蘇教版選修45 基本不等式知識導(dǎo)航 學(xué)案.doc

1.1.2基本不等式知識梳理1.基本不等式如果_，那么,當(dāng)且僅當(dāng)_時，等號成立._稱為a,b的算術(shù)平均，_稱為a,b的幾何平均.基本不等式可以表述為：兩個正數(shù)的_不小于它們的_.2基本不等式的幾何意義直角三角形斜邊上的_不小于斜邊上的_.3重要不等式如果a,b_，那么a2+b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)_時，等號成立.4重要的不等式鏈（1）ab()2a2+b2（a,br）;（2）設(shè)0ab，則a_b.5應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值已知x,y都為正數(shù)，則（1）若x+y=s（和為定值），則當(dāng)_時，積xy取得最大值_；（2）若xy=p（積為定值），則當(dāng)_時，和x+y取得最小值_.知識導(dǎo)學(xué)1.對于公式a2+b22ab及定理的應(yīng)用要注意：（1）a2+b22ab與成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a,b都是正數(shù).有些同學(xué)易忽略這一點(diǎn)，例如：（-1）2+（-4）22(-1)(-4)成立，而不成立.(2)這兩個公式都帶有等號，應(yīng)從兩方面理解，“當(dāng)且僅當(dāng)取=號”這句話：當(dāng)a=b時取等號，其意義是a=b;僅當(dāng)a=b時取等號,其意義是a=b.綜合起 ，其意義是：a=b是成立的充要條件.2.利用算術(shù)平均與幾何平均的定理求某些函數(shù)的最值時應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)函數(shù)式中，各項(xiàng)必須都是正數(shù)，例如對于函數(shù)式x+，當(dāng)x0時，x+2不成立.因此，x+的最小值不是2.事實(shí)上,當(dāng)x0,0,-(x+)=(-x)+1(-x)2.x+-2.x+有最大值-2,x=-1時取最大值-2.(2)函數(shù)式中，含變量的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)，并且只有當(dāng)各項(xiàng)相等時，才能利用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系求某些函數(shù)的最大值或最小值. 利用基本不等式的條件可以概括為：一正，二定，三相等.三者缺一不可.疑難突破1認(rèn)識基本不等式中的數(shù)a,b 在利用基本不等式時，要準(zhǔn)確定位其中的“數(shù)”.例如在試題“已知2x+y=1,x,yr+，求xy的最大值.”中“兩個數(shù)”不是“x”與“y”，而是已知條件中的“2x”與“y”，這是因?yàn)槎ㄖ凳恰?x+y=1”，而“x+y”不是定值.因而要求xy的最大值應(yīng)視作求(2x)y的最大值.即xy=(2x)y（）2=. 定位準(zhǔn)確基本不等式中的“數(shù)”是使用基本不等式的大前提. 再如：在“設(shè)實(shí)數(shù)a,b,x,y滿足a2+b2=1,x2+y2=3，求ax+by的最大值.”中要求的“ax+by”，似乎告訴我們可以利用基本不等式求最值.ax+by=2. 但是這種解法不正確，這四個數(shù)分兩組在使用基本不等式，不符合使用的條件，本題中取“=”的條件是這與a2+b2=1與x2+y2=3矛盾.因此正確的解法應(yīng)是三角換元法：令a=cos,b=sin,x=cos,y=sin,ax+by=coscos+sinsin= (coscos+sinsin)=cos(-).ax+by的最大值是.2求最值問題要選擇合適的重要不等式 在本節(jié)中，有幾個重要的不等式鏈，這就要求必須選擇合適的重要不等式及其變形式去解題，如上面例子中：xy=2xy()=.用的是不等式鏈中的ab()2.但是，xy=122xy12,也可以. 這兩種解法比較，可發(fā)現(xiàn)，求得的最值不一樣，這說明不同的重要不等式的變形式