人教B版選修45 證明不等式的基本方法三反證法與放縮法 學(xué)案.doc

三 反證法與放縮法1不等式的證明方法反證法(1)反證法證明的定義：先假設(shè)要證明的命題不成立，然后由此假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不成立，從而證明原命題成立(2)反證法證明不等式的一般步驟：假設(shè)命題不成立；依據(jù)假設(shè)推理論證；推出矛盾以說明假設(shè)不成立，從而斷定原命題成立2不等式的證明方法放縮法(1)放縮法證明的定義：證明不等式時(shí)，通常把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達(dá)到證明的目的(2)放縮法的理論依據(jù)主要有：不等式的傳遞性；等量加不等量為不等量；同分子(分母)異分母(分子)的兩個(gè)分式大小的比較利用反證法證明不等式已知f(x)x2pxq，求證：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于.“不小于”的反面是“小于”，“至少有一個(gè)”的反面是“一個(gè)也沒有”(1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.(2)假設(shè)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，則|f(1)|2|f(2)|f(3)|2.而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)2矛盾，|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于.(1)反證法適用范圍：凡涉及不等式為否定性命題，唯一性、存在性命題可考慮反證法如證明中含“至多”“至少”“不能”等詞語的不等式(2)注意事項(xiàng)：在對原命題進(jìn)行否定時(shí)，應(yīng)全面、準(zhǔn)確，不能漏掉情況，反證法體現(xiàn)了“正難則反”的策略，在解題時(shí)要靈活應(yīng)用1實(shí)數(shù)a，b，c不全為0的等價(jià)條件為()aa，b，c均不為0ba，b，c中至多有一個(gè)為0ca，b，c中至少有一個(gè)為0da，b，c中至少有一個(gè)不為0解析：選d“不全為0”是對“全為0”的否定，與其等價(jià)的是“至少有一個(gè)不為0”2證明：三個(gè)互不相等的正數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，則a，b，c不可能成等比數(shù)列證明：假設(shè)a，b，c成等比數(shù)列，則b2ac.又a，b，c成等差數(shù)列，abd，cbd(其中d為公差)acb2(bd)(bd)b2b2d2.d20，d0.這與已知中a，b，c互不相等矛盾假設(shè)不成立a，b，c不可能成等比數(shù)列3已知函數(shù)yf(x)在r上是增函數(shù)，且f(a)f(b)f(b)f(a)，求證：ab.證明：假設(shè)ab.當(dāng)ab時(shí)，ab，則有f(a)f(b)，f(a)f(b)，于是f(a)f(b)f(b)f(a)，與已知矛盾當(dāng)ab時(shí)，af(b)，f(b)f(a)，于是有f(a)f(b)f(b)f(a)，與已知矛盾故假設(shè)不成立a(xyz)解答本題可對根號(hào)內(nèi)的式子進(jìn)行配方后再用放縮法證明 x.同理可得：y，z，由于x，y，z不全為零，故上述三式中至少有一式取不到等號(hào)，所以三式相加，得(xyz)(1)利用放縮法證明不等式，要根據(jù)不等式兩端的特點(diǎn)及已知條件(條件不等式)，審慎地采取措施，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆趴s，任何不適宜的放縮都會(huì)導(dǎo)致推證的失敗(2)一定要熟悉放縮法的具體措施及操作方法，利用放縮法證明不等式，就是采取舍掉式中一些正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)，或者在分式中放大或縮小分子、分母，或者把和式中各項(xiàng)或某項(xiàng)換以較大或較小的數(shù)，從而達(dá)到證明不等式的目的4設(shè)n是正整數(shù)，求證：1.證明：由2nnkn(k1,2，n)，得.當(dāng)k1時(shí)，當(dāng)k2時(shí)，當(dāng)kn時(shí)，.將以上n個(gè)不等式相加，得1.5設(shè)f(x)x2x13，a，b，求證：|f(a)f(b)|ab|.證明：|f(a)f(b)|a2ab2b|(ab)(ab1)|ab|ab1|.0a1,0b1，0ab2，1ab11，|ab1|1.|f(a)f(b)|ab|.課時(shí)跟蹤檢測(八)1設(shè)a，b，cr，pabc，qbca，rcab，則“pqr0”是“p，q，r同時(shí)大于零”的()a充分而不必要條件 b必要而不充分條件c充要條件 d既不充分也不必要條件解析：選c必要性是顯然成立的；當(dāng)pqr0時(shí)，若p，q，r不同時(shí)大于零，則其中兩個(gè)為負(fù)，一個(gè)為正，不妨設(shè)p0，q0，r0，則qr2c0，這與c0矛盾，即充分性也成立2若|ac|h，|bc|h，則下列不等式一定成立的是()a|ab|2hc|ab|h解析：選a|ab|(ac)(bc)|ac|bc|0，y0，xy222(1)4對“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，給出下列判斷：(ab)2(bc)2(ca)20；ab與ab與a1.求證：a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)證明：假設(shè)a，b，c，d都是非負(fù)數(shù)由abcd1知a，b，c，d從而ac，bd，acbd1，即acbd1，與已知acbd1矛盾，a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)9已知an(nn*)求證：ann，an123n.，an(123n).綜上得an.10已知f(x)ax2bxc，若ac0，f(x)在上的最大值為2，最小值為.求證：a0且2.證明：假設(shè)a0或2.當(dāng)a0時(shí)，由ac0，得f(x)bx，顯然b0.由題意得f(x)bx在上是單調(diào)函數(shù)，所以f(x)的最大值為|b|，最小值為|b|.由已知條件得|b|(|b|)2，這與|b|(|b|)0相矛盾，所以a0.當(dāng)2時(shí)，由二次函數(shù)的對稱軸為x，知f(x)在上是單調(diào)函數(shù)，故其最值在區(qū)間的端點(diǎn)處取得 .所以或又ac0，則此時(shí)b無解，所以2.由，得a0且2.本講高考熱點(diǎn)解讀與高頻考點(diǎn)例析考情分析從近兩年的高考試題 看，不等式的證明主要考查比較法與綜合法，而比較法多用作差比較，綜合法主要涉及基本不等式與不等式的性質(zhì)，題目難度不大，屬中檔題在證明不等式時(shí)，要依據(jù)命題提供的信息選擇合適的方法與技巧進(jìn)行證明如果已知條件與待證結(jié)論之間的聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證的命題以“至少”“至多”“恒成立”等方式給出，可考慮用反證法在必要的情況下，可能還需要使用換元法、放縮法、構(gòu)造法等技巧簡化對問題的表述和證明真題體驗(yàn)1(全國甲卷)已知函數(shù)f(x)，m為不等式f(x)2的解集(1)求m；(2)證明：當(dāng)a，bm時(shí)，|ab|1ab|.(1)解：f(x)當(dāng)x時(shí)，由f(x)2得2x1；當(dāng)x時(shí)，f(x)2恒成立；當(dāng)x時(shí)，由f(x)2得2x2，解得x1.所以f(x)2的解集mx|1x1(2)證明：由(1)知，當(dāng)a，bm時(shí)，1a1，1b1，從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|cd，則；(2)是|ab|cd，得()2()2.因此.(2)必要性：若|ab|cd|，則(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)，得.充分性：若，則()2()2，即ab2cd2.因?yàn)閍bcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|是|ab|cd|的充要條件比較法證明不等式比較法證明不等式的依據(jù)是：不等式的意義及實(shí)數(shù)比較大小的充要條件作差比較法證明的一般步驟是：作差；恒等變形；判斷結(jié)果的符號(hào)；下結(jié)論其中，變形是證明推理中一個(gè)承上啟下的關(guān)鍵，變形的目的在于判斷差的符號(hào)，而不是考慮差能否化簡或值是多少，變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法已知b，m1，m2都是正數(shù)，ab，m1m2，求證：0，m1，m20，所以(bm1)(bm2)0.又ab，所以ab0.因?yàn)閙10.從而(ab)(m2m1)0.于是0.所以0，b0，ab1.求證：8.a0，b0，ab1.1ab2，.4.(ab)2248.8.分析法證明不等式分析法證明不等式的依據(jù)也是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論分析法證明不等式的思維方向是“逆推”，即由待證的不等式出發(fā)， 逐步尋找使它成立的充分條件(執(zhí)果索因)，最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式當(dāng)要證的不等式不知從何入手時(shí)，可考慮用分析法去證明，特別是對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更為有效分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，而綜合法是“由因?qū)Ч?，逐步推?dǎo)出不等式成立的必要條件，兩者是對立統(tǒng)一的兩種方法一般 說，對于較復(fù)雜的不等式，直接用綜合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法可結(jié)合使用已知ab0.求證：. 要證，只需證，只需證()2()2，只需證aabb2，只需證0b0，上式顯然成立，原不等式成立，即90，d是bc的中點(diǎn)求證：adbc，因?yàn)閎ddcbc，所以在abd中，adbd，從而bbad.同理ccad.所以bcbadcad.即bca.因?yàn)閎c180a，所以180aa，即a90，與已知矛盾故adbc不成立由知adbc成立.放縮法證明不等式放縮法是