蘇教版必修二 立體幾何初步 章末分層突破 學(xué)案.docVIP

章末分層突破自我校對(duì)球斜二測(cè)畫法公理3平行相交0，900，180_空間幾何體的體積及表面積幾何體的表面積及體積的計(jì)算是現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常能夠遇到的問題，在計(jì)算中應(yīng)注意各數(shù)量之間的關(guān)系及各元素之間的位置關(guān)系，特別是特殊的柱、錐、臺(tái)體，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面圖形的應(yīng)用，注意分割與組合的合理應(yīng)用；關(guān)注展開與折疊問題如圖11，四棱錐pabcd中，pa底面abcd，adbc，abadac3，pabc4，m為線段ad上一點(diǎn)，am2md，n為pc的中點(diǎn)圖11(1)證明mn平面pab；(2)求四面體nbcm的體積【精彩點(diǎn)撥】(1)利用線面平行的判定定理進(jìn)行證明，即通過線線平行證明線面平行；(2)先求出點(diǎn)n到平面bcm的距離及bcm的面積，然后代入錐體的體積公式求解【規(guī)范解答】(1)證明：由已知得amad2.如圖，取bp的中點(diǎn)t，連接at，tn，由n為pc中點(diǎn)知tnbc，tnbc2.又adbc，故tn綊am，所以四邊形amnt為平行四邊形，于是mnat.因?yàn)閍t平面pab，mn平面pab，所以mn平面pab.(2)因?yàn)閜a平面abcd，n為pc的中點(diǎn)，所以n到平面abcd的距離為pa.如圖，取bc的中點(diǎn)e，連接ae.由abac3得aebc，ae.由ambc得m到bc的距離為，故sbcm42.所以四面體nbcm的體積vnbcmsbcm.再練一題1如圖12，三棱錐abcd中，ab平面bcd，cdbd.圖12(1)求證：cd平面abd；(2)若abbdcd1，m為ad中點(diǎn)，求三棱錐ambc的體積【解】(1)證明：ab平面bcd，cd平面bcd，abcd.又cdbd，abbdb，ab平面abd，bd平面abd，cd平面abd.(2)法一：由ab平面bcd，得abbd.abbd1，sabd.m是ad的中點(diǎn)，sabmsabd.由(1)知，cd平面abd，三棱錐cabm的高h(yuǎn)cd1，因此三棱錐ambc的體積vambcvcabmsabmh.(2)法二：由ab平面bcd知，平面abd平面bcd，又平面abd平面bcdbd，如圖，過點(diǎn)m作mnbd交bd于點(diǎn)n，則mn平面bcd，且mnab，又cdbd，bdcd1，sbcd，三棱錐ambc的體積vambcvabcdvmbcdabsbcdmnsbcd.直線、平面平行的判定和性質(zhì)1.判斷或證明線面平行的常用方法：(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))；(2)利用線面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(，aa)；(4)利用面面平行的性質(zhì)(，a，a)2證明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定義；(2)利用面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；(4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化如圖13，e，f，g，h分別是正方體abcda1b1c1d1的棱bc，cc1，c1d1，aa1的中點(diǎn)，圖13求證：(1)ge平面bdd1b1；(2)平面bdf平面b1d1h.【精彩點(diǎn)撥】(1)取b1d1的中點(diǎn)o，證明四邊形bego是平行四邊形(2)證b1d1平面bdf，hd1平面bdf.【規(guī)范解答】(1)取b1d1的中點(diǎn)o，連結(jié)go，ob，易證og綊b1c1，be綊b1c1，og綊be，四邊形bego為平行四邊形，obge.ob平面bdd1b1，ge平面bdd1b1，ge平面bdd1b1.(2)由正方體性質(zhì)得b1d1bd，b1d1平面bdf，bd平面bdf，b1d1平面bdf.連結(jié)hb，d1f，易證hbfd1 是平行四邊形，得hd1bf.hd1平面bdf，bf平面bdf，hd1平面bdf.b1d1hd1d1，平面bdf平面b1d1h.再練一題2.如圖14，在直三棱柱abca1b1c1中，已知acbc，bccc1，設(shè)ab1的中點(diǎn)為d，b1cbc1e.圖14求證：(1)de平面aa1c1c；(2)bc1ab1.【證明】(1)由題意知，e為b1c的中點(diǎn)，又d為ab1的中點(diǎn)，因此deac.又因?yàn)閐e平面aa1c1c，ac平面aa1c1c，所以de平面aa1c1c.(2)因?yàn)槔庵鵤bca1b1c1是直三棱柱，所以cc1平面abc.因?yàn)閍c平面abc，所以accc1.又因?yàn)閍cbc，cc1平面bcc1b1，bc平面bcc1b1，bccc1c，所以ac平面bcc1b1.又因?yàn)閎c1平面bcc1b1，所以bc1ac.因?yàn)閎ccc1，所以矩形bcc1b1是正方形，因此bc1b1c.因?yàn)閍c，b1c平面b1ac，acb1cc，所以bc1平面b1ac.又因?yàn)閍b1平面b1ac，所以bc1ab1.直線、平面垂直的判定和性質(zhì)空間垂直關(guān)系的判定方法：(1)判定線線垂直的方法計(jì)算所成的角為90(包括平面角和異面直線所成的角)；線面垂直的性質(zhì)(若a，b，則ab)(2)判定線面垂直的方法線面垂直的定義(一般不易驗(yàn)證任意性)；線面垂直的判定定理(am，an，m，n，mnaa)；平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)(ab，ba)；面面垂直的性質(zhì)(，l，a，ala)；面面平行的性質(zhì)(a，a)；面面垂直的性質(zhì)(l，l)(3)面面垂直的判定方法根據(jù)定義(作兩平面構(gòu)成二面角的平面角，計(jì)算其為90)；面面垂直的判定定理(a，a)如圖15所示，abc為正三角形，ec平面abc，bdce，且ceca2bd，m是ea的中點(diǎn)圖15求證：(1)deda；(2)平面bdm平面eca；(3)平面dea平面eca.【精彩點(diǎn)撥】取ec中點(diǎn)f，ca中點(diǎn)n，連結(jié)df，mn，bn.(1)證dfeabd，(2)證bneca，(3)證dm平面eca.【規(guī)范解答】(1)如圖所示，取ec的中點(diǎn)f，連結(jié)df，易知dfbc，ecbc，dfec.在rtdef和rtdba中，efecbd，fdbcab，rtdfertabd，故deda.(2)取ca的中點(diǎn)n，連結(jié)mn，bn，則mn綊ec，mnbd，即n點(diǎn)在平面bdm內(nèi)ec平面abc，ecbn.又cabn，bn平面eca.bn在平面mnbd內(nèi)，平面mnbd平面eca，即平面bdm平面eca.(3)dmbn，bn平面eca，dm平面eca.又dm平面dea，平面dea平面eca.再練一題3如圖16，四棱錐pabcd的底面為平行四邊形，pd平面abcd，m為pc的中點(diǎn)(1)求證：ap平面mbd；(2)若adpb，求證：bd平面pad. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：41292056】圖16【解】(1)如圖，連結(jié)ac交bd于點(diǎn)o，連結(jié)om.因?yàn)榈酌鎍bcd是平行四邊形，所以點(diǎn)o為ac的中點(diǎn)又m為pc的中點(diǎn)，所以ompa.因?yàn)閛m平面mbd，ap平面mbd，所以ap平面mbd.(2)因?yàn)閜d平面abcd，ad平面abcd，所以pdad.因?yàn)閍dpb，pdpbp，pd平面pbd，pb平面pbd，所以ad平面pbd.因?yàn)閎d平面pbd，所以adbd.因?yàn)閜d平面abcd，bd平面abcd，所以pdbd.又因?yàn)閎dad，adpdd，ad平面pad，pd平面pad，所以bd平面pad.平面圖形的翻折問題空間幾何中的翻折問題是幾何證明，求值問題中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在高考中經(jīng)?？疾?1)解決與翻折有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清翻折前后的變化量和不變量，一般情況下，折線同一側(cè)的線段的長(zhǎng)度是不變量，而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的突破口(2)在解決問題時(shí)，要綜合考慮翻折前后的圖形，既要分析翻折后的圖形，也要分析翻折前的圖形如圖17，在直角梯形abcp中，apbc，apab，abbcap，d是ap的中點(diǎn)，e，f分別為pc，pd的中點(diǎn)，將pcd沿cd折起得到四棱錐pabcd.圖17(1)g為線段bc上任一點(diǎn)，求證：平面efg平面pad；(2)當(dāng)g為bc的中點(diǎn)時(shí)，求證：ap平面efg.【精彩點(diǎn)撥】(1)轉(zhuǎn)化為證ef平面pad；(2)轉(zhuǎn)化為證平面pab平面efg.【規(guī)范解答】(1)在直角梯形abcp中bcap，bcap，d為ap的中點(diǎn)，bc綊ad，又abap，abbc.四邊形abcd為正方形cdap，cdad，cdpd.在四棱錐pabcd中，e，f分別為pc，pd的中點(diǎn)，efcd，efad，efpd.又pdadd，pd平面pad，ad平面pad.ef平面pad.又ef平面efg，平面efg平面pad.(2)法一g，f分別為bc和pc的中點(diǎn)，gfbp，gf平面pab，bp平面pab，gf平面pab.由(1)知，efdc，abdc，efab，ef平面pab，ab平面pab，ef平面pab.efgff，ef平面efg，gf平面efg.平面efg平面pab.pa平面pab，pa平面efg.法二取ad中點(diǎn)h(略)，連結(jié)gh，he.由(1)知四邊形abcd為平行四邊形又g，h分別為bc，ad的中點(diǎn)，ghcd.由(1)知，efcd，efgh.四點(diǎn)e，f，g，h共面e，h分別為pd，ad的中點(diǎn)，ehpa.pa平面efgh，eh平面efgh.pa平面efgh，即pa平面efg.再練一題4如圖18(1)所示，在直角梯形abef中(圖中數(shù)字表示線段的長(zhǎng)度)，將直角梯形dcef沿cd折起，使平面dcef平面abcd，連結(jié)部分線段后圍成一個(gè)空間幾何體，如圖18(2)所示(1)(2)圖18(1)求證：be平面adf；(2)求三棱錐fbce的體積【解】(1)證明：法一取df的中點(diǎn)g，連結(jié)ag，eg，cedf，eg綊cd.又ab綊cd，eg綊ab，四邊形abeg為平行四邊形，beag.be平面adf，ag平面adf，be平面adf.法二由圖(1)可知bcad，cedf，折疊之后平行關(guān)系不變bc平面adf，ad平面adf，bc平面adf.同理ce平面adf.bccec，bc，ce平面bce，平面bce平面adf.be平面bce，be平面adf.(2)法一vfbcevbcef，由圖(1)可知bccd，平面dcef平面abcd，平面dcef平面abcdcd，bc平面abcd，bc平面dcef.由圖(1)可知dcce1，scefcedc，vfbcevbcefbcscef.法二由圖(1)，可知cdbc，cdce，bccec，cd平面bce.dfce，點(diǎn)f到平面bce的距離等于點(diǎn)d到平面bce的距離為1，由圖(1)，可知bcce1，sbcebcce，vfbcecdsbce.法三過e作ehfc，垂足為h，如圖所示，由圖(1)，可知bccd，平面dcef平面abcd，平面dcef平面abcdcd，bc平面abcd，bc平面dcef.eh平面dcef，bceh，eh平面bcf.由bcfc，fc，sbcfbccf，在cef中，由等面積法可得eh，vfbcevebcfehsbcf.1已知a，b是球o的球面上兩點(diǎn)，aob90，c為該球面上的動(dòng)點(diǎn)若三棱錐oabc體積的最大值為36，則球o的表面積為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：41292057】【解析】如圖，設(shè)球的半徑為r，aob90，saobr2.voabcvcaob，而aob面積為定值，當(dāng)點(diǎn)c到平面aob的距離最大時(shí)，voabc最大，當(dāng)c為與球的大圓面aob垂直的直徑的端點(diǎn)時(shí)，體積voabc最大為r2r36，r6，球o的表面積為4r2462144.【答案】1442已知m，n是兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是_若，垂直于同一平面，則與平行；若m，n平行于同一平面，則m與n平行；若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線；若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面【解析】，可能相交，故錯(cuò)誤；直線m，n的位置關(guān)系不確定，可能相交、平行或異面，故錯(cuò)誤；若m，n，mn，則m，故錯(cuò)誤；假設(shè)m，n垂直于同一平面，則必有mn，所以原命題正確，故正確【答案】3一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖19所示(1)請(qǐng)將字母f，g，h標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說明理由)；(2)判斷平面beg與平面ach的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)證明：直線df平面beg.圖19【解】(1)點(diǎn)f，g，h的位置如圖所示(2)平面beg平面ach.證明如下：因?yàn)閍bcdefgh為正方體，所以bcfg，bcfg.又fgeh，fgeh，所以bceh，bceh，于是四邊形bche為平行四邊形所以bech.又ch平面ach，be平面ach，所以be平面ach.同理bg平面ach.又bebgb，所以平面beg平面ach.(3)證明：連接fh，與eg交于點(diǎn)o，連接bd.因?yàn)閍bcdefgh為正方體，所以dh平面efgh.因?yàn)閑g平面efgh，所以dheg.又egfh，dhfhh，所以eg平面bfhd.又df平面bfhd，所以dfeg.同理dfbg.又egbgg，所以df平面beg.4.如圖110，四邊形abcd為菱形，g為ac與bd的交點(diǎn)，be平面abcd.(1)證明：平面aec平面bed；(2)若abc120，aeec，三棱錐eacd的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積圖110【解】(1)證明：因?yàn)樗倪呅蝍bcd為菱形，所以acbd.因?yàn)閎e平面abcd，所以acbe.故ac平面bed.又ac平面aec，所以平面aec平面bed.(2)設(shè)abx，在菱形abcd中，由abc120，可得aggcx，gbgd.因?yàn)閍eec，所以在rtaec中，可得egx.由be平面abcd，知ebg為直角三角形，可得bex.由已知得，三棱錐eacd的體積v三棱錐eacdacgdbex3，故x2.從而可得aeeced.所以eac的面積為3，ead的面積與ecd的面積均為.故三棱錐eacd的側(cè)面積為32.5.如圖111，在三棱錐vabc中，平面vab平面abc，vab為等邊三角形，acbc且acbc，o，m分別為ab，va的中點(diǎn)圖111(1)求證：vb平面moc；(2)求證：平面moc平面vab；(3)求三棱錐vabc的體積【解】(1)因?yàn)閛，m分別為ab，va的中點(diǎn)，所以omvb.又因?yàn)関b/平面moc，所以vb平面moc.(2)因?yàn)閍cbc，o為ab的中點(diǎn)，所以ocab.又因?yàn)槠矫鎣ab平面abc，且oc平面abc，所以oc平面vab.所以平面moc平面vab.(3)在等腰直角三角形a