泛函分析習(xí)題及參考答案.pdf

泛函分析習(xí)題及參考答案 一 在 2 R中定義如下三種距離 2 1212 xx xyy yR 22 11122 d x yxyxy 21122 max dx yxyxy 31122 dx yxyxy 試證 212 2ddd 313 2 2 ddd 232 2ddd 從而這三種距離誘導(dǎo)出的極限是等價(jià)的 二 設(shè) yxd為空間X上的距離 試證 1 xyd xyd xyd 也是X上的距離 證明 顯然 0 yxd并且yxyxdyxd 0 0 再者 1 1 yxd yxd yxd xyd xyd xyd 最后 由 tt t 1 1 1 1 的單調(diào)增加性及 yzdzxdyxd 可得 1 1 1 1 yzdzxd yzd yzdzxd zxd yzdzxd yzdzxd yxd yxd yxd 1 1 yzdzxd yzd yzd zxd zxd 三 設(shè)1p 1 i nnp n xl 2 1 n 1 p i xl 則n 時(shí) 1 1 0 p p n nii i d xx 的充要條件為 1 n 時(shí) n ii 1 2 i 2 0 存在0N 使得 1 p np i i N 存在 1 0N 使得 1 1 2 p p i i N 時(shí) 1 2 p np ii i 由此可得 11 111 111 pp p pp p nnp iiii i Ni Ni N 成立 對(duì)于 1 1 2 nN 存在 2 0N 2 1 p np i i N 取 12 max NN N 則 1 p np i i N 存在0K 使得 1 2 p np i i K 對(duì)任何自然 數(shù)n成立 并且 1 2 p p i i K N 使得Nn 時(shí) 1 K p np ii i 并且 111 K ppp pnnn niiiiii iii K dxx 11 111 2 p K pp p nnppp iiii ii Ki K xxE p n E p n n dtxxdttxtx xxEm n p 2 1 n 令 n 可得0 xxEm n 即 txn 依測(cè)度收斂于 tx 由 tx的積分絕對(duì)連續(xù)性可知 對(duì)任何0 存在0 1 使得Ee 1 me時(shí) 存在0 N 使得Nn 時(shí) E p p n dttxtx 2 1 從而 p e p p E p n p e p p e p n p e p n dtxdtxxdtxdtxxdttx 1 1111 即 使Ee 2 me時(shí) e p n dttx 取 min 21 則Ee me時(shí) 令 xxEE nn 則0 n mE 由此可知 對(duì)任何0 存在0 N 使得Nn 時(shí) n mE 令 xxEF nn 則 nn EF p n p nn p dtxxdtxxxx 此時(shí) p E p p E p E p n p n nnn dtxdtxdtxx 11 p F p n abdtxx n 存在0 使得Ee me時(shí) 2 1 p e p n dttx 2 1 存在0 N 使得Nn 時(shí) 存在0 N 使得Nn 時(shí) 1 1 p n d xxba 即 txn收斂于 tx 五 設(shè)B是度量空間X中閉集 試證必有一列開(kāi)集 21n OOO 包含B 并且 1n n OB 證明 任取 2 1 1 n n n 令 Bx nn xO 則 n OB 并且 n O為開(kāi)集 2 1 n 任取 1n n Ox 則存在Bxn 使得 n xxd n 1 FxdFx 0 1222 FxdFx 令 2 2 12 2 21 1 FxdFxd 2211 222111 FxFx xGxG 則 21 GG 分別為包 含 21 FF 的開(kāi)集 假設(shè) 210 GGx 則 211220110 FxFxxxdxxd 但是 2 2 21 1221 200121 xxd FxdFxd xxdxxdxxd 是一錯(cuò)誤 故而 21 GG 七 試證 l是不可分的距離空間 證明 設(shè) 1 0 21 nn lM 則對(duì)于任何 Myx nn 當(dāng) yx 時(shí) sup1 nn d x y 顯然 M與二進(jìn)制小數(shù)一一對(duì)應(yīng) 因而是不可數(shù)的 假設(shè) l是可分的 則存在可數(shù)稠密子集 n y 使得任何 lMx的鄰域 1 3 O x中 至少包含一個(gè) n y 對(duì)于任何兩個(gè)不同的鄰域 1 3 O x 1 3 O y Myx 必有 11 33 O xO y 從而 1 3 O xxM 是一族互不相交的球 其總數(shù)是不可數(shù)的 因此 n y至少也有不可數(shù)個(gè) 這與 n y是可數(shù)的相矛盾 或 由 1 3 n O ylM 以 及M是不可數(shù)的 可知存在一個(gè) 1 3 n O y包含M中的兩個(gè)不同點(diǎn)yx 但 1d x y 并且 2 3 nn d x yd x yd y y 和子列 k n xX 使得 0 k n d TxTx 令 0 Fy d y Tx 則 k n TxF 并且F為Y中的閉集 從而FT 1 是X中 的閉集 由 1 k n xT F k n xx 可得 1 xT F 即TxF 由此可得 0 0 0d Tx Tx 這一矛盾說(shuō)明 n TxTx 十 試證 p l 1 p是完備的距離空間 證明 對(duì)于任何基本列 p n xl 1 2 i nnn n x 2 1 n 有0 存在0N m nN 時(shí) 1 p nmp ii i 從而對(duì)于每個(gè)1 2 i n i 是R中 的基本列 由R的完備性可知 存在 i R 使得 n ii n 同時(shí)對(duì)于任何自然 數(shù)s 1 s p nmp ii i 2 2 11 nmnm d xxx txt dt mn 由此可知 n x為 C a b d 中的基本點(diǎn)列 若 n x在 C a b d中收斂 則存在 x tC a b 使得 2 2 0 nn d xxx tx t dt 從而 1 1 2 2 1 1 0 n n x t dtx t dt 由此可得 0 1x 0 1x 這與 x tC a b 矛盾 因此 n x在 C a b d中 不收斂 從而 C a b在積分平均收斂意義下是不完備的 十二 設(shè) xf是R上的可微函數(shù) 并且1 xf 則方程xxf 有唯一的實(shí)數(shù)解 證明 對(duì)于任何Ryx yxyxfyfxf 由10 可知 f是完備空間R上的壓縮映射 由壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)原理可知 xxf 有唯一的實(shí)數(shù)解 十三 設(shè)F是n維歐幾里得空間 n R中有界的閉集 A是F到自身中的映射 并且滿(mǎn)足下 列條件 對(duì)任何 yxFyx 有 yxdAyAxd Axxdx 則 2 AxxdxAAxd 即 0 xAx 這與 inf 0 xFAx Fx 矛盾 故而0 Axxd 從而 xAx 即映射A在F中存在不動(dòng)點(diǎn) 若 xxxAx 000 Fx 0 則 000 xxdAxAxdxxd b 使得 21 xbx 成立 則對(duì)每一個(gè)自然數(shù)n 存在Xxn 使 得 21 nn xnx 從而 nx x n n 1 2 1 b 使得對(duì)任何Xx 21 xbx 成立 同理可證 存在0 a 使得 12 xax 令 a a 1 則0 a 并且對(duì)任何Xx 成立著 12 xxa 十六 設(shè) 2 1 0 0 nxxXxx nn 并且 nxxn 則 x x x x n n 證明 由xxn 及xxxx nn 或范數(shù)的連續(xù)性 可得xxn 由xxxxxx xxxx xxxx x x x x nn nn nn n n 1 nxxxxxx xx nn n 0 1 可得 x x x x n n 十七 設(shè) 21 XX是一列Banach空間 21n xxxx 是一列元素 其中 nn Xx 2 1 n 并且 0 0 時(shí) ji xx 即 1 1 n p p j n i n xx 從而對(duì)每個(gè)自然 數(shù)n 均有 時(shí) xx i 從而 ixx i 并且 1 1 1 1 n p p n i n n p p n xxxx 由二次型理論可知 1 11 2 22 22 T TTT max TxAxAxxA A xA Ax 同時(shí) 存在 0 n xR 0 2 1x 使得 12 0 2 T max TxA A 由此可知 T為有界線(xiàn)性算子 并且 12 2 T max TA A 十九 試求 11 C上線(xiàn)性泛函 0 1 1 0 dttxdttxxf的范數(shù) 解 由 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 dttxdttxdttxdttxdttxxf 1 1 2 max2 11 Cxxtx t 可得2 f 取 1 1 1 1 1 1 1 1 n nn nt n txn 則 2 1 1 1 1 nxCx nn 并且 n n n n n n n dtdtntdtntdtxf 1 0 1 1 1 1 0 1 2 1 1 2 1 1 從而 2 1 1 2 n n xff n 由此可得2 f 從而2 f 二十 設(shè)無(wú)窮矩陣 ij a 2 1 ji 滿(mǎn)足 對(duì) 1 1 00 kkk k 存在自然數(shù) k i 使得0 1 1 k Ma j jik 令 sgn sgn 1 jiik kk aax 則 lxk 并且 1 0 kkxk 由此可得 sgn 1 ji j ijk k aaTx 11 1 sgnsgnsup j jiji j jiij i k kkk aaaaTx 2 1 1 1 k k Ma j jik 從而 1 0 kk k MTxT k 即有MT 因 而MT 二十一 設(shè)X是賦范線(xiàn)性空間 Z是X的線(xiàn)性子空間 Xx 0 又0 0 Zxd 試證 存在 Xf 滿(mǎn)足條件 1 當(dāng)Zx 時(shí) 0 xf 2 00 Zxdxf 3 1 f 證明 設(shè) KkZzzkxG 0 對(duì)于任何 00 ZxdkxFGzkxx 則F 為X的子空間G上的線(xiàn)性泛函 00 ZxdxF 并且Zx 時(shí) 0 xF 0 k時(shí) x k z xkZxdkzxkFxF 000 即有1 F 設(shè) Zzn 使得 nZxdzx n 00 則 000n zxFxFZxd n zxF 0 令 n 可得 00 ZxdFZxd 即1 F 因此1 F 由Banach延拓定理 可得存在 Xf 滿(mǎn)足1 0 00 fZxdxfZf 二十二 設(shè)X是線(xiàn)性空間 1 x和 2 x是X上兩個(gè)范數(shù) 若X按 1 x及 2 x都是完備的 并且由點(diǎn)列 n x按 1 x收斂于 0 必有按 2 x收斂于 0 試證 存在正數(shù)ba 使 121 xbxxa 證明 記Banach空間 21 xXxX分別為FE E到F上的恒等算子為I 則 xxn 即0 1 xxn時(shí) 0 22 xxIxIx nn 即IxIxn 從而I為E到F 上的連續(xù)線(xiàn)性算子 因此存在正常數(shù)b 使得 12 xbx 由逆算子定理 可得 1 I為F 到E上的有界線(xiàn)性算子 從而存在正常數(shù)a 使得 2 1 1 1 xxIaxa 因此存在正常數(shù)a b 使得 121 xbxxa 二十三 設(shè) YXBTn 2 1 n 其中X是Banach空間 Y是賦范線(xiàn)性空間 若對(duì)于每個(gè)Xx xTn都收斂 令xTTx n n lim 試證 T是X到Y(jié)中有界線(xiàn)性算子 并且 n n TT lim 證明 由已知 對(duì)于每個(gè)Xx xTn收斂 從而有界 由共鳴定理可知 n T有界 即存在0 M 使得MTn 由TyTxyTxTyxTyxT n n n n n n limlim lim 可知T是X到Y(jié)中的線(xiàn)性算子 對(duì)于任何Xx xTxTxTxTTx n n n n n n n n lim limlimlim 即有 n n TT lim 二十四 任取內(nèi)積空間X中一點(diǎn)y 對(duì)于任意xX 令 f xx y 試證 f x為 X上有界線(xiàn)性泛函 并計(jì)算其范數(shù)f 證明 對(duì)于任意 x zX 和常數(shù)k f xzxz yx yz yf xf z f kxkx ykx ykf x 因此 f x為X上線(xiàn)性泛函 對(duì)于任意xX 由 f xx yxy 可知 f x為X上有界線(xiàn)性泛函 并且 fy 不妨設(shè)0y 令 y x y 則1x 并且 f xy 由此可得 fy 從而fy 二十五 設(shè) n x是內(nèi)積空間X中點(diǎn)列 若xxn n 并且對(duì)于一切Xy 有 n i jijjii njxxkxxk 1 2 1 0 即njk j 2 1 0 因而 n xxx 21 線(xiàn)性無(wú)關(guān) 二十八 設(shè)X是Hilbert空間 MX M 試證 M 是X中包含M的最小 閉子空間 證明 顯然 M 為X中包含M的閉子空間 設(shè)F為X中包含M的任意閉子空間 則F為完備的子空間 并且 FM 下證 FF 從而 FF 任取 xF 由正交分解定理可知 12 xxx 12 xF xF 兩邊與 2 x作內(nèi)積得 21222 x xx xx x 由 2 0 x x 12 0 x x 可得 22 0 x x 即 2 0 x 1 xxF 因此 FF 或 由 1 xFF 可知 12 0 xxxFF 即 1 xxF 因此 FF 由此可知 FM 綜上所述 M 是X中包含M的最小閉子空間 二十九 試證 數(shù)域K上內(nèi)積空間X中向量yx 垂直的充要條件是對(duì)一切數(shù)K 成立 xyx 充分性證明 由xyx 可得 yxK 即yx 由 此可得 2222 xyxyx 即xyx 三十 設(shè) 12 n e ee 為內(nèi)積空間X中的規(guī)范正交系 試證 X到 12 n span e ee 的投 影算子P為 1 n ii i Pxx ee xX 證明 設(shè) 12 n Mspan e ee 則M為X中完備子空間 由題意知 對(duì)于任何xX xPxy 其中PxM yM 從而 12 n ye ee 設(shè) 1 n i i