簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃典型例題.doc

簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃典型例題篇一：典型例題：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題典型例題【例1】求不等式x1+y12表示的平面區(qū)域的面積.【例2】某礦山車隊(duì)有4輛載重量為10 t的甲型卡車和7輛載重量為6 t的乙型卡車，有9名駕駛員此車隊(duì)每天至少要運(yùn)360 t礦石至冶煉廠.已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次甲型卡車每輛每天的成本費(fèi)為252元，乙型卡車每輛每天的成本費(fèi)為160元.問每天派出甲型車與乙型車各多少輛，車隊(duì)所花成本費(fèi)最低?參考答案例1：【分析】依據(jù)條件畫出所表達(dá)的區(qū)域，再根據(jù)區(qū)域的特點(diǎn)求其面積.【解】x1+y12可化為或其平面區(qū)域如圖：或或面積S=44=8【點(diǎn)撥】畫平面區(qū)域時(shí)作圖要盡量準(zhǔn)確，要注意邊界.例2：【分析】弄清題意，明確與運(yùn)輸成本有關(guān)的變量的各型車的輛數(shù)，找出它們的約束條件，列出目標(biāo)函數(shù)，用圖解法求其整數(shù)最優(yōu)解.【解】設(shè)每天派出甲型車x輛、乙型車y輛，車隊(duì)所花成本費(fèi)為z元，那么z=252x+160y，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖作出直線l0：252x+160y=0，把直線l向右上方平移，使其經(jīng)過可行域上的整點(diǎn)，且使在y軸上的截距最小.觀察圖形，可見當(dāng)直線252x+160y=t經(jīng)過點(diǎn)（2，5）時(shí)，滿足上述要求.此時(shí)，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5時(shí)，zmin=2522+1605=1304.答：每天派出甲型車2輛，乙型車5輛，車隊(duì)所用成本費(fèi)最低.【點(diǎn)撥】用圖解法解線性規(guī)劃題時(shí)，求整數(shù)最優(yōu)解是個(gè)難點(diǎn)，對(duì)作圖精度要求較高，平行直線系f（x，y）=t的斜率要畫準(zhǔn)，可行域內(nèi)的整點(diǎn)要找準(zhǔn)，最好使用“網(wǎng)點(diǎn)法”先作出可行域中的各整點(diǎn).篇二：不等式線性規(guī)劃知識(shí)點(diǎn)梳理及經(jīng)典例題及解析線性規(guī)劃講義【考綱說明】（1）了解線性規(guī)劃的意義、了解可行域的意義； （2）掌握簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問題的解法（3）鞏固圖解法求線性目標(biāo)函數(shù)的最大、最小值的方法； （4）會(huì)用畫網(wǎng)格的方法求解整數(shù)線性規(guī)劃問題（5）培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和解決問題的能力【知識(shí)梳理】簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題 一、知識(shí)點(diǎn)1. 目標(biāo)函數(shù): 是一個(gè)含有兩個(gè)變 量 和 的 函數(shù)，稱為目標(biāo)函數(shù) 2.可行域:約束條件所表示的平面區(qū)域稱為可行域. 3. 整點(diǎn):坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)4.線性規(guī)劃問題:求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，通常稱為線性規(guī)劃問題只含有兩個(gè)變量的簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題可用圖解法來解決5. 整數(shù)線性規(guī)劃:要求量取整數(shù)的線性規(guī)劃稱為整數(shù)線性規(guī)劃 二、疑難知識(shí)導(dǎo)析線性規(guī)劃是一門研究如何使用最少的人力、物力和財(cái)力去最優(yōu)地完成科學(xué)研究、工業(yè)設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)管理中實(shí)際問題的專門學(xué)科.主要在以下兩類問題中得到應(yīng)用：一是在人力、物力、財(cái)務(wù)等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)；二是給一項(xiàng)任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項(xiàng)任務(wù). 1.對(duì)于不含邊界的區(qū)域，要將邊界畫成虛線2.確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域有多種方法，常用的一種方法是“選點(diǎn)法”：任選一個(gè)不在直線上的點(diǎn)，檢驗(yàn)它的坐標(biāo)是否滿足所給的不等式，若適合，則該點(diǎn)所在的一側(cè)即為不等式所表示的平面區(qū)域；否則，直線的另一側(cè)為所求的平面區(qū)域若 直 線 不 過 原點(diǎn)，通 常 選 擇 原 點(diǎn) 代入檢驗(yàn) 3. 平 移 直 線 k 時(shí)，直線必須經(jīng)過可行域 4.對(duì)于有實(shí)際背景的線性規(guī)劃問題，可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個(gè)凸多邊形區(qū)域，此時(shí)變動(dòng)直線的最佳位置一般通過這個(gè)凸多邊形的頂點(diǎn)5.簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實(shí)際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：（1）尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.積儲(chǔ)知識(shí)：一 1.點(diǎn)P(x0,y0)在直線Ax+By+C=0上，則點(diǎn)P坐標(biāo)適合方程，即Ax0+By0+C=02. 點(diǎn)P(x0,y0)在直線Ax+By+C=0上方（左上或右上），則當(dāng)B0時(shí)，Ax0+By0+C0;當(dāng)B0時(shí)，Ax0+By0+C0 3. 點(diǎn)P(x0,y0)在直線Ax+By+C=0下方（左下或右下），當(dāng)B0時(shí)，Ax0+By0+C0;當(dāng)B0時(shí)，Ax0+By0+C0 注意：（1）在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn)，把它的坐標(biāo)(x,y)代入Ax+By+C,所得實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同,（2）在直線Ax+By+C=0的兩側(cè)的兩點(diǎn)，把它的坐標(biāo)代入Ax+By+C,所得到實(shí)數(shù)的符號(hào)相反,即：1.點(diǎn)P(x1,y1)和點(diǎn)Q(x2,y2)在直線 Ax+By+C=0的同側(cè)，則有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)02.點(diǎn)P(x1,y1)和點(diǎn)Q(x2,y2)在直線 Ax+By+C=0的兩側(cè)，則有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)0 二.二元一次不等式表示平面區(qū)域:二元一次不等式Ax+By+C0（或0）在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域. 不包括邊界;二元一次不等式Ax+By+C0（或0）在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域且包括邊界;注意：作圖時(shí),不包括邊界畫成虛線;包括邊界畫成實(shí)線. 三、判斷二元一次不等式表示哪一側(cè)平面區(qū)域的方法: 方法一:取特殊點(diǎn)檢驗(yàn); “直線定界、特殊點(diǎn)定域原因:由于對(duì)在直線Ax+By+C=0的同一側(cè)的所有點(diǎn)(x,y),把它的坐標(biāo)(x,y)代入Ax+By+C,所得到的實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同,所以只需在此直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0,y0),從Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.特殊地, 當(dāng)C0時(shí)，常把原點(diǎn)作為特殊點(diǎn)，當(dāng)C=0時(shí)，可用（0，1）或（1，0）當(dāng)特殊點(diǎn)，若點(diǎn)坐標(biāo)代入適合不等式則此點(diǎn)所在的區(qū)域?yàn)樾璁嫷膮^(qū)域，否則是另一側(cè)區(qū)域?yàn)樾璁媴^(qū)域。 方法二：利用規(guī)律：1.Ax+By+C0,當(dāng)B0時(shí)表示直線Ax+By+C=0上方（左上或右上），當(dāng)B0時(shí)表示直線Ax+By+C=0下方（左下或右下）;2.Ax+By+C0,當(dāng)B0時(shí)表示直線Ax+By+C=0下方（左下或右下）當(dāng)B0時(shí)表示直線Ax+By+C=0上方（左上或右上）。四、線性規(guī)劃的有關(guān)概念：線性約束條件： 線性目標(biāo)函數(shù)：線性規(guī)劃問題： 可行解、可行域和最優(yōu)解：【經(jīng)典例題】一建構(gòu)數(shù)學(xué)?4x?y?10?4x?3y?20?1問題：在約束條件?下，如何求目標(biāo)函數(shù)P?2x?y的最大值？?x?0?y?0首先，作出約束條件所表示的平面區(qū)域，這一區(qū)域稱為可行域，如圖（1）所示其次，將目標(biāo)函數(shù)P?2x?y變形為y?2x?P的形式，它表示一條直線，斜率為，且在y軸上的截距為P平移直線y?2x?P，當(dāng)它經(jīng)過兩直線4x?y?10與4x?3y?20的交點(diǎn)A(,5)時(shí)，直線在y軸上的截距最54大，如圖（2）所示因此，當(dāng)x?555,y?5時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值2?5?7.5，即當(dāng)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)t和5t時(shí)，可44454獲得最大利潤(rùn)7.5萬元這類求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題，通常稱為線性規(guī)劃問題其中(,5)使目標(biāo)函數(shù)取得最大值，它叫做這個(gè)問題的最優(yōu)解對(duì)于只含有兩個(gè)變量的簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題可用圖解法來解決 說明：平移直線y?2x?P時(shí)，要始終保持直線經(jīng)過可行域（即直線與可行域有公共點(diǎn)）二數(shù)學(xué)運(yùn)用?x?4y?3?例1設(shè)z?2x?y，式中變量x,y滿足條件?3x?5y?25，求z的最大值和最小值?x?1?解：由題意，變量x,y所滿足的每個(gè)不等式都表示一個(gè)平面區(qū)域，不等式組則表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)域由圖知，原點(diǎn)(0,0)不在公共區(qū)域內(nèi)，當(dāng)x?0,y?0時(shí)，z?2x?y?0，即點(diǎn)(0,0)在直線l0：2x?y?0上， 作一組平行于l0的直線l：2x?y?t，t?R， 可知：當(dāng)l在l0的右上方時(shí)，直線l上的點(diǎn)(x,y)滿足2x?y?0，即t?0， 而且，直線l往右平移時(shí)，t隨之增大 由圖象可知，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)A(5,2)時(shí)，對(duì)應(yīng)的t最大， 當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)B(1,1)時(shí)，對(duì)應(yīng)的t最小， 所以，zmax?2?5?2?12，zmin?2?1?1?3yx?1CA x?4y?3?0O3x?5y?25?0x?x?4y?3?例2設(shè)z?6x?10y，式中x,y滿足條件?3x?5y?25，求z的最大值和最小值?x?1?解：由引例可知：直線l0與AC所在直線平行， 則由引例的解題過程知，當(dāng)l與AC所在直線3x?5y?25?0重合時(shí)z最大，此時(shí)滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè)， 當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)B(1,1)時(shí)，對(duì)應(yīng)z最小，zmax?6x?10y?50，zmin?6?1?10?1?16?2x?y?3?0?例3已知x,y滿足不等式組?2x?3y?6?0，求使x?y取最大值的整數(shù)x,y?3x?5y?15?0?解：不等式組的解集為三直線l1：2x?y?3?0，l2：2x?3y?6?0，l3：3x?5y?15?0所圍成的三角形內(nèi)部y（不含邊界），設(shè)l1與l2，l1與l3，l2與l3交點(diǎn)分別為A,B,C，則A,B,C坐標(biāo)分別為Al1(8,4)，B(0,?3)，7512C(,?)， l3A 1919作一組平行線l：x?y?t平行于l0：x?y?0， 當(dāng)l往l0右上方移動(dòng)時(shí)，t隨之增大，153OCl2x63當(dāng)l過C點(diǎn)時(shí)x?y最大為，但不是整數(shù)解，1975又由0?x?知x可取1,2,3，19當(dāng)x?1時(shí)，代入原不等式組得y?2， x?y?1； 當(dāng)x?2時(shí)，得y?0或?1， x?y?2或1； 當(dāng)x?3時(shí)，y?1， x?y?2，?x?2?x?3故x?y的最大整數(shù)解為?或?y?0?y?1例4投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)100噸需要資金200萬元，需場(chǎng)地200平方米，可獲利潤(rùn)300萬元；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)100米需要資金300萬元，需場(chǎng)地100平方米，可獲利潤(rùn)200萬元現(xiàn)某單位可使用資金1400萬元，場(chǎng)地900平方米，問：應(yīng)作怎樣的組合投資，可使獲利最大？解：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x百噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品y米，利潤(rùn)為S百萬元，?2x?3y?14?2x?y?9?則約束條件為?，目標(biāo)函數(shù)為S?3x?2y?x?0?y?0作出可行域（如圖），3S3S3Sx?，它表示斜率為?，在y軸上截距為的直線，平移直線y?x?，當(dāng)它經(jīng)222222135S135過直線與2x?y?9和2x?3y?14的交點(diǎn)(,)時(shí)，最大，也即S最大此時(shí)，S?3?2?14.7542242將目標(biāo)函數(shù)變形為y?因此，生產(chǎn)A產(chǎn)品3.25百噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品2.5米，利潤(rùn)最大為1475萬元 說明：（1）解線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)出未知數(shù)；列出約束條件（要注意考慮數(shù)據(jù)、變量、不等式的實(shí)際含義及計(jì)量單位的統(tǒng)一）；建立目標(biāo)函數(shù)；求最優(yōu)解一、對(duì)于有實(shí)際背景的線性規(guī)劃問題，可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個(gè)凸多邊形區(qū)域，此時(shí)變動(dòng)直線的最佳位置一般通過這個(gè)凸多邊形的頂點(diǎn)三、畫區(qū)域1. 用不等式表示以A(1,4)，B(?3,0)，C(?2,?2)為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部的平面區(qū)域分析：首先要將三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)所確定的直線方程寫出，然后結(jié)合圖形考慮三角形內(nèi)部區(qū)域應(yīng)怎樣表示。 解：直線AB的斜率為：kAB?4?0?1，其方程為y?x?31?(?3)可求得直線BC的方程為y?2x?6直線AC的方程為y?2x?2 ?ABC的內(nèi)部在不等式x?y?3?0所表示平面區(qū)域內(nèi)，同時(shí)在不等式同時(shí)又在不等式2x?y?2?0所表示2x?y?6?0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，區(qū)域內(nèi)（如圖） ?x?y?3?0,所以已知三角形內(nèi)部的平面區(qū)域可由不等式組?2x?y?6?0,表示?2x?y?2?0?的平面說明：用不等式組可以用來平面內(nèi)的一定區(qū)域，注意三角形區(qū)域內(nèi)部不包括邊界線 2 畫出2x?3?y?3表示的區(qū)域，并求所有的正整數(shù)解(x,y)?y?2x?3,解：原不等式等價(jià)于?而求正整數(shù)解則意味著x，y還有限制條件，即求y?3.?x?0,y?0,?x?z,y?z,? ?y?2x?3,?y?3.依照二元一次不等式表示的平面區(qū)域， 知2x?3?y?3表示的區(qū)域如下圖： 對(duì)于2x?3?y?3的正整數(shù)解，容易求 得，在其區(qū)域內(nèi)的整數(shù)解為(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)3設(shè)x?0，y?0，z?0；p?3x?y?2z，q?x?2y?4z，x?y?z?1，用圖表示出點(diǎn)(p,q)的范圍 分析：題目中的p，q與x，y，z是線性關(guān)系 可借助于x，y，z的范圍確定(p,q)的范圍 1?x?(8?q?6p),?3x?y?2z?p,?27?解：由?得 1?x?2y?4z?q,?(14?5q?3p),?y?x?y?z?1,27?1?z?(5?4p?3q),?27?篇三：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃典型例題精析(二)典例剖析?5x?3y?15?例1求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件?y?x?1?x?5y?3?5x?3y?15?【解】由不等式組?y?x?1?x?5y?3?作出可行區(qū)域，如圖726所示的陰影部分目標(biāo)函數(shù)為z=3x+5y,作直線l:3x+5y=t(tR)當(dāng)直線l在l0的右上方時(shí)，l上的點(diǎn)(x,y)滿足3x+5y0，即t0，而且，直線l向右平移時(shí)，t隨之增大，在可行域內(nèi)以經(jīng)過點(diǎn)A(35,)的直線l1所對(duì)應(yīng)的t最大 22類似地，在可行域內(nèi)，以經(jīng)過B(2,1)的直線l2所對(duì)應(yīng)的t最小 zmax35?3?5?17,zmin?3?(?2)?5?(?1)?11 22【點(diǎn)評(píng)】正確地作出不等式組表示的平面區(qū)域(可行域)，再由線性目標(biāo)函數(shù)作出一組平行線考查最值，是解線性規(guī)劃問題的基本步驟例2某紡紗廠生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗，已知生產(chǎn)甲種棉紗1噸需耗一級(jí)子棉2噸、二級(jí)子棉1噸;生產(chǎn)乙種棉紗需耗一級(jí)子棉1噸、二級(jí)子棉2噸，每1噸甲種棉紗的利潤(rùn)是600元，每1噸乙種棉紗的利潤(rùn)是900元，工廠在生產(chǎn)這兩種棉紗的計(jì)劃中要求消耗一級(jí)子棉不超過300噸、二級(jí)子棉不超過250噸甲、乙兩種棉紗應(yīng)各生產(chǎn)多少(精確到噸)，能使利潤(rùn)總額最大?【分析】將已知數(shù)據(jù)列成下表：?2x?y?300,?x?2y?250,?解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗分別為x噸、y噸，利潤(rùn)總額為z元，那么?x?0,?y?0;z=600x+900y.作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域(如圖727)，即可行域作直線l:600x+900y=0，即直線l:2x+3y=0,把直線l向右上方平移至l1的位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M，且與原點(diǎn)距離最大，此時(shí)z=600x+900y取最大值解方程組?2x?y?300350200,得M的坐標(biāo)為x=,y=. ?33?x?2y?250【答】應(yīng)生產(chǎn)甲種棉紗350200噸，乙種