第21講推理與證明、數(shù)學(xué)歸納法.doc

第21講 推理與證明、數(shù)學(xué)歸納法考點(diǎn)透析推理與證明、數(shù)學(xué)歸納法合情推理與演繹推理B分析法和綜合法A反證法A數(shù)學(xué)歸納法的原理A數(shù)學(xué)歸納法的簡(jiǎn)單應(yīng)用B知識(shí)整合 1.合情推理與演繹推理(1)了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用。 (2)了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理。(3)了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。 2.直接證明與間接證明(1)了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。 (2)了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。3.數(shù)學(xué)歸納法了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題?？键c(diǎn)自測(cè) 1.（2009江蘇）在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，在空間內(nèi)，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1：2，則它們的體積比為 .2（2009浙江）觀察下列等式：, 由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論：對(duì)于n,_. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3.（2010鹽城二模）請(qǐng)閱讀下列材料：w ww.ks 5u.c om若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，那么證明：構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù)，恒有，所以，從而得，所以根據(jù)上述證明方法，若個(gè)正實(shí)數(shù)滿足時(shí)，你能得到的結(jié)論為 .（不必證明）4. （2010蘇、錫、常、鎮(zhèn)一模）若等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)的和為，則數(shù)列為等差數(shù)列，公差為類似地，若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)的積為，則數(shù)列為等比數(shù)列，公比為 典型例題 高考熱點(diǎn)一：合情推理與演繹推理例1.（2010陜西理）觀察下列等式：，根據(jù)上述規(guī)律，第五個(gè)等式為 .【分析】可以從等式結(jié)構(gòu)出發(fā)，作出類比猜想。變題：（2010蘇南六校聯(lián)合調(diào)研）,，, （其中），則_高考熱點(diǎn)二： 反證法 例2. 若均為實(shí)數(shù)，且.求證：中至少有一個(gè)大于0.【分析】應(yīng)用反證法證明命題，那么怎么假設(shè)呢？ 變題：用反證法證明命題“可以被5整除，那么中至少有一個(gè)能被5整除?！蹦敲醇僭O(shè)的內(nèi)容是 . 高考熱點(diǎn)三： 分析法與綜合法的應(yīng)用 例3. ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，求證：?！痉治觥坑媚姆N證明方法呢？邊、角怎么轉(zhuǎn)化呢？ 變題：用分析法證明：若a0，則。 高考熱點(diǎn)四：數(shù)學(xué)歸納法的簡(jiǎn)單應(yīng)用 例4已知為等差數(shù)列，且，公差.（）試證：；（）根據(jù)（）中的幾個(gè)等式，試歸納出更一般的結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.【分析】從什么角度去歸納一般結(jié)論呢？誤區(qū)分析 問(wèn)題：已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值.解: (a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8,(a+)2+(b+)2的最小值是8.隨堂練習(xí) 1（2010南通二模）將正偶數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列：2468101214161820則第n（n4）行從左向右的第4個(gè)數(shù)為 2（2009浙江文）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則， ， ，成等比數(shù)列3在中，若，則的外接圓半徑，將此結(jié)論拓展到空間，可得出的正確結(jié)論是：在四面體中，若兩兩垂直，則四面體的外接球半徑 4. “AC,BD是菱形ABCD的對(duì)角線，AC,BD互相垂直且平分?！毖a(bǔ)充以上推理的大前提是 .5已知a+b+c=0且abc,求證：.6.已知數(shù)列滿足：，且（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2） 證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，不等式學(xué)力測(cè)評(píng) 1. （2010年江蘇省宿遷二模）無(wú)限循環(huán)小數(shù)為有理數(shù)，如：， 觀察 ， 請(qǐng)你歸納出 2.函數(shù)由下表定義：若，則 3.把數(shù)列依次按第一個(gè)括號(hào)一個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號(hào)兩個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號(hào)三個(gè)數(shù)，第四個(gè)括號(hào)四個(gè)數(shù)，第五個(gè)括號(hào)一個(gè)數(shù)循環(huán)下去，如：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），則第104個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)字之和為 . 4(2009湖南理)將正分割成個(gè)全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2, 3的情形），在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于ABC的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí)）都分別依次成等差數(shù)列.若頂點(diǎn)A ,B ,C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為，則有， ， ， . ABC（1）CAB（2）5.將正奇數(shù)按下表排成5列第1列第2列第3列第4列第5列第1行1357第2行1513119第3行171921232725那么2003應(yīng)該在第 行，第 列.6. (2010莆田模擬) 在平面幾何中，ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比=，把這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐ABCD中（如圖所示），而DEC平分二面角ACDB且與AB相交于E，則得到的類比的結(jié)論是 . 7. (2010南通模擬) 對(duì)于等差數(shù)列有如下命題：“若是等差數(shù)列，是互不相等的正整數(shù)，則有”。類比此命題，給出等比數(shù)列相應(yīng)的一個(gè)正確命題是：_”。8如圖的三角形數(shù)陣中，滿足：（1）第1行的數(shù)為1；（2）第n（n2)行首尾兩數(shù)均為n，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)相加則第n行(n2)中第2個(gè)數(shù)是_（用n表示）.9已知a、b、c是互不相等的非零實(shí)數(shù).若用反證法證明三個(gè)方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根. 10. 請(qǐng)你把不等式“若是正實(shí)數(shù)，則有”推廣到一般情形，并證明你的結(jié)論. 11.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，通項(xiàng)公式為，（1）計(jì)算的值；（2）比較與1的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.12. (2010南通二模)設(shè)數(shù)列an滿足a1a，an1an2a1，（1）當(dāng)a（，2）時(shí)，求證：M；（2）當(dāng)a（0，時(shí)，求證：aM；（3）當(dāng)a（，）時(shí)，判斷元素a與集合M的關(guān)系，并證明你的結(jié)論第21講 推理與證明、數(shù)學(xué)歸納法參考答案考點(diǎn)自測(cè) 1 1:8； 2； 3； 4. 典型例題例1解：【解析】（方法一）所給等式左邊的底數(shù)依次分別為；，右邊的底數(shù)依次分別為（注意：這里），由底數(shù)內(nèi)在規(guī)律可知：第五個(gè)等式左邊的底數(shù)為，右邊的底數(shù)為.又左邊為立方和，右邊為平方的形式，故第五個(gè)等式為.（方法二）易知第五個(gè)等式的左邊為，且化簡(jiǎn)后等于，而，故易知第五個(gè)等式為.變題：例2.解：（用反證法）假設(shè)都不大于0，即，則有，而 =均大于或等于0，這與假設(shè)矛盾，故中至少有一個(gè)大于0。變題：解： a,b中沒(méi)有一個(gè)能被5整除。例3.證明：要證，即需證。即證。又需證，需證ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列。B=60。由余弦定理，有，即。成立，命題得證。變題：用分析法證明：若a0，則。證明：要證，只需證。a0，兩邊均大于零，因此只需證只需證，只需證，只需證，即證，它顯然成立。原不等式成立。例4解：（）略（）結(jié)論： 證：當(dāng)時(shí)，等式成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，那么當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，結(jié)論也成立。綜合知，對(duì)都成立.誤區(qū)分析 分析：上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b22ab，第一次等號(hào)成立的條件是a=b=,第二次等號(hào)成立的條件是ab=，顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的.因此，8不是最小值.正確解答如下：原式= a2+b2+4=( a2+b2)+(+)+4=(a+b)22ab+(+)2+4= (12ab)(1+)+4，由ab()2= 得：12ab1=, 且16，1+17，原式17+4= (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號(hào)成立)，(a + )2 + (b + )2的最小值是.隨堂練習(xí) 1； 2；3 ； 4.菱形對(duì)角線互相垂直且平分；5證明：a+b+c=0且abc， a0，c0 ab2-ac3a2（ac）2ac3a22 a2acc20（2ac）（ac）0a0，c0，a-c0a+b+c=0且ab，aac即2ac0，（2ac）（ac）0成立，故原不等式得證。6. 解：（1）將條件變?yōu)椋?，因此1為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比，從而1，據(jù)此得（n1）（2）證：據(jù)得，為證，只要證nN*時(shí)有顯然，左端每個(gè)因式都是正數(shù)，先證明，對(duì)每個(gè)nN*，有1（）下用數(shù)學(xué)歸納法證明：n1時(shí)，顯然成立；設(shè)nk時(shí)，不等式式成立，即1（），則當(dāng)nk1時(shí)，1（）（）1（）（）1（），即當(dāng)nk1時(shí)，3式也成立。故對(duì)一切nN*，不等式成立。由此得，1（）11，從而結(jié)論成立。 學(xué)力測(cè)評(píng) 1； 24； 32072； 4， 5251,3；6=； 7若是等比數(shù)列，是互不相等的正整數(shù)，則有； 8；9證明：假設(shè)三個(gè)方程中都沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根，則1=4b24ac0，2=4c24ab0，3=4a24bc0.相加有a22ab+b2+b22bc+c2+c22ac+a20，（ab）2+（bc）2+（ca）20. 由題意a、b、c互不相等，式不能成立.假設(shè)不成立，即三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根.10.答案： 推廣的結(jié)論：若 都是正數(shù)， 證明： 都是正數(shù) ， 11.