蘇教版選修45 證明不等式的基本方法一比較法 學(xué)案.doc

一比較法1理解作差比較法和作商比較法2用比較法證明不等式1比較法的種類(lèi)比較法一般分為兩種：_和_2作差比較法(1)作差比較法的證明依據(jù)：_.(2)基本步驟：_；_；_；_.用作差比較法證明不等式時(shí)，要判斷不等式兩邊差的符號(hào)，對(duì)不等式兩邊求差后，要通過(guò)配方、因式分解、通分等，對(duì)所得代數(shù)式進(jìn)行變形，得到一個(gè)能夠明顯看得出其符號(hào)的代數(shù)式，進(jìn)而得出證明【做一做11】 當(dāng)ab0時(shí)，下列關(guān)系式中成立的是()a. blgb2lga2c.1 d【做一做12】 若p，q，r，則p，q，r的大小關(guān)系是()apqr bprqcqpr dqrp3作商比較法(1)作商比較法的證明依據(jù)：_(2)基本步驟：_；_；_；_.【做一做21】 比較大?。簂og34_log67.【做一做22】 比較大?。篲.答案：1作差比較法作商比較法2(1)(2)作差變形判斷符號(hào)下結(jié)論【做一做11】 b方法1：取特殊值a4，b1，則知選項(xiàng)a，c，d不正確，選項(xiàng)b正確，故選b；方法2：ab0，a2b2.而函數(shù)ylgx(x0)為增函數(shù)，lg b2lg a2，b項(xiàng)正確【做一做12】 a2，即pq；又，即qr.pqr.3(1)當(dāng)b0時(shí)，(2)作商變形判斷與“1”的大小下結(jié)論【做一做21】 設(shè)log34a，log67b，則3a4,6b7，得73a46b42b3b，即3ab，由log67b可知，b1，所以2b2，則3ab1，所以ab0，即ab，即log3 4log6 7.【做一做22】 ，又1，1.1作差比較法證明不等式的一般步驟剖析：(1)作差：將不等式左右兩邊的式子看作一個(gè)整體進(jìn)行作差(2)變形：將差式進(jìn)行變形，變形為一個(gè)常數(shù)，或變形為若干個(gè)因式的積，或變形為一個(gè)或幾個(gè)平方和等等(3)判斷符號(hào)：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差的正負(fù)號(hào)(4)結(jié)論：肯定不等式成立的結(jié)論若差式的符號(hào)不能確定，且與某些字母的取值有關(guān)時(shí)，需對(duì)這些字母進(jìn)行討論2作商比較法中的符號(hào)問(wèn)題的確定剖析：在作商比較法中，1ba是不正確的，這與a，b的符號(hào)有關(guān)，比如若a，b0，由1，可得ba，但若a，b0，則由1得出的反而是ba，也就是說(shuō)，在作商比較法中，要對(duì)a，b的符號(hào)作出判斷否則，結(jié)論將是錯(cuò)誤的對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，可分為含參數(shù)變量類(lèi)的和大小固定的，因而也可以通過(guò)特殊值的方法進(jìn)行一定的猜測(cè)，進(jìn)而給出一定的理性推理或證明過(guò)程使用作商比較法時(shí)一定要注意不等式兩邊的式子均為正值，若均為負(fù)值時(shí)，可先同乘以1，轉(zhuǎn)化后再進(jìn)行證明題型一 利用作差比較法證明不等式【例1】 已知a1，求證：.分析：因不等式兩邊進(jìn)行分子有理化相減后，可判斷差的符號(hào)，故可用作差比較法進(jìn)行證明反思：根據(jù)左、右兩邊都含無(wú)理式的特點(diǎn)，也可以采取兩邊平方的方法 比較，但是應(yīng)先判斷兩邊的符號(hào)，都大于0時(shí)，兩邊平方是等價(jià)變形，否則要改變不等號(hào)又因?yàn)閍1，所以不等式兩邊都大于0，故還可以用作商比較法進(jìn)行證明題型二 利用作商比較法證明不等式【例2】 已知a0，b0，求證：.分析：因?yàn)閍，b均為正數(shù)，故而不等式左邊和右邊都是正數(shù)，所以可以用作商比較法進(jìn)行比較反思：作商比較法的前提條件是兩個(gè)數(shù)a，b都大于0，對(duì)進(jìn)行整理，直到能清晰看出與1的大小關(guān)系為止在運(yùn)算過(guò)程中注意運(yùn)用計(jì)算技巧題型三 比較法在綜合題目中的應(yīng)用【例3】 已知數(shù)列an的首項(xiàng)a15，前n項(xiàng)和為sn，且sn12snn5(nn)(1)證明數(shù)列an1是等比數(shù)列；(2)令f(x)a1xa2x2anxn，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)x1處的導(dǎo)數(shù)f(1)，并比較2f(1)與23n213n的大小分析：在比較大小時(shí)，作差法的差式與“n”的取值有關(guān)，且大小關(guān)系隨“n”的變化而變化反思：此類(lèi)題是典型的結(jié)論不唯一的比較大小的問(wèn)題在數(shù)列中，大小問(wèn)題可能會(huì)隨“n”變化而變化往往n1,2，前幾個(gè)自然數(shù)對(duì)應(yīng)的值與后面nn0的值大小不一樣，這就要求在解答這樣的題時(shí)，要時(shí)刻有“大小關(guān)系不一定唯一”的念頭，即時(shí)刻提醒自己所求解的問(wèn)題是否需要討論答案：【例1】 證明：()()0，.【例2】 證明：，又a2b22ab，1，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)取等號(hào).【例3】 (1)證明：由已知sn12snn5，n2時(shí)，sn2sn1n4，兩式相減，得sn1sn2(snsn1)1，即an12an1，從而an112(an1)當(dāng)n1時(shí)，s22s115，a1a22a16.又a15，故a211，從而a212(a11)故總有an112(an1)，nn.又a15，a110，從而2，即an1是以a116為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列(2)解：由(1)可知an32n1.f(x)a1xa2x2anxn，f(x)a12a2xnanxn1.從而f(1)a12a2nan(321)2(3221)n(32n1)3(2222n2n)(123n)3n2n1(22n)3(n2n12n12)3(n1)2n16.則2f(1)(23n213n)12(n1)2n12(2n2n1)12(n1)2n12(n1)(2n1)12(n1)2n(2n1)(*)當(dāng)n1時(shí)，(*)式0，2f(1)23n213n；當(dāng)n2時(shí)，(*)式120，2f(1)23n213n；當(dāng)n3時(shí)，n10，又2n(11)ncccc2n22n1，(n1)2n(2n1)0，即(*)式0，從而2f(1)23n213n.1已知a0且a1，ploga(a31)，qloga(a21)，則p，q的大小關(guān)系是()apq bpqcpq d大小不確定2下列命題：當(dāng)b0時(shí)，ab1；當(dāng)b0時(shí)，ab1；當(dāng)a0，b0時(shí)，1ab；當(dāng)ab0時(shí)，1ab.其中是真命題的為()a bc d3當(dāng)x1時(shí)，x3與x2x1的大小關(guān)系是_4對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，求證：x232x.5已知an是公比為q的等比數(shù)列，且a1，a3，a2成等差數(shù)列(1)求q的值；(2)設(shè)bn是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為sn，當(dāng)n2時(shí)，比較sn與bn的大小，并說(shuō)明理由答案：1apqloga(a31)loga(a21).當(dāng)0a1時(shí)，0a31a21，則01，0，即pq0.pq.當(dāng)a1時(shí)，a31a210，1，0，即pq0.pq.2a3x3x2x1x3(x2x1)x3x2x1x2(x1)(x1)(x1)(x21)，且x1，x10.又x210，x3(x2x1)0，即x3x2x1.4證明：x232x(x1)220，x232x.5解：(1)由題設(shè)知2