蘇教版必修4 2.4 第1課時(shí) 向量的數(shù)量積 學(xué)案.docx

第1課時(shí)向量的數(shù)量積學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解平面向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力f的作用下產(chǎn)生位移s所做的功.2.掌握平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律，了解其幾何意義.3.會用兩個(gè)向量的數(shù)量積求兩個(gè)向量的夾角以及判斷兩個(gè)向量是否垂直知識點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積一個(gè)物體在力f的作用下產(chǎn)生位移s，如圖思考1如何計(jì)算這個(gè)力所做的功？思考2力做功的大小與哪些量有關(guān)？梳理平面向量的數(shù)量積(1)已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角是，我們把數(shù)量|a|b|cos 叫做向量a與b的_(或_)，記作ab，即ab|a|b|cos .(2)我們規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為_特別提醒：兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，其大小與兩個(gè)向量的長度及其夾角都有關(guān)，符號由夾角的余弦值的符號決定知識點(diǎn)二兩個(gè)向量的夾角思考把兩個(gè)非零向量的起點(diǎn)移至同一點(diǎn)，那么這兩個(gè)向量構(gòu)成的圖形是什么？梳理兩個(gè)向量的夾角(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，如圖所示作a，b，則aob，稱為向量a與b的夾角(2)范圍：_.(3)當(dāng)_時(shí)，a與b同向；當(dāng)_時(shí)，a與b反向(4)當(dāng)_時(shí)，則稱向量a與b垂直，記作ab.知識點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的幾何意義思考1什么叫做向量b在向量a上的投影？什么叫做向量a在向量b上的投影？思考2向量b在向量a上的投影與向量a在向量b上的投影相同嗎？梳理(1)條件：向量a與b的夾角為.(2)投影：向量b在a方向上的投影|b|cos 向量a在b方向上的投影|a|cos (3)ab的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度|a|與_的乘積知識點(diǎn)四平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律思考1向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果和向量的線性運(yùn)算的結(jié)果有什么區(qū)別？思考2非零向量的數(shù)量積是否可為正數(shù)，負(fù)數(shù)和零，其數(shù)量積的符號由什么來決定？梳理(1)數(shù)量積性質(zhì)當(dāng)a與b同向時(shí)，ab|a|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab|a|b|；當(dāng)ab時(shí)，ab0；aa|a|2或|a|.(2)數(shù)量積的運(yùn)算律abba；(a)ba(b)(ab)ab；(ab)cacbc.類型一求兩向量的數(shù)量積例1已知|a|4，|b|5，當(dāng)(1)ab；(2)ab；(3)a與b的夾角為30時(shí)，分別求a與b的數(shù)量積反思與感悟求平面向量數(shù)量積的步驟是：(1)求a與b的夾角，0，180；(2)分別求|a|和|b|；(3)求數(shù)量積，即ab|a|b|cos ，要特別注意書寫時(shí)a與b之間用實(shí)心圓點(diǎn)“”連結(jié)，而不能用“”連結(jié)，也不能省去跟蹤訓(xùn)練1已知菱形abcd的邊長為a，abc60 ，則_.類型二求向量的模例2已知|a|b|5，向量a與b的夾角為，求|ab|，|ab|.引申探究若本例中條件不變，求|2ab|，|a2b|.反思與感悟此類求解向量模的問題就是要靈活應(yīng)用a2|a|2，即|a|，勿忘記開方跟蹤訓(xùn)練2已知|a|b|5，且|3a2b|5，求|3ab|的值類型三求向量的夾角例3設(shè)n和m是兩個(gè)單位向量，其夾角是60，求向量a2mn與b2n3m的夾角反思與感悟求向量夾角時(shí)，應(yīng)先根據(jù)公式把涉及到的量先計(jì)算出來再代入公式求角，注意向量夾角的范圍是0，跟蹤訓(xùn)練3已知|a|2|b|2，且ab1.(1)求a與b的夾角；(2)求(a2b)b；(3)當(dāng)為何值時(shí)，向量ab與向量a3b互相垂直？1已知|a|8，|b|4，a，b120，則向量b在a方向上的投影為_2設(shè)向量a，b滿足|ab|，|ab|，則ab_.3若ab，c與a及與b的夾角均為60，|a|1，|b|2，|c|3，則(a2bc)2_.4在abc中，|13，|5，|12，則的值是_5已知正三角形abc的邊長為1，求：(1)；(2)；(3).1兩向量a與b的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是一個(gè)向量，其值可以為正(當(dāng)a0，b0，090時(shí))，也可以為負(fù)(當(dāng)a0，b0，90180時(shí))，還可以為0(當(dāng)a0或b0或90時(shí))2兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算，與實(shí)數(shù)乘實(shí)數(shù)、實(shí)數(shù)乘向量的乘法運(yùn)算是有區(qū)別的，在書寫時(shí)一定要把它們嚴(yán)格區(qū)分開來，絕不可混淆3ab|a|b|cos 中，|b|cos 和|a|cos 分別叫做b在a方向上的投影和a在b方向上的投影，要結(jié)合圖形嚴(yán)格區(qū)分4求投影有兩種方法(1)b在a方向上的投影為|b|cos (為a，b的夾角)，a在b方向上的投影為|a|cos .(2)b在a方向上的投影為，a在b方向上的投影為.5兩非零向量a，b，abab0，求向量模時(shí)要靈活運(yùn)用公式|a|.答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一思考1w|f|s|cos .思考2與力的大小、位移的大小及它們之間的夾角有關(guān)梳理(1)數(shù)量積內(nèi)積(2)0知識點(diǎn)二思考角梳理(2)0180(3)0180(4)90知識點(diǎn)三思考1如圖所示，a，b，過b作bb1垂直于直線oa，垂足為b1，則ob1|b|cos .|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影思考2由投影的定義知，二者不一定相同梳理(3)b在a的方向上的投影|b|cos 知識點(diǎn)四思考1向量的線性運(yùn)算結(jié)果是向量，而向量的數(shù)量積是數(shù)量思考2由兩個(gè)非零向量的夾角決定當(dāng)090時(shí)，非零向量的數(shù)量積為正數(shù)當(dāng)90時(shí)，非零向量的數(shù)量積為零當(dāng)90180時(shí)，非零向量的數(shù)量積為負(fù)數(shù)題型探究例1解(1)ab，若a與b同向，則0，ab|a|b|cos 04520；若a與b反向，則180，ab|a|b|cos 18045(1)20.(2)當(dāng)ab時(shí)，90，ab|a|b|cos 900.(3)當(dāng)a與b的夾角為30時(shí)，ab|a|b|cos 304510.跟蹤訓(xùn)練1a2例2解ab|a|b|cos 55.|ab|5.|ab|5.引申探究解ab|a|b|cos 55，|2ab|5.|a2b|5.跟蹤訓(xùn)練2解|3a2b|29|a|212ab4|b|292512ab42532512ab，|3a2b|5，32512ab25，ab25.|3ab|2(3ab)29a26abb292562525400，故|3ab|20.例3解|n|m|1且m與n夾角是60，mn|m|n|cos 6011.|a|2mn|，|b|2n3m|，ab(2mn)(2n3m)mn6m22n26121.設(shè)a與b的夾角為，則cos .又0，故a與b的夾角為.跟蹤訓(xùn)