2014年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）.doc

2014年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，滿分50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1（5分）已知集合M=2，3，4，N=0，2，3，5，則MN=（）A0，2B2，3C3，4D3，52（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足（34i）z=25，則z=（）A34iB3+4iC34iD3+4i3（5分）已知向量=（1，2），=（3，1），則=（）A（2，1）B（2，1）C（2，0）D（4，3）4（5分）若變量x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值等于（）A7B8C10D115（5分）下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）A2xBx3sinxC2cosx+1Dx2+2x6（5分）為了解1000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的間隔為（）A50B40C25D207（5分）在ABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，則“ab”是“sinAsinB”的（）A充分必要條件B充分非必要條件C必要非充分條件D非充分非必要條件8（5分）若實(shí)數(shù)k滿足0k5，則曲線=1與=1的（）A實(shí)半軸長(zhǎng)相等B虛半軸長(zhǎng)相等C離心率相等D焦距相等9（5分）若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1l2，l2l3，l3l4，則下列結(jié)論一定正確的是（）Al1l4Bl1l4Cl1與l4既不垂直也不平行Dl1與l4的位置關(guān)系不確定10（5分）對(duì)任意復(fù)數(shù)1，2，定義1*2=12，其中2是2的共軛復(fù)數(shù)，對(duì)任意復(fù)數(shù)z1，z2，z3有如下命題：（z1+z2）*z3=（z1*z3）+（z2*z3）z1*（z2+z3）=（z1*z2）+（z1*z3）（z1*z2）*z3=z1*（z2*z3）；z1*z2=z2*z1則真命題的個(gè)數(shù)是（）A1B2C3D4二、填空題（共3小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分15分）（一）必做題（11-13題）11（5分）曲線y=5ex+3在點(diǎn)（0，2）處的切線方程為 12（5分）從字母a，b，c，d，e中任取兩個(gè)不同字母，則取到字母a的概率為 13（5分）等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1a5=4，則log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= （二）（14-15題，考生只能從中選做一題）【坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題】14（5分）在極坐標(biāo)系中，曲線C1與C2的方程分別為2cos2=sin與cos=1，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 【幾何證明選講選做題】15如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AB上且EB=2AE，AC與DE交于點(diǎn)F，則= 四、解答題（本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟）16（12分）已知函數(shù)f（x）=Asin（x+），xR，且f（）=（1）求A的值；（2）若f（）f（）=，（0，），求f（）17（13分）某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表：年齡（歲）工人數(shù)（人）191283293305314323401合計(jì)20（1）求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差；（2）以十位數(shù)為莖，個(gè)位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖；（3）求這20名工人年齡的方差18（13分）如圖1，四邊形ABCD為矩形，PD平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如圖2折疊；折痕EFDC，其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后點(diǎn)P疊在線段AD上的點(diǎn)記為M，并且MFCF（1）證明：CF平面MDF；（2）求三棱錐MCDE的體積19（14分）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn滿足Sn2（n2+n3）Sn3（n2+n）=0，nN*（1）求a1的值；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有+20（14分）已知橢圓C：+=1（ab0）的右焦點(diǎn)為（，0），離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程21（14分）已知函數(shù)f（x）=x3+x2+ax+1（aR）（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)a0時(shí)，試討論是否存在x0（0，）（，1），使得f（x0）=f（）2014年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，滿分50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1（5分）已知集合M=2，3，4，N=0，2，3，5，則MN=（）A0，2B2，3C3，4D3，5【分析】根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可得到結(jié)論【解答】解：M=2，3，4，N=0，2，3，5，MN=2，3，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ)2（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足（34i）z=25，則z=（）A34iB3+4iC34iD3+4i【分析】由題意利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算求得結(jié)果【解答】解：滿足（34i）z=25，則z=3+4i，故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題3（5分）已知向量=（1，2），=（3，1），則=（）A（2，1）B（2，1）C（2，0）D（4，3）【分析】直接利用向量的減法的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可【解答】解：向量=（1，2），=（3，1），=（2，1）故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，基本知識(shí)的考查4（5分）若變量x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值等于（）A7B8C10D11【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，進(jìn)行平移即可得到結(jié)論【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=2x+y，得y=2x+z，平移直線y=2x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=2x+z經(jīng)過點(diǎn)B（4，2）時(shí)，直線y=2x+z的截距最大，此時(shí)z最大，此時(shí)z=24+2=10，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵5（5分）下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）A2xBx3sinxC2cosx+1Dx2+2x【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)進(jìn)行判斷，從而得出結(jié)論【解答】解：對(duì)于函數(shù)f（x）=2x，由于f（x）=2x=2x=f（x），故此函數(shù)為奇函數(shù)對(duì)于函數(shù)f（x）=x3sinx，由于f（x）=x3（sinx）=x3sinx=f（x），故此函數(shù)為偶函數(shù)對(duì)于函數(shù)f（x）=2cosx+1，由于f（x）=2cos（x）+1=2cosx+1=f（x），故此函數(shù)為偶函數(shù)對(duì)于函數(shù)f（x）=x2+2x，由于f（x）=（x）2+2x=x2+2xf（x），且f（x）f（x），故此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題6（5分）為了解1000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的間隔為（）A50B40C25D20【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義，即可得到結(jié)論【解答】解：從1000名學(xué)生中抽取40個(gè)樣本，樣本數(shù)據(jù)間隔為100040=25故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和應(yīng)用，比較基礎(chǔ)7（5分）在ABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，則“ab”是“sinAsinB”的（）A充分必要條件B充分非必要條件C必要非充分條件D非充分非必要條件【分析】直接利用正弦定理以及已知條件判斷即可【解答】解：由正弦定理可知=，ABC中，A，B，C均小于180，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，a，b，sinA，sinB都是正數(shù)，“ab”“sinAsinB”“ab”是“sinAsinB”的充分必要條件故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中，角與邊的關(guān)系正弦定理以及充要條件的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查8（5分）若實(shí)數(shù)k滿足0k5，則曲線=1與=1的（）A實(shí)半軸長(zhǎng)相等B虛半軸長(zhǎng)相等C離心率相等D焦距相等【分析】根據(jù)k的取值范圍，判斷曲線為對(duì)應(yīng)的雙曲線，以及a，b，c的大小關(guān)系即可得到結(jié)論【解答】解：當(dāng)0k5，則05k5，1116k16，即曲線=1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，其中a2=16，b2=5k，c2=21k，曲線=1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，其中a2=16k，b2=5，c2=21k，即兩個(gè)雙曲線的焦距相等，故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的方程和性質(zhì)，根據(jù)不等式的范圍判斷a，b，c是解決本題的關(guān)鍵9（5分）若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1l2，l2l3，l3l4，則下列結(jié)論一定正確的是（）Al1l4Bl1l4Cl1與l4既不垂直也不平行Dl1與l4的位置關(guān)系不確定【分析】根據(jù)空間直線平行或垂直的性質(zhì)即可得到結(jié)論【解答】解：在正方體中，若AB所在的直線為l2，CD所在的直線為l3，AE所在的直線為l1，若GD所在的直線為l4，此時(shí)l1l4，若BD所在的直線為l4，此時(shí)l1l4，故l1與l4的位置關(guān)系不確定，故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間直線平行或垂直的位置關(guān)系的判斷，比較基礎(chǔ)10（5分）對(duì)任意復(fù)數(shù)1，2，定義1*2=12，其中2是2的共軛復(fù)數(shù)，對(duì)任意復(fù)數(shù)z1，z2，z3有如下命題：（z1+z2）*z3=（z1*z3）+（z2*z3）z1*（z2+z3）=（z1*z2）+（z1*z3）（z1*z2）*z3=z1*（z2*z3）；z1*z2=z2*z1則真命題的個(gè)數(shù)是（）A1B2C3D4【分析】根據(jù)已知中1*2=12，其中2是2的共軛復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)逐一判斷四個(gè)結(jié)論的真假，可得答案【解答】解：（z1+z2）*z3=（z1+z2）=（z1+z2=（z1*z3）+（z2*z3），正確；z1*（z2+z3）=z1（）=z1（+）=z1+z1=（z1*z2）+（z1*z3），正確；（z1*z2）*z3=z1，z1*（z2*z3）=z1*（z2）=z1（）=z1z3，等式不成立，故錯(cuò)誤；z1*z2=z1，z2*z1=z2，等式不成立，故錯(cuò)誤；綜上所述，真命題的個(gè)數(shù)是2個(gè)，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題以命題的真假判斷為載體，考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，細(xì)心運(yùn)算即可，屬于基礎(chǔ)題二、填空題（共3小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分15分）（一）必做題（11-13題）11（5分）曲線y=5ex+3在點(diǎn)（0，2）處的切線方程為5x+y+2=0【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率即可【解答】解：y=5ex，y|x=0=5因此所求的切線方程為：y+2=5x，即5x+y+2=0故答案為：5x+y+2=0【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、曲線的切線方程，屬于基礎(chǔ)題12（5分）從字母a，b，c，d，e中任取兩個(gè)不同字母，則取到字母a的概率為【分析】求得從字母a，b，c，d，e中任取兩個(gè)不同字母、取到字母a的情況，利用古典概型概率公式求解即可【解答】解：從字母a，b，c，d，e中任取兩個(gè)不同字母，共有=10種情況，取到字母a，共有=4種情況，所求概率為=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型，是一個(gè)古典概型與排列組合結(jié)合的問題，解題時(shí)先要判斷該概率模型是不是古典概型，再要找出隨機(jī)事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)13（5分）等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1a5=4，則log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5【分析】可先由等比數(shù)列的性質(zhì)求出a3=2，再根據(jù)性質(zhì)化簡(jiǎn)log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5log2a3，代入即可求出答案【解答】解：log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log2a35=5log2a3又等比數(shù)列an中，a1a5=4，即a3=2故5log2a3=5log22=5故選為：5【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用性質(zhì)變形求值是關(guān)鍵，本題是數(shù)列的基本題，較易（二）（14-15題，考生只能從中選做一題）【坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題】14（5分）在極坐標(biāo)系中，曲線C1與C2的方程分別為2cos2=sin與cos=1，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（1，2）【分析】直接由x=cos，y=sin化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，然后聯(lián)立方程組求得答案【解答】解：由2cos2=sin，得：22cos2=sin，即y=2x2由cos=1，得x=1聯(lián)立，解得：曲線C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（1，2）故答案為：（1，2）【點(diǎn)評(píng)】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，考查了方程組的解法，是基礎(chǔ)題【幾何證明選講選做題】15如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AB上且EB=2AE，AC與DE交于點(diǎn)F，則=3【分析】證明CDFAEF，可求【解答】解：四邊形ABCD是平行四邊形，EB=2AE，ABCD，CD=3AE，CDFAEF，=3故答案為：3【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形相似的判斷，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題四、解答題（本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟）16（12分）已知函數(shù)f（x）=Asin（x+），xR，且f（）=（1）求A的值；（2）若f（）f（）=，（0，），求f（）【分析】（1）通過函數(shù)f（x）=Asin（x+），xR，且f（）=，直接求A的值；（2）利用函數(shù)的解析式，通過f（）f（）=，（0，），求出cos，利用兩角差的正弦函數(shù)求f（）【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=Asin（x+），xR，且f（）=，f（）=Asin（+）=Asin=，（2）由（1）可知：函數(shù)f（x）=3sin（x+），f（）f（）=3sin（+）3sin（+）=3（）（）=32sincos=3sin=，sin=，cos=，f（）=3sin（）=3sin（）=3cos=【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的解析式的求法，基本知識(shí)的考查17（13分）某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表：年齡（歲）工人數(shù)（人）191283293305314323401合計(jì)20（1）求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差；（2）以十位數(shù)為莖，個(gè)位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖；（3）求這20名工人年齡的方差【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)和極差的定義，即可得出；（2）根據(jù)畫莖葉圖的步驟，畫圖即可；（3）利用方差的計(jì)算公式，代入數(shù)據(jù)，計(jì)算即可【解答】解：（1）這20名工人年齡的眾數(shù)為30，極差為4019=21；（2）莖葉圖如下：（3）年齡的平均數(shù)為：=30這20名工人年齡的方差為S2=（1930）2+3（2830）2+3（2930）2+5（3030）2+4（3130）2+3（3230）2+（4030）2=12.6【點(diǎn)評(píng)】本題考查了眾數(shù)，極差，莖葉圖，方差的基本定義，屬于基礎(chǔ)題18（13分）如圖1，四邊形ABCD為矩形，PD平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如圖2折疊；折痕EFDC，其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后點(diǎn)P疊在線段AD上的點(diǎn)記為M，并且MFCF（1）證明：CF平面MDF；（2）求三棱錐MCDE的體積【分析】（1）要證CF平面MDF，只需證CFMD，且CFMF即可；由PD平面ABCD，得出平面PCD平面ABCD，即證MD平面PCD，得CFMD；（2）求出CDE的面積SCDE，對(duì)應(yīng)三棱錐的高M(jìn)D，計(jì)算它的體積VMCDE【解答】解：（1）證明：PD平面ABCD，PD平面PCD，平面PCD平面ABCD；又平面PCD平面ABCD=CD，MD平面ABCD，MDCD，MD平面PCD，CF平面PCD，CFMD；又CFMF，MD、MF平面MDF，MDMF=M，CF平面MDF；（2）CF平面MDF，CFDF，又RtPCD中，DC=1，PC=2，P=30，PCD=60，CDF=30，CF=CD=；EFDC，=，即=，DE=，PE=，SCDE=CDDE=；MD=，VMCDE=SCDEMD=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中的垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合圖形，明確線線垂直、線面垂直以及面面垂直的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系是什么，幾何體的體積計(jì)算公式是什么，是中檔題19（14分）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn滿足Sn2（n2+n3）Sn3（n2+n）=0，nN*（1）求a1的值；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有+【分析】（1）本題可以用n=1代入題中條件，利用S1=a1求出a1的值；（2）利用an與Sn的關(guān)系，將條件轉(zhuǎn)化為an的方程，從而求出an；（3）利用放縮法，將所求的每一個(gè)因式進(jìn)行裂項(xiàng)求和，即可得到本題結(jié)論【解答】解：（1）令n=1得：，即（S1+3）（S12）=0S10，S1=2，即a1=2（2）由得：an0（nN*），Sn0當(dāng)n2時(shí)，又a1=2=21，（3）由（2）可知=，nN*，=（），當(dāng)n=1時(shí)，顯然有=；當(dāng)n2時(shí)，+=所以，對(duì)一切正整數(shù)n，有【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系、裂項(xiàng)求和法，還用到了放縮法，計(jì)算量較大，有一定的思維難度，屬于難題20（14分）已知橢圓C：+=1（ab0）的右焦點(diǎn)為（，0），離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率求得a和b，則橢圓的方可得（2）設(shè)出切線的方程，帶入橢圓方程，整理后利用=0，整理出關(guān)于k的一元二次方程，利用韋達(dá)定理表示出k1k2，進(jìn)而取得x0和y0的關(guān)系式，即P點(diǎn)的軌跡方程【解答】解：（1）依題意知，求得a=3，b=2，橢圓的方程為+=1（2）當(dāng)兩條切線中有一條斜率不存在時(shí)，即A、B兩點(diǎn)分別位于橢圓長(zhǎng)軸與短軸的端點(diǎn)，P的坐標(biāo)為（3，2），符合題意，當(dāng)兩條切線斜率均存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)P（x0，y0）的切線為y=k（xx0）+y0，+=+=1，整理得（9k2+4）x2+18k（y0kx0）x+9（y0kx0）24=0，=18k（y0kx0）24（9k2+4）9（y0kx0）24=0，整理得（x029）k22x0y0k+（y024）=0，