 例4有甲 乙兩個工廠 甲廠位于一直線河岸的岸邊a處 乙廠與甲廠在河的同側 乙廠位于離河岸40km的b處 乙廠到河岸的垂足d與a相距50km 兩廠要在此岸邊合建一個供水站c 從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為3a元 km和5a元 km 問供水站c建在岸邊何處才能使水管費用最省 命題角度2費用 用材 最省問題 解如圖 由題意知 只有點c位于線段ad上某一適當位置時 才能使總費用最省 設點c距點d為xkm 又設總的水管費用為y元 令y 0 解得x 30 在 0 50 上 y只有一個極值點 根據問題的實際意義 函數在x 30km處取得最小值 此時ac 50 x 20 km 供水站建在a d之間距甲廠20km處 可使水管費用最省 1 用料最省 成本最低問題是日常生活中常見的問題之一 解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象 正確書寫函數表達式 準確求導 結合實際作答 2 利用導數的方法解決實際問題 當在定義區(qū)間內只有一個點使f x 0時 如果函數在這點有極大 小 值 那么不與端點值比較 也可以知道在這個點取得最大 小 值 反思與感悟 跟蹤訓練4為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗 房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層 某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層 每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元 該建筑物每年的能源消耗費用c 單位 萬元 與隔熱層厚度x 單位 cm 滿足關系 c x 0 x 10 若不建隔熱層 每年能源消耗費用為8萬元 設f x 為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和 1 求k的值及f x 的表達式 解答 解設隔熱層厚度為xcm 而建造費用為c1 x 6x 因此得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為 2 隔熱層修建多厚時 總費用f x 達到最小 并求最小值 解答 當00 答當隔熱層修建5cm厚時 總費用達到最小值為70萬元 當堂訓練 1 方底無蓋水箱的容積為256 則最省材料時 它的高為a 4b 6c 4 5d 8 答案 2 3 4 5 1 解析 2 3 4 5 1 解析設底面邊長為x 高為h 則v x x2 h 256 令s x 0 解得x 8 判斷知當x 8時 s x 取得最小值 2 某產品的銷售收入y1 萬元 是產品x 千臺 的函數 y1 17x2 生產總成本y2 萬元 也是x的函數 y2 2x3 x2 x 0 為使利潤最大 應生產a 9千臺b 8千臺c 6千臺d 3千臺 答案 2 3 4 5 1 解析 解析構造利潤函數y y1 y2 18x2 2x3 x 0 y 36x 6x2 由y 0 得x 6 x 0舍去 x 6是函數y在 0 上唯一的極大值點 也是最大值點 2 3 4 5 1 答案 解析 3 將一段長100cm的鐵絲截成兩段 一段彎成正方形 一段彎成圓形 當正方形與圓形面積之和最小時 圓的周長為 cm 2 3 4 5 1 解析設彎成圓形的一段鐵絲長為x 則另一段長為100 x 設正方形與圓形的面積之和為s 2 3 4 5 1 4 某廠生產某種產品x件的總成本 單位 元 為c x 1200 x3 且產品單價的平方與產品件數x成反比 若生產100件這樣的產品 單價為50元 則要使總利潤最大 產量應定為 件 解析 答案 2 3 4 5 1 25 解析設產品單價為a元 因為產品單價的平方與產品件數x成反比 即a2x k k為比例系數 2 3 4 5 1 由y 0 得x 25 當x 0 25 時 y 0 當x 25 時 y 0 所以當x 25時 y取得最大值 故要使總利潤最大 產量應定為25件 2 3 4 5 1 5 某公司租地建倉庫 每月土地占用費y1 單位 萬元 與倉庫到車站的距離成反比 而每月庫存貨物的運費y2 單位 萬元 與到車站的距離成正比 如果在距離車站10千米處建倉庫 這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元 那么 要使這兩項費用之和最小 倉庫應建在離車站 千米處 解析 答案 5 令y 0 得x 5 x 5舍去 此點即為最小值點 故當倉庫建在離車站5千米處時 兩項費用之和最小 2 3 4 5 1 規(guī)律與方法 1 利用導數解決生活中最優(yōu)化問題的基本思路解應用題首先要在閱讀材料 理解題意的基礎上 把實際問題抽象成數學問題 利用數學