蘇教版必修三 3.1 隨機事件及其概率 3.1.2 隨機事件的概率 學(xué)案.doc

3.1.2隨機事件的概率案例探究一個地區(qū)從某年起幾年之內(nèi)的新生嬰兒數(shù)及其中的男嬰數(shù)如下：時間范圍1年內(nèi)2年內(nèi)3年內(nèi)4年內(nèi) 新生嬰兒數(shù)n5 5449 60713 52017 190男嬰數(shù)na2 8834 9706 9948 892 （1）計算男嬰出生頻率（保留4位小數(shù)）； （2）這一地區(qū)男嬰出生的概率約是多少？ 解析：（1）計算即得到男嬰出生頻率依次是：0.520 0,0.517 3,0.517 3,0.517 3. （2）由于這些頻率非常接近0.517 3，因而這一地區(qū)男嬰出生的概率約為0.517 3.自學(xué)導(dǎo)引 1在相同的條件下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件a是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件a出現(xiàn)的次數(shù)na為事件a出現(xiàn)的頻數(shù)，比值稱為事件a出現(xiàn)的頻率，記作fn(a). 2對于給定的隨機事件a，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件a發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)上，我們可以用這個常數(shù)來刻畫該隨機事件發(fā)生的可能性大小，把這個常數(shù)稱為事件a的概率，記作p（a）. 3一般地，如果隨機事件a在n次試驗中發(fā)生了m次，當(dāng)試驗的次數(shù)n很大時，我們可以將事件a發(fā)生的頻率作為事件a發(fā)生的概率的近似值，即p（a）. 4從定義中，可以看出隨機事件a的概率滿足0p(a)1.這是因為在n次試驗中，事件a發(fā)生的頻數(shù)m滿足0mn，所以0mn1；當(dāng)a是必然事件時p（a）=1，當(dāng)a是不可能事件時，p（a）=0. 5如何正確理解“頻率”與概率之間的關(guān)系？ 答：隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，這種擺動幅度越來越小.我們給這個常數(shù)取一個名字，叫做這個隨機事件的概率.概率可看做頻率在理論上的期望值，它從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小.頻率在大量重復(fù)試驗的前提下可近似地作為這個事件的概率.疑難剖析 對概念的理解是學(xué)好本節(jié)的關(guān)鍵.概率可以看作頻率在理論上的期望值，而隨機事件的頻率可以看作是其概率的隨機表現(xiàn)；隨機事件的概率是事件固有的，客觀存在的，可以在相同條件下通過大量重復(fù)試驗予以識別和檢驗，而不能以一次或少數(shù)次的試驗結(jié)果下判斷. 【例1】 某射擊運動員進(jìn)行雙向飛碟射擊訓(xùn)練，各次訓(xùn)練的成績記錄如下：射擊次數(shù)100120150100150160150擊中飛碟數(shù)819512382119127121擊中飛碟的頻率 （1）將各次記錄擊中飛碟的頻率填入表中； （2）這個運動員擊中飛碟的概率約為多少？ 思路分析：利用頻率公式依次計算出擊中飛碟的頻率，然后根據(jù)頻率估計出運動員擊中飛碟概率的近似值. 解：（1）射中次數(shù)100，擊中飛碟數(shù)是81，故擊中飛碟的頻率是=0.81，同理可求得下面的頻率依次是0.792,0.820,0.820,0.793,0.794,0.807；（2）擊中飛碟的頻率穩(wěn)定在0.81的附近.故這個運動員擊中飛碟的概率約為0.81. 思維啟示：事件a發(fā)生的頻率記錄的是重復(fù)試驗中事件a發(fā)生后的統(tǒng)計結(jié)果.事件a發(fā)生的概率描述的是事件a發(fā)生的可能性的大小，兩者是不同的概念，但在大量的試驗結(jié)果面前，可用頻率近似表示概率.事件a的頻率可有小幅變化和波動，但其概率是一個常數(shù).【例2】 用一臺自動機床加工一批螺母，從中抽出100個逐個進(jìn)行直徑檢驗，結(jié)果如下： 直徑個數(shù)6.88d6.8916.89d6.9026.90d6.91106.91d6.92176.92d6.93176.93d6.94266.94d6.95156.95d6.9686.96d6.9726.97d6.982 從這100個螺母中，任意抽取一個，求事件a（692d694）、事件b（690d696)、事件c（696d698)、事件d（688d689)的頻率. 解：事件a的頻率為：=0.43 事件b的頻率為：=0.93 事件c的頻率為：=0.04 事件d的頻率為：=0.01思維陷阱：下表是計算機模擬擲硬幣的試驗結(jié)果，試對其頻率進(jìn)行分析.試驗次數(shù)正面朝上的頻數(shù)正面朝上的頻率540.81060.61560.420140.725110.4430160.533 33335180.514 28640200.545200.444 44450200.455260.472 72760310.516 66765300.461 53870350.575340.453 33380380.47585430.505 88290460.511 11195560.589 474100530.53 錯解1：當(dāng)試驗次數(shù)為5時，“正面朝上”的頻率是0.8，故可作出結(jié)論：當(dāng)試驗次數(shù)為5時，正面朝上的概率是0.8 錯解2：根據(jù)對試驗次數(shù)是5，10，15，20，25的頻率分析，正面朝上的頻率是0.8,0.6,0.4,0.7,0.44即使當(dāng)試驗次數(shù)為50時，正面朝上的頻率仍為0.4故正面朝上的頻率不具有一種統(tǒng)計規(guī)律性. 錯因分析：上述兩種解法錯誤的原因是把頻率等同于概率.隨機事件的概率是事件固有的，不隨試驗次數(shù)的改變而改變.而頻率是隨著試驗次數(shù)的改變而改變，在相同條件下可以通過大量重復(fù)試驗，利用頻率的穩(wěn)定值來估計概率，但是不能以一次或少數(shù)次的試驗結(jié)果下判斷. 正解：在拋擲硬幣的試驗中，“正面朝上”的頻率仍是一個隨機變量，當(dāng)試驗次數(shù)很小時，頻率不具有規(guī)律性，但是在大量重復(fù)試驗后，隨著次數(shù)的增加，頻率逐步地穩(wěn)定在0.5上，在其附近擺動.因此可以估計“正面朝上”的頻率是0.5 【例3】 已知如下兩表：表1 拋擲硬幣試驗結(jié)果表拋擲次數(shù)（n）正面向上次數(shù)（m）正面向上頻率（）2 0481 0610.518 14 0402 0480.506 912 0006 0190.501 624 00012 0120.500 530 00014 9840.499 672 08836 1240.501 1表2 某批兵兵球產(chǎn)品質(zhì)量檢查結(jié)果表抽取球數(shù)n501002005001 0002 000優(yōu)等品數(shù)m45921944709541 902優(yōu)等品頻率0.90.920.970.940.9540.951 試根據(jù)表1、表2結(jié)果比較兩個不同事件發(fā)生的可能性的大小. 解：從表1可以看出，當(dāng)拋擲硬幣的次數(shù)很多時，出現(xiàn)正面向上的頻率值是穩(wěn)定的，接近于常數(shù)0.5，在它附近擺動.所以擲一枚硬幣擲出“正面向上”的概率為0.5，即出現(xiàn)“正面向上”的可能性是50% 從表2可以看出，當(dāng)抽查的球數(shù)很多時，抽到優(yōu)等品的頻率接近于0.95,在它附近擺動.所以任取一個乒乓球得到優(yōu)等品的概率是0.95，即得到優(yōu)等品的可能性是95%于是拋擲硬幣時正面向上的可能性比抽查乒乓球時抽到優(yōu)等品的可能性要小得多. 思維啟示：利用隨機事件概率的統(tǒng)計定義，可以比較不同事件發(fā)生的可能性大小.【例4】 孟德爾的豌豆試驗數(shù)據(jù)，孟德爾用黃色和綠色的豌豆雜交，第一年收獲的豌豆都是黃色的.第二年，當(dāng)他把第一年收獲的黃色豌豆再種下時，收獲的豌豆既有黃色的，又有綠色的.具體數(shù)據(jù)如下表：性狀顯性隱性顯性隱性子葉的顏色黃色6 022綠色2 0013.011請你用概率的知識解釋一下這個遺傳規(guī)律. 解析：純黃色和純綠色的豌豆均有兩個特征（用符號yy代表純黃色豌豆的兩個特征，符號yy代表純綠色豌豆的兩個特征）.如右圖所示，當(dāng)純黃色和純綠色這兩種豌豆雜交時，下一代是從父母輩中各隨機地選取一個特征，于是第一年收獲的豌豆特征為yy當(dāng)把第一代雜交豌豆再種下時，下一代同樣是從父母輩中各隨機地選取一個特征，所以第二代的豌豆特征為：yy，yy，yy這里對于豌豆來說y是顯性因子，y是隱性因子，當(dāng)顯性因子與隱性因子組合時，表現(xiàn)出顯性因子的特征，即yy，yy皆呈黃色，yy呈綠色，因此在第二代中yy與yy出現(xiàn)的概率都是，yy出現(xiàn)的概率為，所以黃色豌豆（yy，yy）綠色豌豆（yy）=31.拓展遷移【拓展點1】 某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%，那么，前9個病人都沒有治愈，第10個人就一定能治愈嗎？ 解析：如果把治療一個病人作為一次試驗，治愈率是10%，指隨著試驗次數(shù)的增加，即治療的病人數(shù)的增加，大約有10%的人能夠治愈，對于一次試驗來說，其結(jié)果是隨機的，因此前9個病人沒有治愈是可能的.對第10個人來說，其結(jié)果仍然是隨機的，即有可能治愈，也可能沒有治愈.【拓展點2】 在42位美國總統(tǒng)中，有兩人的生日相同，三人卒日相同.什爾克生于1795年11月2日，哈定則生于1865年11月2日；門羅卒于1831年7月4日，而亞當(dāng)斯、杰佛遜都卒于1826年7月4日.還有兩位總統(tǒng)的死期都是3月8日：費爾莫死于1874年，塔夫脫死于1930年，這是巧合嗎？記n為相關(guān)的人數(shù)，n個人中至少有兩人的生日在同一天的概率為p（a），則有下表：n102023304050p(a)0.120.410.510.710.890.97 試用上表解釋上述現(xiàn)象. 解析：上表所列的答案足以引起多數(shù)人的驚奇，因為“至少兩個人的生日相同”這件事情發(fā)生的概率，并不如大多數(shù)人直覺想象中的那樣小，而是相當(dāng)大，由表中可以看出，當(dāng)人數(shù)是40時，“至少有兩人相同生日”的概率為0.89，因此，在42位美國總統(tǒng)中，有兩人生日相同，三人卒日相同，根本不是什么巧合，而是很