初二數(shù)學(xué)三角形探究題帶詳細(xì)解析含答案v1.doc

初二三角形探究題V1一解答題（共30小題）1（2015春十堰期末）如圖，已知射線CDAB，C=ABD=110，E，F(xiàn)在CD上，且滿足EAD=EDA，AF平分CAE（1）求FAD的度數(shù)；（2）若向右平行移動(dòng)BD，其它條件不變，那么ADC：AEC的值是否發(fā)生變化？若變化，找出其中規(guī)律；若不變，求出這個(gè)比值；（3）在向右平行移動(dòng)BD的過程中，是否存在某種情況，使AFC=ADB？若存在，請(qǐng)求出ADB度數(shù)；若不存在，說明理由2（2015春瑤海區(qū)期末）如圖，已知ABCD，BEFG（1）如果1=53，求2和3的度數(shù)；（2）本題隱含著一個(gè)規(guī)律，請(qǐng)你根據(jù)（1）的結(jié)果進(jìn)行歸納，使用文字語言表達(dá)出來；（3）利用（2）的結(jié)論解答：如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，其中一個(gè)角比另一個(gè)角的2倍小30，求這兩個(gè)角的大小3（2015秋攀枝花校級(jí)期末）如圖1，E是直線AB，CD內(nèi)部一點(diǎn)，ABCD，連接EA，ED（1）探究猜想：若A=25，D=35，則AED等于度若A=35，D=45，則AED等于度猜想圖1中AED，EAB，EDC的關(guān)系并證明你的結(jié)論（2）拓展應(yīng)用：如圖2，射線FE與矩形ABCD的邊AB交于點(diǎn)E，與邊CD交于點(diǎn)F，分別是被射線FE隔開的4個(gè)區(qū)域（不含邊界，其中區(qū)域、位于直線AB上方，P是位于以上四個(gè)區(qū)域上的點(diǎn)，猜想：PEB，PFC，EPF的關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不要求證明）4（2015春江都市期末）如圖（1），四邊形ABCD中，ADBC，點(diǎn)E是線段CD上一點(diǎn)，（1）說明：AEB=DAE+CBE；（2）如圖（2），當(dāng)AE平分DAC，ABC=BAC說明：ABE+AEB=90；如圖（3）若ACD的平分線與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，且F=60，求BCD5（2015春平南縣期末）如圖，已知ABCD，直線l分別截AB、CD于E、C兩點(diǎn)，M是線段EC上一動(dòng)點(diǎn)（不與E、C重合），過M點(diǎn)作MNCD于點(diǎn)N，連結(jié)EN（1）如圖1，當(dāng)ECD=40時(shí)，填空：FEB=；MEN+MNE=；（2）如圖2，當(dāng)ECD=時(shí)，猜想MEN+MNE的度數(shù)與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論6（2015春建昌縣期末）已知：如圖，直線ab，直線c與直線a、b分別相交于C、D兩點(diǎn)，直線d與直線a、b分別相交于A、B兩點(diǎn)（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上（不與A、B兩點(diǎn)重合）運(yùn)動(dòng)時(shí)，1、2、3之間有怎樣的大小關(guān)系？請(qǐng)說明理由；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，1、2、3之間的大小關(guān)系為；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，1、2、3之間的大小關(guān)系為7（2015春遷安市期末）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系（1）如圖1，若ABCD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有B=BOD，又因BOD是POD的外角，故BOD=BPD+D得BPD=BD將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖2，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則BPD、B、D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）在如圖2中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖3，則BPD、B、D、BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求如圖4中A+B+C+D+E的度數(shù)8（2015營(yíng)口）【問題探究】（1）如圖1，銳角ABC中分別以AB、AC為邊向外作等腰ABE和等腰ACD，使AE=AB，AD=AC，BAE=CAD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說明理由【深入探究】（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，ABC=ACD=ADC=45，求BD的長(zhǎng)（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)ACD在線段AC的左側(cè)時(shí)，求BD的長(zhǎng)9（2015菏澤）如圖，已知ABC=90，D是直線AB上的點(diǎn)，AD=BC（1）如圖1，過點(diǎn)A作AFAB，并截取AF=BD，連接DC、DF、CF，判斷CDF的形狀并證明；（2）如圖2，E是直線BC上一點(diǎn)，且CE=BD，直線AE、CD相交于點(diǎn)P，APD的度數(shù)是一個(gè)固定的值嗎？若是，請(qǐng)求出它的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由10（2015貴港）已知：ABC是等腰直角三角形，動(dòng)點(diǎn)P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊作等腰直角三角形PCQ，其中PCQ=90，探究并解決下列問題：（1）如圖，若點(diǎn)P在線段AB上，且AC=1+，PA=，則：線段PB=，PC=；猜想：PA2，PB2，PQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖，若點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，在（1）中所猜想的結(jié)論仍然成立，請(qǐng)你利用圖給出證明過程；（3）若動(dòng)點(diǎn)P滿足=，求的值（提示：請(qǐng)利用備用圖進(jìn)行探求） 11（2014南京）【問題提出】學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究【初步思考】我們不妨將問題用符號(hào)語言表示為：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，然后，對(duì)B進(jìn)行分類，可分為“B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究【深入探究】第一種情況：當(dāng)B是直角時(shí)，ABCDEF（1）如圖，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E=90，根據(jù)，可以知道RtABCRtDEF第二種情況：當(dāng)B是鈍角時(shí)，ABCDEF（2）如圖，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是鈍角，求證：ABCDEF第三種情況：當(dāng)B是銳角時(shí)，ABC和DEF不一定全等（3）在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是銳角，請(qǐng)你用尺規(guī)在圖中作出DEF，使DEF和ABC不全等（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）B還要滿足什么條件，就可以使ABCDEF？請(qǐng)直接寫出結(jié)論：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是銳角，若，則ABCDEF12（2014德州）問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)且EAF=60探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G使DG=BE連結(jié)AG，先證明ABEADG，再證明AEFAGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，B+D=180E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且EAF=BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn).1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離13（2014紹興）（1）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，EAF=45，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G，使DG=BE，連結(jié)EF，AG求證：EF=FG（2）如圖，等腰直角三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且MAN=45，若BM=1，CN=3，求MN的長(zhǎng)14（2014佛山）（1）證明三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半；要求根據(jù)圖1寫出已知、求證、證明；在證明過程中，至少有兩處寫出推理依據(jù)（“已知”除外）（2）如圖2，在ABCD中，對(duì)角線交點(diǎn)為O，A1、B1、C1、D1分別是OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)，A2、B2、C2、D2分別是OA1、OB1、OC1、OD1的中點(diǎn)，以此類推若ABCD的周長(zhǎng)為1，直接用算式表示各四邊形的周長(zhǎng)之和l；（3）借助圖形3反映的規(guī)律，猜猜l可能是多少？15（2014雁塔區(qū)校級(jí)模擬）閱讀下題及證明過程：已知：如圖，D是ABC中BC邊上一點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，EB=EC，ABE=ACE，求證：BAE=CAE證明：在AEB和AEC中，EB=EC，ABE=ACE，AE=AE，AEBAEC第一步BAE=CAE第二步問上面證明過程是否正確？若正確，請(qǐng)寫出每一步推理的依據(jù)；若不正確，請(qǐng)指出錯(cuò)在哪一步，并寫出你認(rèn)為正確的證明過程16（2013東營(yíng)）（1）如圖（1），已知：在ABC中，BAC=90，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD直線m，CE直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E證明：DE=BD+CE（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中為任意銳角或鈍角請(qǐng)問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為BAC平分線上的一點(diǎn)，且ABF和ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若BDA=AEC=BAC，試判斷DEF的形狀17（2013湖州）一節(jié)數(shù)學(xué)課后，老師布置了一道課后練習(xí)題：如圖，已知在RtABC中，AB=BC，ABC=90，BOAC于點(diǎn)O，點(diǎn)P、D分別在AO和BC上，PB=PD，DEAC于點(diǎn)E，求證：BPOPDE（1）理清思路，完成解答（2）本題證明的思路可用下列框圖表示：根據(jù)上述思路，請(qǐng)你完整地書寫本題的證明過程（2）特殊位置，證明結(jié)論若PB平分ABO，其余條件不變求證：AP=CD（3）知識(shí)遷移，探索新知若點(diǎn)P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OC的中點(diǎn)P時(shí)，滿足題中條件的點(diǎn)D也隨之在直線BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，請(qǐng)直接寫出CD與AP的數(shù)量關(guān)系（不必寫解答過程）18（2013河南）如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中C=90，B=E=30（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定ABC，使DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空：線段DE與AC的位置關(guān)系是；設(shè)BDC的面積為S1，AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是（2）猜想論證當(dāng)DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了BDC和AEC中BC、CE邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想（3）拓展探究已知ABC=60，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，BD=CD=4，DEAB交BC于點(diǎn)E（如圖4）若在射線BA上存在點(diǎn)F，使SDCF=SBDE，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的BF的長(zhǎng)19（2013煙臺(tái)）已知，點(diǎn)P是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，Q為斜邊AB的中點(diǎn)（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是，QE與QF的數(shù)量關(guān)系式；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA（或AB）的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)（2）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫出圖形并給予證明20（2013昭通）已知ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時(shí)針排列），使DAF=60，連接CF（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請(qǐng)寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系21（2013威海）操作發(fā)現(xiàn)將一副直角三角板如圖擺放，能夠發(fā)現(xiàn)等腰直角三角板ABC的斜邊與含30角的直角三角板DEF的長(zhǎng)直角邊DE重合問題解決將圖中的等腰直角三角板ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30，點(diǎn)C落在BF上，AC與BD交于點(diǎn)O，連接CD，如圖（1）求證：CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的長(zhǎng)22（2013常德）已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰RtABC，RtCEF，ABC=CEF=90，連接AF，M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME（1）如圖1，當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí)，求證：MBCF；（2）如圖1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的長(zhǎng)；（3）如圖2，當(dāng)BCE=45時(shí)，求證：BM=ME23（2013重慶模擬）如圖，P為正方形ABCD邊BC上一點(diǎn)，F(xiàn)在AP上，且AF=AD，EFAP交CD于點(diǎn)E，G為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BG=DE（1）求證：PAG=BAP+DAP；（2）若DE=2，AB=4，求AP的長(zhǎng)24（2013涪陵區(qū)校級(jí)模擬）如圖，ADE的頂點(diǎn)D在ABC的BC邊上，且ABD=ADB，BAD=CAE，AC=AE求證：BC=DE25（2013廬陽區(qū)校級(jí)模擬）如圖，將兩個(gè)全等的直角三角形ABD、ACE拼在一起（圖1）ABD不動(dòng)，（1）若將ACE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接DE，M是DE的中點(diǎn)，連接MB、MC（圖2），證明：MB=MC（2）若將圖1中的CE向上平移，CAE不變，連接DE，M是DE的中點(diǎn)，連接MB、MC（圖3），判斷并直接寫出MB、MC的數(shù)量關(guān)系（3）在（2）中，若CAE的大小改變（圖4），其他條件不變，則（2）中的MB、MC的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說明理由26（2013成都校級(jí)模擬）如圖，點(diǎn)C是線段AB上除A、B外的任意一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在線段AB的同旁作等邊三角形ACD和等邊三角形BEC，連結(jié)AE交DC于M，連結(jié)BD交CE于N，AE與BD交于F（1）求證：AE=BD；（2）連結(jié)MN，仔細(xì)觀察MNC的形狀，猜想MNC是什么三角形？說出你的猜想，并加以證明27（2013汕尾模擬）如圖所示，OAB是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A在x軸的正方向上，將OAB折疊，使點(diǎn)B落在邊OA上，記為B，折痕為EF（1）設(shè)OB的長(zhǎng)為x，OBE的周長(zhǎng)為c，求c關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)BEy軸時(shí)，求點(diǎn)B和點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）當(dāng)B在OA上運(yùn)動(dòng)但不與O、A重合時(shí)，能否使EBF成為直角三角形？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由28（2013青羊區(qū)一模）如圖，ABC中AB=AC，BC=6，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長(zhǎng)線移動(dòng)，已知點(diǎn)P、Q移動(dòng)的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求CD的長(zhǎng)；（2）如圖，過點(diǎn)P作直線BC的垂線垂足為E，當(dāng)點(diǎn)P、Q在移動(dòng)的過程中，線段BE、DE、CD中是否存在長(zhǎng)度保持不變的線段？請(qǐng)說明理由29（2013渝中區(qū)校級(jí)模擬）如圖（1），RtAOB中，AOB的平分線OC交AB于C，過O點(diǎn)做與OB垂直的直線ON動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線BCCO以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿折線COON以相同的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（1）求OC、BC的長(zhǎng)；（2）設(shè)CPQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)P在OC上Q在ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖（2），設(shè)PQ與OA交于點(diǎn)M，當(dāng)t為何值時(shí)，OPM為等腰三角形？求出所有滿足條件的t值30（2013武漢模擬）已知ABC中，AB=AC（1）如圖1，在ADE中，若AD=AE，且DAE=BAC，求證：CD=BE；（2）如圖2，在ADE中，若DAE=BAC=60，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的長(zhǎng)；（3）如圖3，在ADE中，當(dāng)BD垂直平分AE于H，且BAC=2ADB時(shí)，試探究CD2，BD2，AH2之間的數(shù)量關(guān)系，并證明初二三角形探究題V1參考答案與試題解析一解答題（共30小題）1（2015春十堰期末）如圖，已知射線CDAB，C=ABD=110，E，F(xiàn)在CD上，且滿足EAD=EDA，AF平分CAE（1）求FAD的度數(shù)；（2）若向右平行移動(dòng)BD，其它條件不變，那么ADC：AEC的值是否發(fā)生變化？若變化，找出其中規(guī)律；若不變，求出這個(gè)比值；（3）在向右平行移動(dòng)BD的過程中，是否存在某種情況，使AFC=ADB？若存在，請(qǐng)求出ADB度數(shù)；若不存在，說明理由【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出CAB的度數(shù)，BAD=EAD，再由EAD=EDA，AF平分CAE可得出FAD=CAB，由此可得出結(jié)論；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可直接得出結(jié)論；（3）設(shè)BAD=EAD=EDA=x，由（1）知FAD=35，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可知AFC=x+35再由ABCD可得出BDC=70，故ADB=70x，求出x的值即可得出結(jié)論【解答】解：（1）射線CDAB，C=110，CAB=70，BAD=EAD，EAD=EDA，EAD=BAD=EABAF平分CAE，F(xiàn)AD=FAE+EAD=CAB=70=35；（2）不變ABCD，C=110，CAB=70當(dāng)BD向右平移時(shí)，EAD增大，CAB不變，EAD=EDA，AEC=EAD+EDA，ADC：AEC=1：2；（3）存在設(shè)BAD=EAD=EDA=x，由（1）知FAD=35，AFC=x+35ABCD，ABD=110，BDC=70，ADB=70x，AFC=ADB，x+35=70x，解得x=17.5，ADB=7017.5=52.5【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，涉及到三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)難度適中2（2015春瑤海區(qū)期末）如圖，已知ABCD，BEFG（1）如果1=53，求2和3的度數(shù)；（2）本題隱含著一個(gè)規(guī)律，請(qǐng)你根據(jù)（1）的結(jié)果進(jìn)行歸納，使用文字語言表達(dá)出來；（3）利用（2）的結(jié)論解答：如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，其中一個(gè)角比另一個(gè)角的2倍小30，求這兩個(gè)角的大小【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出4的度數(shù)，再由BEFG即可得出2的度數(shù)，根據(jù)補(bǔ)角的定義即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律即可得出結(jié)論；（3）設(shè)一個(gè)角的度數(shù)為x，則x+（2x30）=180或x=2x30，求出x的值即可【解答】解：（1）ABCD，1=53，4=1=53BEFG，2=4=53，3=18053=127；（2）由（1）中的規(guī)律可知，如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；（3）設(shè)一個(gè)角的度數(shù)為x，則x+（2x30）=180或x=2x30，解得x=70或30，這兩個(gè)角的度數(shù)分別是70，110或30，30【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，同位角相等3（2015秋攀枝花校級(jí)期末）如圖1，E是直線AB，CD內(nèi)部一點(diǎn)，ABCD，連接EA，ED（1）探究猜想：若A=25，D=35，則AED等于60度若A=35，D=45，則AED等于80度猜想圖1中AED，EAB，EDC的關(guān)系并證明你的結(jié)論（2）拓展應(yīng)用：如圖2，射線FE與矩形ABCD的邊AB交于點(diǎn)E，與邊CD交于點(diǎn)F，分別是被射線FE隔開的4個(gè)區(qū)域（不含邊界，其中區(qū)域、位于直線AB上方，P是位于以上四個(gè)區(qū)域上的點(diǎn)，猜想：PEB，PFC，EPF的關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不要求證明）【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）過點(diǎn)E作EFAB，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；根據(jù)的過程可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論【解答】解：（1）過點(diǎn)E作EFAB，ABCD，ABCDEF，A=25，D=35，1=A=25，2=D=35，AED=1+2=60；過點(diǎn)E作EFAB，ABCD，ABCDEF，A=35，D=45，1=A=35，2=D=45，AED=1+2=80；猜想：AED=EAB+EDC理由：過點(diǎn)E作EFCD，ABDCEFAB（平行于同一條直線的兩直線平行），1=EAB，2=EDC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），AED=1+2=EAB+EDC（等量代換）（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在區(qū)域時(shí)，ABCD，BEF+CFE=180，PEF+PFE=（PEB+PFC）180PEF+PFE+EPF=180，EPF=180（PEF+PFE）=180（PEB+PFC）+180=360（PEB+PFC）；當(dāng)點(diǎn)P在區(qū)域時(shí)，如圖3所示，ABCD，BEF+CFE=180，EPF+FEP+PFE=180，EPF=PEB+PFC故答案為：（1）60，80【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵4（2015春江都市期末）如圖（1），四邊形ABCD中，ADBC，點(diǎn)E是線段CD上一點(diǎn)，（1）說明：AEB=DAE+CBE；（2）如圖（2），當(dāng)AE平分DAC，ABC=BAC說明：ABE+AEB=90；如圖（3）若ACD的平分線與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，且F=60，求BCD【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）過E作EFAD，根據(jù)ADBC可得出EFBC，故可得出DAE=EAF，CBE=BEF，由此可得出結(jié)論；（2）根據(jù)ADBC可知DAC=ACB再由AE平分DAC得出EAC=DAC=ACB，根據(jù)ABC=BAC，ABC+BAC+ACB=180即可得出結(jié)論；由知BAE=90，故FAE=90再由三角形外角的性質(zhì)得出AGC=90+60=150根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出GAC+ACG=30由AE平分DAC，CF平分ACD及三角形內(nèi)角和定理得出D的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論【解答】解：（1）過E作EFAD，ADBC，EFBC，DAE=EAF，CBE=BEF，AEB=DAE+CBE；（2）證明：ADBC，DAC=ACBAE平分DAC，EAC=DAC=ACB，ABC=BAC，ABC+BAC+ACB=180，BAC+EAC=90，ABE+AEB=90；解：如圖（3），由知BAE=90，F(xiàn)AE=90F=60，AGC=90+60=150GAC+ACG=30AE平分DAC，CF平分ACD，DAC+ACD=2（GAC+ACG）=60，D=18060=120ADBC，BCD=180D=180120=60【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，涉及到角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，難度適中5（2015春平南縣期末）如圖，已知ABCD，直線l分別截AB、CD于E、C兩點(diǎn)，M是線段EC上一動(dòng)點(diǎn)（不與E、C重合），過M點(diǎn)作MNCD于點(diǎn)N，連結(jié)EN（1）如圖1，當(dāng)ECD=40時(shí)，填空：FEB=40；MEN+MNE=50；（2）如圖2，當(dāng)ECD=時(shí)，猜想MEN+MNE的度數(shù)與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）直接根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出FEB的度數(shù)，再由MNCD，由三角形內(nèi)角和定理可求出CMN的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)ABCD，ECD=可得出AEC=ECD=且AEN+CNE=180，由MNCD得出MNC=90，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論【解答】解：（1）ABCD，ECD=40，F(xiàn)EB=ECD=40；MNCD，CNM=90，CMN=90ECN=9040=50CMN是EMN的外角，CMN=MEN+MNE=50故答案為：40，50； （2）猜想：MEN+MNE=90證明如下：ABCD，ECD=AEC=ECD=且AEN+CNE=180又MNCDMNC=90，90+MEN+MNE+=180，MNE+MEN=90【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，同位角相等6（2015春建昌縣期末）已知：如圖，直線ab，直線c與直線a、b分別相交于C、D兩點(diǎn)，直線d與直線a、b分別相交于A、B兩點(diǎn)（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上（不與A、B兩點(diǎn)重合）運(yùn)動(dòng)時(shí)，1、2、3之間有怎樣的大小關(guān)系？請(qǐng)說明理由；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，1、2、3之間的大小關(guān)系為1=2+3；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，1、2、3之間的大小關(guān)系為2=1+3【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）過點(diǎn)P作a的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行解題；（2）過點(diǎn)P作b的平行線PE，由平行線的性質(zhì)可得出abPE，由此即可得出結(jié)論；（3）設(shè)直線AC與DP交于點(diǎn)F，由三角形外角的性質(zhì)可得出1+3=PFA，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)P作PEa，則1=CPEab，PEa，PEb，2=DPE，3=1+2；（2）如圖2，過點(diǎn)P作PEb，則2=EPD，直線ab，aPE，1=3+EPD，即1=2+3故答案為：1=2+3；（3）如圖3，設(shè)直線AC與DP交于點(diǎn)F，PFA是PCF的外角，PFA=1+3，ab，2=PFA，即2=1+3故答案為：2=1+3【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出平行線，利用平行線的性質(zhì)解答是解答此題的關(guān)鍵7（2015春遷安市期末）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系（1）如圖1，若ABCD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有B=BOD，又因BOD是POD的外角，故BOD=BPD+D得BPD=BD將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖2，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則BPD、B、D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）在如圖2中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖3，則BPD、B、D、BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求如圖4中A+B+C+D+E的度數(shù)【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E，根據(jù)ABCD得出B=BED，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）連接QP并延長(zhǎng)，由三角形外角的性質(zhì)得出BPE=B+BQE，DPE=D+DQP，由此可得出結(jié)論；（3）由（2）的結(jié)論得：AFG=B+EAGF=C+D再根據(jù)A+AFG+AGF=180即可得出結(jié)論【解答】解：（1）不成立，結(jié)論是BPD=B+D延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E，ABCD，B=BED，又BPD=BED+D，BPD=B+D；（2）結(jié)論：BPD=BQD+B+D連接QP并延長(zhǎng)，BPE是BPQ的外角，DPE是PDQ的外角，BPE=B+BQE，DPE=D+DQP，BPE+DPE=B+D+BQE+DQP，即BPD=BQD+B+D；（3）由（2）的結(jié)論得：AFG=B+EAGF=C+D又A+AFG+AGF=180A+B+C+D+E=180（或由（2）的結(jié)論得：AGB=A+B+E且AGB=CGD，A+B+C+D+E=180【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出三角形，利用三角形外角的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵8（2015營(yíng)口）【問題探究】（1）如圖1，銳角ABC中分別以AB、AC為邊向外作等腰ABE和等腰ACD，使AE=AB，AD=AC，BAE=CAD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說明理由【深入探究】（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，ABC=ACD=ADC=45，求BD的長(zhǎng)（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)ACD在線段AC的左側(cè)時(shí)，求BD的長(zhǎng)【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】（1）首先根據(jù)等式的性質(zhì)證明EAC=BAD，則根據(jù)SAS即可證明EACBAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）在ABC的外部，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角BAE，使BAE=90，AE=AB，連接EA、EB、EC，證明EACBAD，證明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解；（3）在線段AC的右側(cè)過點(diǎn)A作AEAB于點(diǎn)A，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，證明EACBAD，證明BD=CE，即可求解【解答】解：（1）BD=CE理由是：BAE=CAD，BAE+BAC=CAD+BAC，即EAC=BAD，在EAC和BAD中，EACBAD，BD=CE；（2）如圖2，在ABC的外部，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角BAE，使BAE=90，AE=AB，連接EA、EB、ECACD=ADC=45，AC=AD，CAD=90，BAE+BAC=CAD+BAC，即EAC=BAD，在EAC和BAD中，EACBAD，BD=CEAE=AB=7，BE=7，AEC=AEB=45，又ABC=45，ABC+ABE=45+45=90，EC=，BD=CE=（3）如圖3，在線段AC的右側(cè)過點(diǎn)A作AEAB于點(diǎn)A，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BEAEAB，BAE=90，又ABC=45，E=ABC=45，AE=AB=7，BE=7，又ACD=ADC=45，BAE=DAC=90，BAEBAC=DACBAC，即EAC=BAD，在EAC和BAD中，EACBAD，BD=CE，BC=3，BD=CE=73（cm）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確理解三個(gè)題目之間的聯(lián)系，構(gòu)造（1）中的全等三角形是解決本題的關(guān)鍵9（2015菏澤）如圖，已知ABC=90，D是直線AB上的點(diǎn)，AD=BC（1）如圖1，過點(diǎn)A作AFAB，并截取AF=BD，連接DC、DF、CF，判斷CDF的形狀并證明；（2）如圖2，E是直線BC上一點(diǎn)，且CE=BD，直線AE、CD相交于點(diǎn)P，APD的度數(shù)是一個(gè)固定的值嗎？若是，請(qǐng)求出它的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】（1）利用SAS證明AFD和BDC全等，再利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC，即可判斷三角形的形狀；（2）作AFAB于A，使AF=BD，連結(jié)DF，CF，利用SAS證明AFD和BDC全等，再利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC，F(xiàn)DC=90，即可得出FCD=APD=45【解答】解：（1）CDF是等腰直角三角形，理由如下：AFAD，ABC=90，F(xiàn)AD=DBC，在FAD與DBC中，F(xiàn)ADDBC（SAS），F(xiàn)D=DC，CDF是等腰三角形，F(xiàn)ADDBC，F(xiàn)DA=DCB，BDC+DCB=90，BDC+FDA=90，CDF是等腰直角三角形；（2）作AFAB于A，使AF=BD，連結(jié)DF，CF，如圖，AFAD，ABC=90，F(xiàn)AD=DBC，在FAD與DBC中，F(xiàn)ADDBC（SAS），F(xiàn)D=DC，CDF是等腰三角形，F(xiàn)ADDBC，F(xiàn)DA=DCB，BDC+DCB=90，BDC+FDA=90，CDF是等腰直角三角形，F(xiàn)CD=45，AFCE，且AF=CE，四邊形AFCE是平行四邊形，AECF，APD=FCD=45【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵10（2015貴港）已知：ABC是等腰直角三角形，動(dòng)點(diǎn)P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊作等腰直角三角形PCQ，其中PCQ=90，探究并解決下列問題：（1）如圖，若點(diǎn)P在線段AB上，且AC=1+，PA=，則：線段PB=，PC=2；猜想：PA2，PB2，PQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系為PA2+PB2=PQ2；（2）如圖，若點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，在（1）中所猜想的結(jié)論仍然成立，請(qǐng)你利用圖給出證明過程；（3）若動(dòng)點(diǎn)P滿足=，求的值（提示：請(qǐng)利用備用圖進(jìn)行探求） 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用；相似形綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】（1）在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的長(zhǎng)，然后根據(jù)PA的長(zhǎng)，可求得PB的長(zhǎng)；過點(diǎn)C作CDAB，垂足為D，從而可求得CD、PD的長(zhǎng)，然后在Rt三角形CDP中依據(jù)勾股定理可求得PC的長(zhǎng)；ACB為等腰直角三角形，CDAB，從而可求得：CD=AD=DB，然后根據(jù)AP=DCPD，PB=DC+PD，可證明AP2+BP2=2PC2，因?yàn)樵赗tPCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的結(jié)論；（2）過點(diǎn)C作CDAB，垂足為D，則AP=（AD+PD）=（DC+PD），PB=（DPBD）=（PDDC），可證明AP2+BP2=2PC2，因?yàn)樵赗tPCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的結(jié)論；（3）根據(jù)點(diǎn)P所在的位置畫出圖形，然后依據(jù)題目中的比值關(guān)系求得PD的長(zhǎng)（用含有CD的式子表示），然后在RtACP和RtDCP中由勾股定理求得AC和PC的長(zhǎng)度即可【解答】解：（1）如圖：ABC是等腰直直角三角形，AC=1+AB=+，PA=，PB=，作CDAB于D，則AD=CD=，PD=ADPA=，在RtPCD中，PC=2，故答案為：，2；如圖1ACB為等腰直角三角形，CDAB，CD=AD=DBAP2=（ADPD）2=（DCPD）2=DC22DCPD+PD2，PB2=（DB+PD）2=（DC+DP）2=CD2+2DCPD+PD2AP2+BP2=2CD2+2PD2，在RtPCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，AP2+BP2=2PC2CPQ為等腰直角三角形，2PC2=PQ2AP2+BP2=PQ2（2）如圖：過點(diǎn)C作CDAB，垂足為DACB為等腰直角三角形，CDAB，CD=AD=DBAP2=（AD+PD）2=（DC+PD）2=CD2+2DCPD+PD2，PB2=（DPBD）2=（PDDC）2=DC22DCPD+PD2，AP2+BP2=2CD2+2PD2，在RtPCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，AP2+BP2=2PC2CPQ為等腰直角三角形，2PC2=PQ2AP2+BP2=PQ2（3）如圖：過點(diǎn)C作CDAB，垂足為D當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P1處時(shí)，在RtCP1D中，由勾股定理得：=DC，在RtACD中，由勾股定理得：AC=DC，=當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P2處時(shí)=，在RtCP2D中，由勾股定理得：=，在RtACD中，由勾股定理得：AC=DC，綜上所述，的比值為或【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證得：CD=AD=DB，將PA、PA、PQ、AC、PC用含DC的式子表示出來是解題的關(guān)鍵11（2014南京）【問題提出】學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究【初步思考】我們不妨將問題用符號(hào)語言表示為：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，然后，對(duì)B進(jìn)行分類，可分為“B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究【深入探究】第一種情況：當(dāng)B是直角時(shí)，ABCDEF（1）如圖，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E=90，根據(jù)HL，可以知道RtABCRtDEF第二種情況：當(dāng)B是鈍角時(shí)，ABCDEF（2）如圖，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是鈍角，求證：ABCDEF第三種情況：當(dāng)B是銳角時(shí)，ABC和DEF不一定全等（3）在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是銳角，請(qǐng)你用尺規(guī)在圖中作出DEF，使DEF和ABC不全等（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）B還要滿足什么條件，就可以使ABCDEF？請(qǐng)直接寫出結(jié)論：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是銳角，若BA，則ABCDEF【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題；探究型【分析】（1）根據(jù)直角三角形全等的方法“HL”證明；（2）過點(diǎn)C作CGAB交AB的延長(zhǎng)線于G，過點(diǎn)F作FHDE交DE的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出CBG=FEH，再利用“角角邊”證明CBG和FEH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CG=FH，再利用“HL”證明RtACG和RtDFH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得A=D，然后利用“角角邊”證明ABC和DEF全等；（3）以點(diǎn)C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫弧，與AB相交于點(diǎn)D，E與B重合，F(xiàn)與C重合，得到DEF與ABC不全等；（4）根據(jù)三種情況結(jié)論，B不小于A即可【解答】（1）解：HL；（2）證明：如圖，過點(diǎn)C作CGAB交AB的延長(zhǎng)線于G，過點(diǎn)F作FHDE交DE的延長(zhǎng)線于H，ABC=DEF，且ABC、DEF都是鈍角，180ABC=180DEF，即CBG=FEH，在CBG和FEH中，CBGFEH（AAS），CG=FH，在RtACG和RtDFH中