全排列的生成算法.doc

3全排列的生成算法 全排列的生成算法全排列的生成算法就是對(duì)于給定的字符集，用有效的方法將所有可能的全排列無(wú)重復(fù)無(wú)遺漏地枚舉出來(lái)。任何n個(gè)字符集的排列都可以與1n的n個(gè)數(shù)字的排列一一對(duì)應(yīng)，因此在此就以n個(gè)數(shù)字的排列為例說(shuō)明排列的生成法。n個(gè)字符的全體排列之間存在一個(gè)確定的線性順序關(guān)系。所有的排列中除最后一個(gè)排列外，都有一個(gè)后繼；除第一個(gè)排列外，都有一個(gè)前驅(qū)。每個(gè)排列的后繼都可以從 它 的前驅(qū)經(jīng)過(guò)最少的變化而得到，全排列的生成算法就是從第一個(gè)排列開(kāi)始逐個(gè)生成所有的排列的方法。全排列的生成法通常有以下幾種：字典序法遞增進(jìn)位數(shù)制法遞減進(jìn)位數(shù)制法鄰位交換法遞歸類算法1.字典序法字典序法中，對(duì)于數(shù)字1、2、3.n的排列，不同排列的先后關(guān)系是從左到右逐個(gè)比較對(duì)應(yīng)的數(shù)字的先后來(lái)決定的。例如對(duì)于5個(gè)數(shù)字的排列12354和12345，排列12345在前，排列12354在后。按照這樣的規(guī)定，5個(gè)數(shù)字的所有的排列中最前面的是12345，最后面的是54321。字典序算法如下：設(shè)P是1n的一個(gè)全排列:p=p1p2.pn=p1p2.pj-1pjpj+1.pk-1pkpk+1.pn1）從排列的右端開(kāi)始，找出第一個(gè)比右邊數(shù)字小的數(shù)字的序號(hào)j（j從左端開(kāi)始計(jì)算），即 j=maxi|pipj（右邊的數(shù)從右至左是遞增的，因此k是所有大于pj的數(shù)字中序號(hào)最大者）3）對(duì)換pi，pk4）再將pj+1.pk-1pkpk+1pn倒轉(zhuǎn)得到排列p=p1p2.pj-1pjpn.pk+1pkpk-1.pj+1，這就是排列p的下一個(gè)下一個(gè)排列。例如839647521是數(shù)字19的一個(gè)排列。從它生成下一個(gè)排列的步驟如下：自右至左找出排列中第一個(gè)比右邊數(shù)字小的數(shù)字4 839647521在該數(shù)字后的數(shù)字中找出比4大的數(shù)中最小的一個(gè)5 839647521將5與4交換 839657421將7421倒轉(zhuǎn) 839651247所以839647521的下一個(gè)排列是839651247。2.遞增進(jìn)位數(shù)制法在遞增進(jìn)位制數(shù)法中，從一個(gè)排列求另一個(gè)排列需要用到中介數(shù)。如果用 ki表示排列p1p2.pi.pn中元素pi的右邊比pi小的數(shù)的個(gè)數(shù)，則排列的中介數(shù)就是對(duì)應(yīng)的排列k1 . ki. kn-1。例如排列839647521的中介數(shù)是72642321，7、2、6、.分別是排列中數(shù)字8、3、9、.的右邊比它小的數(shù)字個(gè)數(shù)。中介數(shù)是計(jì)算排列的中間環(huán)節(jié)。已知一個(gè)排列，要求下一個(gè)排列，首先確定其中介數(shù)，一個(gè)排列的后繼，其中介數(shù)是原排列中介數(shù)加1，需要注意的是，如果中介數(shù)的末位kn-1+1=2，則要向前進(jìn)位，一般情形，如果ki+1=n-i+1，則要進(jìn)位，這就是所謂的遞增進(jìn)位制。例如排列839647521的中介數(shù)是72642321，則下一個(gè)排列的中介數(shù)是67342221+1=67342300（因?yàn)?+1=2，所以向前進(jìn)位，2+1=3，又發(fā)生進(jìn)位，所以下一個(gè)中介數(shù)是67342300）。得到中介數(shù)后，可根據(jù)它還原對(duì)應(yīng)得排列。算法如下：中介數(shù)k1、k2、.、kn-1的各位數(shù)字順序表示排列中的數(shù)字n、n-1、.、2在排列中距右端的的空位數(shù)，因此，要按k1、k2、.、kn-1的值從右向左確定n、n-1、.、2的位置，并逐個(gè)放置在排列中：i放在右起的ki+1位，如果某位已放有數(shù)字，則該位置不算在內(nèi)，最后一個(gè)空位放1。因此從67342300可得到排列849617523，它就是839647521的后一個(gè)排列。因?yàn)?最先放置，k1=6，9放在右起第7位，空出6個(gè)空位，然后是放8，k2=7，8放在右起第8位，但9占用一位，故8應(yīng)放在右起第9位，余類推。3.遞減進(jìn)位制數(shù)法在遞增進(jìn)位制數(shù)法中，中介數(shù)的最低位是逢2進(jìn)1，進(jìn)位頻繁，這是一個(gè)缺點(diǎn)。把遞增進(jìn)位制數(shù)翻轉(zhuǎn),就得到遞減進(jìn)位制數(shù)。839647521的中介數(shù)是67342221(k1k2.kn-1)，倒轉(zhuǎn)成為12224376(kn-1.k2k1)，這是遞減進(jìn)位制數(shù)的中介數(shù)：ki(i=n-1,n-2,.,2)位逢i向ki-1位進(jìn)1。給定排列p，p的下一個(gè)排列的中介數(shù)定義為p的中介數(shù)加1。例如p=839647521，p的中介數(shù)為12224376，p的下一個(gè)排列的中介數(shù)為12224376+1=12224377，由此得到p的下一個(gè)排列為893647521。給定中介數(shù)，可用與遞增進(jìn)位制數(shù)法類似的方法還原出排列。但在遞減進(jìn)位制數(shù)中，可以不先計(jì)算中介數(shù)就直接從一個(gè)排列求出下一個(gè)排列。具體算法如下：1）如果p(i)=n且in，則p(i)與p(i-1)交換2）如果p(n)=n，則找出一個(gè)連續(xù)遞減序列9、8、.、i，將其從排列左端刪除，再以相反順序加在排列右端，然后將i-1與左邊的數(shù)字交換例如p=893647521的下一個(gè)排列是983647521。求983647521的下一個(gè)排列時(shí)，因?yàn)?在最左邊且第2位為8，第3位不是7，所以將8和9從小到大排于最右端364752189，再將7與其左方數(shù)字對(duì)調(diào)得到983647521的下一個(gè)排列是367452189。又例如求987635421的下一個(gè)排列，只需要將9876從小到大排到最右端并將5與其左方數(shù)字3對(duì)調(diào)，得到534216789。4.鄰位對(duì)換法鄰位對(duì)換法中下一個(gè)排列總是上一個(gè)排列某相鄰兩位對(duì)換得到的。以4個(gè)元素的排列為例，將最后的元素4逐次與前面的元素交換，可以生成4個(gè)新排列：1 2 3 4 1 2 4 3 1 4 2 3 4 1 2 3然后將最后一個(gè)排列的末尾的兩個(gè)元素交換，再逐次將排頭的4與其后的元素交換，又生成四個(gè)新排列：4 1 3 2 1 4 3 2 1 3 4 2 1 3 2 4再將最后一個(gè)排列的末尾的兩個(gè)元素交換，將4從后往前移：3 1 2 4 3 1 4 2 3 4 1 2 4 3 1 2如此循環(huán)既可求出全部排列。5.元素增值法（n進(jìn)制法）1）從原始排列p=p1p2.pn開(kāi)始，第n位加n-1，如果該位的值超過(guò)n，則將它除以n，用余數(shù)取代該位，并進(jìn)位（將第n-1位加1）2）再按同樣方法處理n-1位，n-2位，.，直至不再發(fā)生進(jìn)位為止，處理完一個(gè)排列就產(chǎn)生了一個(gè)新的排列3）將其中有相同元素的排列去掉4）當(dāng)?shù)谝粋€(gè)元素的值n則結(jié)束以3個(gè)數(shù)1、2、3的排列為例：原始排列是1 2 3，從它開(kāi)始，第3個(gè)元素是3，3+2=5，5 Mod 3=2，第2個(gè)元素是2，2+1=3，所以新排列是1 3 2。通過(guò)元素增值，順序產(chǎn)生的排列是：1 2 3，1 3 2，2 1 1，2 1 3，2 2 2，2 3 1，2 3 3，3 1 2，3 2 1有下劃線的排列中存在重復(fù)元素，丟棄，余下的就是全部排列。6.遞歸類算法全排列的生成方法用遞歸方式描述比較簡(jiǎn)潔，實(shí)現(xiàn)的方法也有多種。1）回溯法回溯法通常是構(gòu)造一顆生成樹(shù)。以3個(gè)元素為例；樹(shù)的節(jié)點(diǎn)有個(gè)數(shù)據(jù)，可取值是1、2、3。如果某個(gè)為0，則表示尚未取值。初始狀態(tài)是(0，0，0)，第1個(gè)元素值可以分別挑選1，2，3，因此擴(kuò)展出3個(gè)子結(jié)點(diǎn)。用相同方法找出這些結(jié)點(diǎn)的第2個(gè)元素的可能值，如此反復(fù)進(jìn)行，一旦出現(xiàn)新結(jié)點(diǎn)的3個(gè)數(shù)據(jù)全非零，那就找到了一種全排列方案。當(dāng)嘗試了所有可能方案，即獲得了問(wèn)題的解答。2）遞歸算法如果用P表示n個(gè)元素的排列，而Pi表示不包含元素i的排列，(i)Pi表示在排列Pi前加上前綴i的排列，那么，n個(gè)元素的排列可遞歸定義為：如果n=1，則排列P只有一個(gè)元素i如果n1，則排列P由排列(i)Pi構(gòu)成（i=1、2、.、n-1）。根據(jù)定義，容易看出如果已經(jīng)生成了k-1個(gè)元素的排