高考必考題突破講座5直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用.doc

高考必考題突破講座(五)直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用解密考綱圓錐曲線是平面解析幾何的核心內(nèi)容，體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，常以求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、位置關(guān)系、定點(diǎn)、定值、最值、范圍、探索性問題為主在高考中進(jìn)行考查其目標(biāo)是考查學(xué)生幾何問題代數(shù)化的應(yīng)用、運(yùn)算能力和分析解決問題的能力1已知橢圓1(ab0)經(jīng)過點(diǎn)(0，)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)(1)求橢圓的方程；(2)若直線l：yxm與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與以F1F2為直徑的圓交于C，D兩點(diǎn)，且滿足，求直線l的方程解析 (1)由題設(shè)知解得a2，b，c1，橢圓的方程為1.(2)由(1)知，以F1F2為直徑的圓的方程為x2y21，圓心到直線l的距離d，由d1，得|m|b0，x0)和圓N：(x2)2y25在y軸右側(cè)的部分連接而成，A，B是M與N的公共點(diǎn)，點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)A，B)分別是M，N上的動點(diǎn)(1)若|PQ|的最大值為4，求半橢圓M的方程；(2)若直線PQ過點(diǎn)A，且0，求半橢圓M的離心率解析 (1)令x0，由(x2)2y25得y1，A(0,1)，B(0，1)，b1.由題意可知當(dāng)P，Q均在x軸上時(shí)，|PQ|取得最大值，a24，a2.半橢圓M的方程為y21(x0)(2)由(1)得A(0,1)，B(0，1)，由題意知直線PQ的斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為ykx1.設(shè)P(x1，y1)，由得(1a2k2)x22a2kx0，x1.設(shè)Q(x2，y2)，由得(1k2)x22(k2)x0，x2.0，x1x2.，0，(1k2)x1x22k(x1x2)40，(1k2)x40，將x2代入上式，得k，x1，x2，a2，c2，e.3平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓M：1(ab0)右焦點(diǎn)的直線xy0交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為.(1)求M的方程；(2)C，D為M上兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對角線CDAB，求四邊形ACBD的面積的最大值解析 (1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則1，1，1.由此可得1.因?yàn)閤1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由題意知，M的右焦點(diǎn)為(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程為1.(2)由解得或因此|AB|.由題意可設(shè)直線CD的方程為yxn，設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)，由得3x24nx2n260.于是x3,4.因?yàn)橹本€CD的斜率為1，所以|CD|x4x3|.由已知，四邊形ACBD的面積S|CD|AB|.當(dāng)n0時(shí)，S取得最大值，最大值為.4(2018福建質(zhì)檢)已知圓O：x2y24，點(diǎn)A(，0)，B(，0)，以線段AP為直徑的圓C1內(nèi)切于圓O.記點(diǎn)P的軌跡為C2.(1)證明：|AP|BP|為定值，并求C2的方程；(2)過點(diǎn)O的一條直線交圓O于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)D(2,0)，直線DM，DN與C2的另一個(gè)交點(diǎn)分別為S，T.記DMN，DST的面積分別為S1，S2，求的取值范圍解析 (1)如圖，因?yàn)閳AC1內(nèi)切于圓O，所以|OC1|2|AP|.依題意，O，C1分別為AB，AP的中點(diǎn)，所以|OC1|BP|，所以|AP|BP|2(2|OC1|)2|OC1|4|AB|.所以C2是以A，B為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，所以C2的方程為y21.(2)依題意，設(shè)直線DM的方程為xmy2(m0)，因?yàn)镸N為圓O的直徑，所以MDN90，所以直線DN的方程為xy2，由得(1m2)y24my0，所以yM，由得(4m2)y24my0，所以yS，所以，所以，所以.令t1m2，則t1,00，p為常數(shù))交于不同的兩點(diǎn)M，N，且當(dāng)k時(shí)，拋物線C的焦點(diǎn)F到直線l的距離為.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)M的直線交拋物線于另一點(diǎn)Q，且直線MQ過點(diǎn)B(1，1)，求證：直線NQ過定點(diǎn)解析 (1)當(dāng)k時(shí)，直線l：y，即2x4yp0，拋物線C的焦點(diǎn)F到直線l的距離d，解得p2，又p0，所以p2，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x.(2)設(shè)點(diǎn)M(4t2,4t)，N(4t，4t1)，Q(4t，4t2)，易知直線MN，MQ，NQ的斜率均存在，則直線MN的斜率是kMN，從而直線MN的方程是y(x4t2)4t，即x(tt1)y4tt10.同理可知MQ的方程是x(tt2)y4tt20，NQ的方程是x(t1t2)y4t1t20.又易知點(diǎn)(1,0)在直線MN上，從而有4tt11，即t，點(diǎn)B(1，1)在直線MQ上，從而有1(tt2)(1)4tt20，即1(1)4t20，化簡得4t1t24(t1t2)1.代入NQ的方程得x(t1t2)y4(t1t2)10.所以直線NQ過定點(diǎn)(1，4)6(2018甘肅張掖一診)已知橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|2，點(diǎn)P為橢圓短軸的端點(diǎn)，且PF1F2的面積為2.(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)B是橢圓上的一定點(diǎn)，B1，B2是橢圓上的兩動點(diǎn)，且直線BB1，BB2關(guān)于直線x1對稱，試證明直線B1B2的斜率為定值解析 (1)由題意可知c，SPF1F2|F1F2|b2，所以b2，求得a3，故橢圓的方程為1.(2)設(shè)直線BB1的斜率為k，因?yàn)橹本€BB1與直線BB2關(guān)于直線x1對稱，所以直線BB2的斜率為k，所以