蘇教版必修二 1.2.3 第2課時 直線與平面垂直 學(xué)案.doc

第2課時直線與平面垂直1能正確判斷直線與平面垂直的位置關(guān)系(重點)2了解點到平面的距離和直線與平面間的距離(難點)3理解直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理(重點、難點)4了解直線與平面垂直的概念及直線與平面所成角的概念(重點)基礎(chǔ)初探教材整理1直線與平面垂直的定義閱讀教材p35p36思考以上的部分，完成以下問題如果一條直線a與一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則稱直線a與平面互相垂直，符號表示：a.直線a叫做平面的垂線，平面叫做直線a的垂面，垂線和平面的交點稱為垂足圖形表示：圖1254判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)若直線l與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則l.()(2)若直線l垂直于平面，則l與平面內(nèi)的直線可能相交，可能異面，也可能平行()(3)若ab，a，l，則lb.()(4)若l平面abcd，則lbc.()教材整理2直線與平面垂直的判定閱讀教材p36p37第5行，完成下列問題直線與平面垂直的判定定理文字語言圖形語言符號語言如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面 a1如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的下列各種情況：三角形的兩邊；梯形的兩邊；圓的兩條直徑；正六邊形的兩條邊能判定直線與此平面垂直的有_【解析】由線面垂直的判定定理可知能判定，而中線面可能平行、相交、還可能線在平面內(nèi)，中由于正六邊形的兩邊不一定相交，所以也無法判定線面垂直【答案】2下列條件中，能判定直線l平面的有_l與平面內(nèi)的兩條直線垂直；l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直；l與平面內(nèi)的某一條直線垂直；l與平面內(nèi)的任意一條直線垂直【解析】由直線與平面垂直的定義及判定定理知正確【答案】教材整理3直線與平面垂直的性質(zhì)閱讀教材p37第8行第13行，完成下列問題直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行ab已知是平面，a，b是直線，且ab，a平面，則b與平面的位置關(guān)系是_【解析】由線面垂直的性質(zhì)可知，若ab，a，則b.【答案】垂直教材整理4距離及直線與平面所成的角閱讀教材p36第13,14行及p38第4,5行和p39例3以上部分內(nèi)容，完成下列問題1距離(1)點到平面的距離從平面外一點引平面的垂線，這個點和垂足間的距離，叫做這個點到這個平面的距離(2)直線和平面的距離一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線和這個平面的距離2直線與平面所成的角平面的一條斜線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線與這個平面所成的角特別地：如果直線和平面垂直，那么就說這條直線與平面所成的角是直角；如果直線與平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0的角1在正方體abcda1b1c1d1中，已知ab1，則點c到平面b1bdd1的距離為_，ab到平面a1b1cd的距離為_. 【導(dǎo)學(xué)號：41292031】【解析】連結(jié)ac，則acbd，又bb1ac，故ac平面b1bdd1，所以點c到平面b1bdd1的距離為ac，ab到平面a1b1cd距離等于a到該平面的距離，等于.【答案】2如圖1255所示，三棱錐pabc中，pa平面abc，paab，則直線pb與平面abc所成的角等于_圖1255【解析】pa平面abc，pba即為直線pb與平面abc所成的角，在rtpab中，paab，pba45.【答案】45小組合作型線面垂直判定定理的應(yīng)用如圖1256所示，已知pa垂直于o所在的平面，ab是o的直徑，c是o上任意一點，過點a作aepc于點e，求證：ae平面pbc.圖1256【精彩點撥】只要證ae垂直于平面pbc內(nèi)兩相交直線即可，已知aepc，再證aebc，即轉(zhuǎn)為證bc垂直于平面pac即可【自主解答】pa平面abc，pabc.又ab是o的直徑，bcac.而paaca，bc平面pac.又ae平面pac，bcae.pcae，且pcbcc，ae平面pbc.1用線面垂直的判定定理判斷一條直線與此平面垂直時，需在平面內(nèi)找兩條相交直線，證明一條直線同時垂直于這兩條相交直線，這是證明線面垂直的一個常用方法2線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系線線垂直線面垂直再練一題1在正方體abcda1b1c1d1中，e，f分別是棱ab，bc的中點，o是底面abcd的中心，求證：ef平面bb1o.圖1257【證明】e，f分別是棱ab，bc的中點，ef是abc的中位線，efac，abcd為正方形，acbo，efbo，又bb1平面abcd，ef平面abcd，efbb1，又bobb1b，ef平面bb1o.線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用如圖1258，在正方體abcda1b1c1d1中，點e，f分別在a1d，ac上，且efa1d，efac.求證：efbd1.圖1258【精彩點撥】利用線面垂直的性質(zhì)定理證明ef，bd1垂直于平面ab1c可得結(jié)論【自主解答】如圖所示，連結(jié)ab1，b1c，bd，b1d1，dd1平面abcd，ac平面abcd，dd1ac.又acbd，bddd1d，ac平面bdd1b1，又bd1平面bdd1b1，acbd1.同理可證bd1b1c，bd1平面ab1c.efac，efa1d，又a1db1c，efb1c.ef平面ab1c，efbd1.空間中證明兩條直線平行的方法：(1)利用線線平行定義證兩線無公共點；(2)若ab，bc，則ac(公理4)；(3)利用線面平行的性質(zhì)定理把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行；(4)若a，b，則ab(線面垂直的性質(zhì)定理)再練一題2如圖1259，已知pa矩形abcd所在平面，m，n分別是ab，pc的中點圖1259(1)求證：mncd；(2)若pda45，求證：mn平面pcd.【證明】(1)取pd中點e，又n為pc中點，連結(jié)ne，ae，則necd，necd.又amcd，amcd，am綊ne，四邊形amne為平行四邊形mnae.pa平面abcd，cd平面abcd，cdpa.又cdad，paada，cd平面adp.ae平面adp，cdae，mncd.(2)當pda45時，rtpad為等腰直角三角形，則aepd.又mnae，mnpd，由(1)知mncd，pdcdd.mn平面pcd.探究共研型距離問題及直線與平面所成角的求法探究1如圖1260，長方體abcda1b1c1d1中，abbc2，aa11.點b與d1到平面a1c1ca的距離分別是多少 ？bc1到平面add1a1的距離是多少？圖1260【提示】由題意知bdb1d12，b，d1到平面ac1的距離分別為和，都為；bc1到平面ad1的距離等于ab的長，為2.探究2如圖1261，正方體abcda1b1c1d1中，圖1261(1)直線bd1與平面ac及平面a1c1所成的角相等嗎？(2)a1b與平面a1b1cd所成的角是多少度？【提示】(1)因為平面ac與平面a1c1平行，所以bd1與兩平面所成的角相等(2)a1b與平面a1c所成的角為30，連結(jié)bc1交b1c于點o，連結(jié)a1o.設(shè)正方體的棱長為a，因為a1b1b1c1，a1b1b1b，所以a1b1平面bcc1b1.所以a1b1bc1.又因為bc1b1c，a1b1b1cb1，所以bc1平面a1b1cd.所以a1o為斜線a1b在平面a1b1cd內(nèi)的射影，即ba1o為a1b與平面a1b1cd所成的角在rta1bo中，a1ba，boa，所以boa1b，ba1o30.因此，直線a1b和平面a1b1cd所成的角為30.如圖1262所示，在直三棱柱abca1b1c1中，acbc，acbccc1，m，n分別是a1b，b1c1的中點圖1262(1)求證：mn平面a1bc；(2)求直線bc1和平面a1bc所成的角的大小【精彩點撥】(1)證明mnac1，(2)c1點在平面a1bc上的射影為a1c中點【自主解答】(1)證明：如圖所示，由已知bcac，bccc1，accc1c，得bc平面acc1a1.連結(jié)ac1，則bcac1.由已知，可知側(cè)面acc1a1是正方形，所以a1cac1.又bca1cc，所以ac1平面a1bc.因為側(cè)面abb1a1是正方形，m是a1b的中點，連結(jié)ab1，則點m是ab1的中點又點n是b1c1的中點，則mn是ab1c1的中位線，所以mnac1.故mn平面a1bc.(2)因為ac1平面a1bc，設(shè)ac1與a1c相交于點d，連結(jié)bd，則c1bd為直線bc1和平面a1bc所成的角設(shè)acbccc1a，則c1da，bc1a.在rtbdc1中，sinc1bd，所以c1bd30，故直線bc1和平面a1bc所成的角為30.求直線和平面所成角的步驟：(1)尋找過斜線上一點與平面垂直的直線；(2)連結(jié)垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；(3)把該角歸結(jié)在某個三角形中，通過解三角形，求出該角再練一題3如圖1263，正四棱柱abcda1b1c1d1的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，e，f，g分別為cc1，dd1，aa1的中點圖1263(1)求證：a1f平面bef；(2)求證：gc1平面bef；(3)求直線a1b與平面bef所成的角的正弦值【解】(1)證明：連結(jié)af.e，f分別為cc1，dd1的中點，efab且efab，四邊形abef為平行四邊形又在正四棱柱abcda1b1c1d1中，ab平面aa1d1d，a1f平面aa1d1d，aba1f，efa1f.由已知，得af，a1f，aa12，a1f2af2aa，afa1f.又afeff.a1f平面abef，即a1f平面bef.(2)證明：g，f分別為aa1，dd1的中點，連結(jié)ae.agec1且agec1，四邊形aec1g為平行四邊形，aegc1.而ae平面abef，gc1平面abef，gc1平面abef，即gc1平面bef.(3)a1f平面bef.a1b在平面bef上的射影為bf，a1bf為直線a1b與平面bef所成的角由已知，得a1f，a1b，sina1bf，即a1b與平面bef所成角的正弦值為.1直線l平面，直線m，則l與m不可能_(填序號)平行；相交；異面；垂直【答案】2空間中直線l和三角形的兩邊ac，bc同時垂直，則這條直線和三角形的第三邊ab的位置關(guān)系是_【解析】lac，lbc，且acbcc，l平面abc，又ab平面abc，lab.【答案】垂直3在abc中，abc90，pa平面abc，則圖1264中直角三角形的個數(shù)為_圖1264【解析】pa平面abc，paab，paac，pabc，又bcab，abpaa，bc平面pab，bcpb.綜上可知，pab，pac，abc，pbc均為直角三角形【答案】44已知平面外兩點a，b到平面的距離分別是2和4，則a，b的中