人教B版選修45 柯西不等式與排序不等式及其應用 章末分層突破 學案.doc

章末分層突破自我校對向量代數(shù) 利用柯西不等式證明簡單不等式柯西不等式形式優(yōu)美、結構易記，因此在解題時，根據(jù)題目特征，靈活運用柯西不等式，可證明一些簡單不等式.已知a，b，c是實數(shù)，且abc1，求證：4.【精彩點撥】設m(，)，n(1,1,1)，利用柯西不等式的向量形式證明，或把式子左邊補上系數(shù)1，直接利用柯西不等式求解.【規(guī)范解答】法一：因為a，b，c是實數(shù)，且abc1，令m(，)，n(1,1,1).則|mn|2()2，|m|2|n|23(13a1)(13b1)(13c1)313(abc)348.|mn|2|m|2|n|2，()248，4.法二：由柯西不等式得()2(121212)(13a1)(13b1)(13c1)313(abc)348，4.再練一題1.設正數(shù)a，b，c滿足abcabc，求證：ab4bc9ac36，并給出等號成立的條件.【證明】由abcabc，得1.由柯西不等式，得(ab4bc9ac)(123)2，所以ab4bc9ac36，當且僅當a2，b3，c1時，等號成立.排序原理在不等式證明中的應用應用排序不等式的技巧在于構造兩個數(shù)組，而數(shù)組的構造應從需要入手 設計，這一點應從所要證的式子的結構觀察分析，再給出適當?shù)臄?shù)組.已知a，b，c為正數(shù)，求證：abc. 【導學號：38000050】【精彩點撥】不妨設abc0，則a2b2c2，根據(jù)不等式的特點，利用排序不等式證明.【規(guī)范解答】由于不等式關于a，b，c對稱，可設abc0.于是a2b2c2，.由排序不等式，得反序和亂序和，即a2b2c2a2b2c2，及a2b2c2a2b2c2.以上兩個同向不等式相加再除以2，即得原不等式.再練一題2.在abc中，ha，hb，hc為邊長a，b，c的高，求證：asin absin bcsin chahbhc.【證明】不妨設abc，則對應的角abc，a，b，c(0，)，sin asin bsin c.由排序原理得asin absin bcsin casin bbsin ccsin a.在abc中，asin bhc，bsin cha，csin ahb，asin absin bcsin chahbhc.利用柯西不等式、排序不等式求最值有關不等式問題往往要涉及到對式子或量的范圍的限制，柯西不等式、排序不等式為我們通過不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等號的條件能否滿足.已知實數(shù)x，y，z滿足x24y29z2a(a0)，且xyz的最大值是7，求a的值.【精彩點撥】由x24y29z2x2(2y)2(3z)2，xyzx2y3z，聯(lián)想到柯西不等式求解.【規(guī)范解答】由柯西不等式：x2(2y)2(3z)2.因為x24y29z2a(a0)，所以a(xyz)2，即xyz.因為xyz的最大值是7，所以7，得a36.當x，y，z時，xyz取最大值，所以a36.再練一題3.求實數(shù)x，y的值，使得(y1)2(xy3)2(2xy6)2達到最小值.【解】由柯西不等式，得(122212)(y1)2(3xy)2(2xy6)21(y1)2(3xy)1(2xy6)21，即(y1)2(xy3)2(2xy6)2，當且僅當，即x，y時，上式取等號.故x，y時，(y1)2(xy3)2(2xy6)2達到最小值.已知正實數(shù)x1，x2，xn滿足x1x2xnp，p為定值，求f的最小值.【精彩點撥】不妨設0x1x2xn，利用排序不等式求解.【規(guī)范解答】不妨設00，且0xxx.，為序列(i1,2,3，n)的一個排列，根據(jù)排序不等式，得fxxxx1x2xnp(定值)，當且僅當x1x2xn時等號成立，f的最小值為p.再練一題4.設x1，x2，xn取不同的正整數(shù)， 則m的最小值是() 【導學號：38000051】a.1b.2c.1d.1【解析】設a1，a2，an是x1，x2，xn的一個排列，且滿足a1a2，所以a11123n1.【答案】c利用平均值不等式求最值1.求函數(shù)的最值在利用平均值不等式求函數(shù)最值時.一定要滿足下列三個條件：(1)各項均為正數(shù).(2)“和”或“積”為定值.(3)等號一定能取到，這三個條件缺一不可.2.解決實際問題由于受算術平均與幾何平均定理求最值的約束條件的限制，在求最值時常常需要對解析式進行合理的變形.對于一些分式結構的函數(shù)，當分子中變量的次數(shù)不小于分母中變量的次數(shù)時，通常采用分離變量(或常數(shù))的方法，拼湊出和的形式，若積為定值則可用平均值不等式求解.某種商品原 每件售價為25元，年銷售8萬件.(1)據(jù)市場調查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2 000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？(2)為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定明年對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革，并提高定價到x元.公司擬投入(x2600)萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入x萬元作為浮動宣傳費用.試問：當該商品明年的銷售量a至少應達到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價.【精彩點撥】(1)設每件定價為t元，表示總收入，根據(jù)題意列不等式求解.(2)利用銷售收入原收入總投入，列出不等式，由題意x25，此時不等式求解.【規(guī)范解答】(1)設每件定價為t元，依題意，有t258，整理得t265t1 0000，解得25t40.要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元.(2)依題意，x25時，不等式ax25850(x2600)x有解，等價于x25時，ax有解.x210(當且僅當x30時，等號成立)，a10.2.當該商品明年的銷售量a至少達到10.2萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元.再練一題5.若ab0，則a2的最小值為()a.2b.3c.4d.5【解析】依題意得ab0，所以a2a2a224，當且僅當即a，b時取等號，因此a2的最小值是4，選c.【答案】c思想方法解決數(shù)學問題時，常遇到一些問題直接求解較為困難，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運用恰當?shù)臄?shù)學方法進行變換，將原問題轉化為一個新問題.本章常把要證明的不等式通過換元或配湊等整體應用，把命題轉化為柯西不等式或排序不等式的形式加以解決.已知a，b，c為正數(shù)，求證：.【精彩點撥】將不等式的左邊進行變形，再利用柯西不等式證明.【規(guī)范解答】左端變形111(abc)，只需證此式即可.3(abc)(bc)(ca)(ab)(111)2，3.再練一題6.已知a，b，c為正數(shù)，求證：2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab).【證明】不妨設0abc，則a2b2c2，由排序不等式，得a2ab2bc2ca2bb2cc2a，a2ab2bc2ca2cb2ac2b.以上兩式相加，得2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab).1.若a，b是函數(shù)f(x)x2pxq(p0，q0)的兩個不同的零點，且a，b，2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則pq的值等于()a.6b.7c.8d.9【解析】不妨設ab，由題意得a0，b0，則a，2，b成等比數(shù)列，a，b，2成等差數(shù)列，p5，q4，pq9.【答案】d2.設a，b，m，nr，且a2b25，manb5，則 的最小值為_.【解析】根據(jù)柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，m2n25，的最小值為.【答案】3.已知x0，y0，證明：(1xy2)(1x2y)9xy.【證明】因為x0，y0，所以1xy230,1x2y30，故(1xy2)(1x2y)339xy.4.若a0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并說明理由.【解】(1)由，得ab2，且當ab時等號成立.故a3b324，且當ab時等號成立.所以a3b3的最小值為4.(2)由(1)知，2a3b24.由于46，從而不存在a，b，使得2a3b6.5.(2015福建高考)已知a0，b0，c0，函數(shù)f(x)|xa|xb|c的最小值為4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值.【解】(1)因為f(x)|