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混凝土隨機損傷力學損傷力學目錄0 前言11 為什么要進行隨機結(jié)構(gòu)非線性分析？22 損傷力學的基本原理是什么？33 什么是經(jīng)典混凝土本構(gòu)？53.1 經(jīng)典彈性本構(gòu)53.2 經(jīng)典塑性本構(gòu)64 什么是彈塑性損傷本構(gòu)？65 什么是隨機損傷本構(gòu)？96 怎么進行混凝土隨機損傷非線性反應(yīng)分析？107 小結(jié)10附錄 作業(yè)12參考文獻13140 前言由于混凝土材料抗壓強度高，鋼筋抗拉強度高，兩者結(jié)合后協(xié)同工作，利用混凝土抗壓和鋼筋抗拉，能使得兩者材料各盡其能，組成性能良好的結(jié)構(gòu)構(gòu)件。同時，由于混凝土的包裹，鋼筋不容易被腐蝕，使得鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)耐久性較好。正是鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的這些優(yōu)點，從其出現(xiàn)于中國至今，已在建筑、隧道、橋梁、高速公路、地鐵、大壩、港口等各個領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用?；炷潦且运酁槟z結(jié)材料，以天然砂石為骨料加水拌合，經(jīng)過澆筑成型、凝結(jié)硬化形成的固體材料1。它是一種多相顆粒復合材料，從宏觀結(jié)構(gòu)來看，它是骨料分散在水泥漿基體中的二相材料；從微觀來看，它是由水泥凝膠、氫氧化鈣結(jié)晶、未水化的水泥顆粒、毛細管及孔隙水、空氣泡等組成。對于混凝土力學性能的研究，固體力學假設(shè)其為處處連續(xù)，毫無初始缺陷的均勻各向同性材料，這與混凝土材料的實際情況不一致。經(jīng)典材料強度理論假設(shè)材料為均勻連續(xù)，分析結(jié)構(gòu)的應(yīng)力狀態(tài)，根據(jù)材料的屈服或者極限應(yīng)力判斷結(jié)構(gòu)是否達到屈服或者破壞，即在此理論下，混凝土只有兩個狀態(tài)：正常服役狀態(tài)（無損傷）和破壞狀態(tài)。然而，結(jié)構(gòu)的破壞一般不會突然發(fā)生，它是由于結(jié)構(gòu)在建造過程中產(chǎn)生的微裂紋在外界荷載的作用下長大、匯合成宏觀裂紋，并繼續(xù)擴展，導致結(jié)構(gòu)強度、剛度持續(xù)下降，最終失去承載能力，也就是說，混凝土的全壽命分析與微裂紋的產(chǎn)生、擴展密不可分。為了確定微裂紋的演化，必須對裂紋的產(chǎn)生、擴展的規(guī)律有所研究，才能深入分析裂紋的擴展規(guī)律及其對結(jié)構(gòu)的影響。損傷力學主要研究混凝土材料內(nèi)部微觀裂紋的產(chǎn)生和發(fā)展對材料宏觀力學性能的影響及其最終導致材料或者結(jié)構(gòu)破壞的規(guī)程和規(guī)律。損傷力學是先確定損傷變量，運用應(yīng)變等效原理和Clausius-Duhem不等式，從能量的角度出發(fā)，得到損傷力學基本方程。結(jié)合不可逆熱力學原則和損傷力學基本方程，得到應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系和損傷能釋放率表達式。損傷能釋放率能同時考慮彈性和塑性加載歷史，所以基于損傷能釋放率建立損傷準則，同時根據(jù)正交流動法則確定損傷變量的演化法則，再在有效應(yīng)力空間內(nèi)確定塑性變形及其演化規(guī)律。混凝土材料本身的各個組分具有隨機分布性，且初始和后續(xù)的裂紋發(fā)展也不可避免的具有隨機性，所以在已有的損傷力學理論基礎(chǔ)上加入隨機參數(shù)，更能真實地體現(xiàn)出混凝土材料的受力性能。本讀書報告為學習混凝土隨機損傷力學課程之后對部分內(nèi)容的心得體會之整理。圖1 課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)圖損傷力學理論的終極目標是對結(jié)構(gòu)進行隨機結(jié)構(gòu)非線性分析。混凝土隨機損傷力學主要內(nèi)容結(jié)構(gòu)如圖1所示。下面將從幾個問題開始，說說我對這門課程的理解。1 為什么要進行隨機結(jié)構(gòu)非線性分析？首先說為什么要進行結(jié)構(gòu)非線性分析。在現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)設(shè)計中，常常忽略非線性分析，而結(jié)構(gòu)在真實受力情況下，常常伴隨著材料非線性和幾何非線性。當前組成結(jié)構(gòu)的材料一般為混凝土和鋼筋。在混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范2 (GB 50010-2002)中，混凝土本構(gòu)關(guān)系取為：從加載開始至荷載極限點為一曲線，之后為水平段，直至達到極限變形，如圖2b所示；鋼筋則取為理想彈塑性模型，如圖3b所示。很明顯，兩者都為考慮材料的后期強度變化，而真實的混凝土本構(gòu)關(guān)系和鋼筋本構(gòu)關(guān)系示意圖如圖2a和圖3a所示。 a) 混凝土真實本構(gòu) b) 規(guī)范中的混凝土本構(gòu)圖2 混凝土受壓本構(gòu) a) 軟鋼真實本構(gòu) b) 規(guī)范中的軟鋼本構(gòu)圖3 軟鋼筋受拉本構(gòu)從某種意義上來說，現(xiàn)有規(guī)范取值較為保守，但是從節(jié)能的角度來講，過于保守的設(shè)計將不能充分發(fā)揮材料的特性，造成不必要的浪費。同時，未考慮真實的材料非線性特性，不能正確描述材料在屈服后的性能，進而無法真實展現(xiàn)結(jié)構(gòu)在屈服點后的表現(xiàn)，這對研究結(jié)構(gòu)超過極限荷載后的性能是不利的。構(gòu)件在受到外荷載的作用之后會產(chǎn)生變形，設(shè)計過程中，我們往往不考慮變形后荷載產(chǎn)生的附加變形，這與實際情況也是不符合的。例如一根鋼筋混凝土柱子端部承受軸向力和彎矩的作用，彎矩的作用使得柱子產(chǎn)生彎曲變形，在彎矩最大截面處產(chǎn)生變形，此時，由于軸向力的作用，在柱子最大彎矩處同時產(chǎn)生附加彎矩，附加彎矩同樣會產(chǎn)生附加變形，這就是我們熟知的效應(yīng)。如果還繼續(xù)用變形前的狀態(tài)來建立平衡方程，將使構(gòu)件設(shè)計偏于不安全。材料非線性和幾何非線性作用于結(jié)構(gòu)之后，將使得結(jié)構(gòu)的設(shè)計變的復雜化，但是如果對結(jié)構(gòu)不進行非線性分析，將不能真實反映結(jié)構(gòu)的性能。隨機性與混凝土的非線性密不可分。混凝土內(nèi)部初始缺陷的分布、微裂縫的產(chǎn)生和發(fā)展都帶有不可避免的隨機性，甚至某些荷載（如地震荷載）本身就具有隨機性。這些隨機性必然導致結(jié)構(gòu)性能及其在荷載下的反應(yīng)呈現(xiàn)隨機性的特征。微觀上的隨機性也必然導致宏觀上的非線性。只有采用概率論的觀點，才能較真實地反映結(jié)構(gòu)的受力性能。現(xiàn)在的設(shè)計可能非常安全，但是誰也無法肯定在未知的荷載條件下可以保證其安全，因為我們沒有經(jīng)過隨機分線性分析。只有經(jīng)過隨機結(jié)構(gòu)分線性分析，才能更有把握地說：“這個結(jié)構(gòu)應(yīng)該很安全。2 損傷力學的基本原理是什么？混凝土材料在受力過程中，宏觀上會發(fā)生力學性質(zhì)的劣化，這是由于在細觀層次上初始微裂紋得到的擴大和發(fā)展。材料的缺陷被稱為“損傷”。一般認為混凝土產(chǎn)生塑性變形后卸載，應(yīng)力-應(yīng)變曲線將沿著與彈性段平行的直線返回，如圖4a所示；當完全卸載時，殘留的應(yīng)變即為塑性應(yīng)變；而實際的情況是，在一開始的加載過程中，混凝土內(nèi)部的微裂紋不斷的產(chǎn)生、擴大和發(fā)展，損傷不斷積累，已經(jīng)影響了混凝土的剛度，使得混凝土剛度退化，而且此變化是不可逆的，應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖4b所示。所以必須由一個單值函數(shù)描述這種現(xiàn)象，這里我們用損傷變量D來表示材料的損傷程度，D=0表示材料未損傷，D=1表示材料全部損傷，它反映的是材料宏觀性質(zhì)的劣化。材料的損傷變量可以使是微觀的，比如空隙的數(shù)目、長度、面積等，也可以是宏觀的，比如彈性模量、泊松比、屈服應(yīng)力等。損傷過程就像是一盆清水中滴下了一滴墨汁，損傷程度就是清水變黑的程度。 a) b) 圖4 混凝土材料力學性質(zhì)我們可以從兩個方面研究材料損傷：一是做試驗，得出數(shù)據(jù)，假定一個損傷模型，然后用曲線擬合，這是相當經(jīng)驗的，得出的結(jié)果往往以偏概全；二是找到損傷發(fā)生的條件，從物理層面研究它，然后進行邏輯推理，得到一些理論方程，有了理論的支持，使得研究結(jié)果更能站得住腳。損傷力學這門學科就是采用理論與試驗相結(jié)合的方式展開的。學者們從能量守恒和不可逆熱力學出發(fā)，引入熵的概念，得到關(guān)于連續(xù)介質(zhì)的Clausius-Duhem不等式，將材料力學性能的退化與Helmholtz自由能品質(zhì)的劣化聯(lián)系起來，不考慮沿物體表面的熱耗散過程的前提下，得到了損傷力學的基本方程。 (2.1)式(2.1)中，Helmholtz自由能又是應(yīng)變張量和損傷變量的函數(shù)，所以得到式(2.2). (2.2)從式(2.2)可以進一步得到應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系(2.3)和損傷能釋放率表達式Y(jié)(2.4)。 (2.3) (2.4) (2.5)同時確定損傷變量演化法則(2.5)，即構(gòu)成了完整的損傷力學本構(gòu)模型。我認為，從能量的角度出發(fā)對混凝土受力性能展開分析，是非常符合常理的。同時，將材料力學性能的退化與Helmholtz自由能品質(zhì)的劣化聯(lián)系起來是一個巨大的跨越，使得從能量角度分析混凝土受力性能變得可行。損傷力學理論讓我越來越覺得土木工程師也可以有物理學家的味道了。3 什么是經(jīng)典混凝土本構(gòu)？混凝土受拉和受壓的性能差異非常大，抗拉強度一般只能達到抗壓強度的十分之一左右，這就是我們所說的混凝土的單邊效應(yīng)?；炷猎谶_到極限強度后出現(xiàn)應(yīng)力軟化、卸載剛度退化、雙向受壓強度較單軸受壓強度增大、雙軸拉壓應(yīng)力狀態(tài)出現(xiàn)拉壓軟化現(xiàn)象等都是混凝土破壞的典型特征。混凝土本構(gòu)關(guān)系表示混凝土在受力情況下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，在單軸受力下的本構(gòu)關(guān)系稱為混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線。為了便于設(shè)計和研究，必須建立混凝土本構(gòu)模型，而合理的混凝土本構(gòu)關(guān)系模型應(yīng)該能較為全面地反映混凝土的典型特征。3.1 經(jīng)典彈性本構(gòu)假定混凝土材料為線彈性勻質(zhì)材料，并采用廣義虎克定律表達混凝土的本構(gòu)關(guān)系得到的為混凝土的線彈性本構(gòu)關(guān)系模型，雖然由于其簡便性在工程中應(yīng)用較廣，但是從本質(zhì)來看完全忽略混凝土受力的非線性表現(xiàn)，這將與實際結(jié)果相差較大。非線性彈性本構(gòu)模型中混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為非線性，但是終究為彈性，混凝土受力卸載后不留殘余變形，與線彈性本構(gòu)模型相比考慮了混凝土的非線性性能。Ottosen提出了一種全量型的本構(gòu)模型，假設(shè)在多軸應(yīng)力狀態(tài)下，認為任一方向上的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系仍與單軸相同，即各向同性假定，得到混凝土多軸割線模量ES，其中還有內(nèi)變量，為實際應(yīng)力與根據(jù)強度準則得到的破壞面上的應(yīng)力的比值，通過一些手段求得和S之后，將ES和S替代各向同性線彈性模型中的E和,就得到了Ottosen本構(gòu)關(guān)系，同時完成了從一維向多維的轉(zhuǎn)化。全量式本構(gòu)模型不適用于與加載路徑有關(guān)的問題的分析，且在有限元計算中，增量式本構(gòu)模型更為方便，Darwin-Pecknold模型從平面應(yīng)力出發(fā)，推導出增量形式的非線性彈性材料，但是內(nèi)部還有未知數(shù)切線模量。通過定義等效單軸應(yīng)變在形式上將耦合的二軸受力本構(gòu)關(guān)系轉(zhuǎn)化為了非耦合的等效單軸應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，并采用Saenz建議的單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和試驗確定的經(jīng)驗系數(shù)，最終求得切線模量，建立Darwin-Pecknold模型。Darwin-Pecknold模型多軸下的切線模量需要轉(zhuǎn)換到等效單軸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系形式后才可以求得，同時需要引入二維應(yīng)力狀態(tài)下的強度包絡(luò)圖、泊松比等經(jīng)驗關(guān)系式才能求得，這使得非線性分析在一定程度上較為復雜和不確定性。3.2 經(jīng)典塑性本構(gòu)經(jīng)典的塑性本構(gòu)關(guān)系也可以分為全量式和增量式。從彈性本構(gòu)關(guān)系已知全量式本構(gòu)表達式簡單，但是無法用于與加載路徑有關(guān)的問題分析，相比之下，增量式則有這方面的優(yōu)點。增量式塑性本構(gòu)關(guān)系可以用于非比例加載、卸載再加載等情況，同時，可以在不同的時段引入不同的屈服函數(shù)（判定何時屈服）、強化函數(shù)（確定后繼屈服面位置）、加卸載準則（區(qū)別加卸載過程的條件）、流動法則（確定塑性變形的方向和大?。┑?，可以得到更加理想的混凝土彈塑性模型?？紤]混凝土彈塑性性能后，看起來已經(jīng)可以比較好地表達混凝土的本構(gòu)關(guān)系了，因為在本構(gòu)關(guān)系中，既考慮了混凝土的彈性又考慮了塑性，同時還有非線性，增量表達式中，又可以考慮非比例加載、卸載再加載等情況，也可以反應(yīng)出混凝土應(yīng)力強化等特征，但是還是有很多不令人滿意的地方，比如：混凝土在單軸和多軸的情況下性能表現(xiàn)會有所不同，單一的彈塑性本構(gòu)關(guān)系很難全面描述這個特性；無法表達混凝土軟化、剛度退化的特征；同時，要確定混凝土屈服面非常困難?？傊?，經(jīng)典的彈塑性本構(gòu)還是無法真實表達混凝土的全部特征，而且，若增加條件使得彈塑性本構(gòu)模型更加靠近混凝土真實本構(gòu)會使公式過于繁瑣，不利于工程應(yīng)用。4 什么是彈塑性損傷本構(gòu)？因為混凝土材料本身就具有初始缺陷，比如微裂紋和空隙等，所以與經(jīng)典彈塑性力學不同，損傷力學從材料的損傷出發(fā)，用損傷變量反映混凝土受外力作用過程中力學性能的變化。損傷力學既能反映材料微觀結(jié)構(gòu)的變化，又能說明材料宏觀力學性能上的變化。世間萬物的發(fā)展過程都是從簡單到復雜，從不完善到完善，這是自然界的規(guī)律，對于科學研究亦是如此?；炷翐p傷本構(gòu)的發(fā)展是從彈性出發(fā)，再在彈性基礎(chǔ)上考慮塑性，最后再在彈塑性基礎(chǔ)上考慮隨機性。由于混凝土材料的單邊效應(yīng)，即受拉和受壓力學性能迥異，在損傷力學理論研究中，考慮著是否可以將受拉和受壓二者分開考慮?；炷敛牧鲜芡饬ψ饔煤?，取出其中的一個單元體，單元體上應(yīng)力如圖5a所示，將單元體轉(zhuǎn)到應(yīng)力主軸方向后，得到單元體的應(yīng)力如圖5b所示，可以發(fā)現(xiàn)，在單元體上只有拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。此時，我們再將此單元體上的應(yīng)力分開，如圖6所示。此時，單元體上只有拉應(yīng)力或者壓應(yīng)力，可以引入混凝土受拉和受壓本構(gòu)對各自單元體進行分析。分析完畢后，可以將剛才的分解步驟倒過來，重新合成一個具有復雜應(yīng)力狀態(tài)的單元體。a) b)圖5 單元應(yīng)力圖圖6 拉壓應(yīng)力第二節(jié)損傷力學的基本原理中已經(jīng)大致敘述了損傷力學的理論框架。在損傷力學理論中，第一步就是要確定損傷變量，并得到材料的總Helmholtz自由能，混凝土應(yīng)力可以分解如上所述，所以分別對受拉和受壓情況下各自設(shè)定一個損傷變量受拉損傷變量d+和受剪損傷變量d-，同時Helmholtz自由能也能分解為彈性部分和塑性部分。如果不考慮塑性部分，最后得到的即為彈性損傷本構(gòu)關(guān)系；如果不考慮受拉損傷變量的分離，而統(tǒng)一只取一個損傷變量d，最后得到的即為單標量彈塑性損傷本構(gòu)關(guān)系；既考慮彈、塑性部分Helmholtz自由能，又考慮受拉損傷變量d+和受剪損傷變量d-的分離，最后得到的即為雙標量彈塑性損傷本構(gòu)關(guān)系。下面以單標量彈塑性損傷本構(gòu)關(guān)系為例，稍作介紹。首先確定損傷變量為d，表示材料能量耗散能力的退化程度。彈性自由能勢為 (3.1)塑性自由能勢為 (3.2)所以材料的總的Helmholtz自由能勢為 (3.3)利用Clausius-Duhem不等式， (3.4)得到帶有內(nèi)變量的本構(gòu)關(guān)系 (3.5)塑性變形又必須滿足不可逆熱動力學原理，所以 (3.6)同樣，損傷變量d也是內(nèi)變量，也要滿足損傷耗散不等式 (3.7)式(3.7)中Y即為損傷能釋放率，即 (3.7) (3.9)基于損傷能釋放率建立損傷準則，判定什么情況下?lián)p傷增加， (3.10)根據(jù)正交流動法則，確定損傷變量的演化法則， (3.11)式(3.11)的意思為損傷變量增量與損傷函數(shù)關(guān)于損傷能釋放率的導數(shù)成正比，表明損傷越快，損傷變量增量越大，這是符合實際情況的。還需滿足加卸載條件，即Kuhn-Tucker條件的限制， (3.12) 以上為單標量彈塑性損傷本構(gòu)模型的建立過程，相同的過程可以建立雙標量彈塑性損傷本構(gòu)模型。雙標量彈塑性損傷本構(gòu)模型相對而言會比較復雜，但其可以考慮混凝土單邊效應(yīng)和強化與拉壓軟化效應(yīng)，更能比較全面和合理地進行混凝土結(jié)構(gòu)的非線性分析。5 什么是隨機損傷本構(gòu)？由前面的內(nèi)容可以看出，連續(xù)介質(zhì)內(nèi)的損傷力學在混凝土破壞理論研究中取得了很大的成就。盡管確定性的損傷分析可以在大方向上通過經(jīng)驗等把握住混凝土的損傷趨勢，但是損傷力學主要研究的是由于材料內(nèi)部微觀缺陷的產(chǎn)生和發(fā)展所引起的宏觀力學效應(yīng)及其最終導致材料或者結(jié)構(gòu)破壞的過程和規(guī)律，而材料內(nèi)部缺陷的初始分布和后繼發(fā)展都帶有極大的隨機性，若在混凝土彈塑性損傷理論中不考慮隨機性的影響，將無法預(yù)測損傷的隨機性對結(jié)構(gòu)性能的影響。本書在寫到第六章的時候又換了一個思路分析損傷問題：從細觀層次上，把混凝土塊簡化成無數(shù)個連續(xù)的微彈簧模型，把混凝土的斷裂應(yīng)變轉(zhuǎn)化成數(shù)學中的隨機變量，應(yīng)用概率統(tǒng)計的知識分析混凝土的受力性能。對于單軸受拉，定義混凝土塊中有N個形狀相同、彈性系數(shù)相同，但斷裂應(yīng)變隨機的的微彈簧，損傷變量可以表示為斷裂后退出工作的彈簧的面積占試件橫截面積的比例。斷裂后退出工作的彈簧的面積顯然是一個隨機量，滿足一定的概率分布函數(shù)。得到損傷變量的隨機表達式之后，代入單軸應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，可以得到 (5.1)式(5.1)中，表示帶有隨機變量的損傷變量。最終可以通過數(shù)學推導，得到均值關(guān)系和給定條件下的均方差表達式。 (5.2) (5.3)對于單軸受壓亦是如此。在每個微彈簧下面串聯(lián)一個塑性變形元件，考慮單軸受力狀態(tài)下塑性變形的考慮，并對已有的單軸受拉和受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系修正，得到單軸彈塑性隨機損傷本構(gòu)關(guān)系。 (5.4) (5.5) 對于多軸受力性能研究，根據(jù)不同受力特征（受壓為主或者受拉為主）可以簡化 Helmholtz自由能勢，忽略掉一部分的值，后面的推導過程與雙標量彈塑性損傷本構(gòu)模型的建立的過程一致，只不過這里帶有隨機變量，最終都可以得到均值關(guān)系和給定條件下的均方差表達式。6 怎么進行混凝土隨機損傷非線性反應(yīng)分析？在結(jié)構(gòu)分析中考慮結(jié)構(gòu)物理參數(shù)的隨機性，引出了采用隨機結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析問題的方法，針對線性結(jié)構(gòu)的靜力與動力反應(yīng)，已經(jīng)發(fā)展了隨機模擬方法、隨機攝動方法和政教多項式展開理論3。然而，上述方法尚無法獲得復雜結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)更為全面的概率信息，例如概率密度函數(shù)。對隨機系統(tǒng)中的系統(tǒng)描述最精細的方法是概率密度描述方式。由于物理關(guān)系在本質(zhì)上反應(yīng)了基本物理量之間的轉(zhuǎn)化或者傳遞關(guān)系，因此，概率密度描述的本質(zhì)是建立“隨機源”與“目標”物理量之間的概率密度傳遞或者演化關(guān)系。概率密度演化方法就可以建立起這種演化關(guān)系。簡單地可以這么認為，在概率守恒的假定下，采用概率密度演化方法，可以通過一個隨機變量的概率分布推演一個或者多個相關(guān)變量的概率分布。在結(jié)構(gòu)分析中，通過損傷隨機變量、荷載隨機變量等可以推演得到結(jié)構(gòu)反應(yīng)的概率分布。7 小結(jié)本讀書報告是學習了混凝土隨機損傷力學課程之后對所學知識的總結(jié)。通過幾個問題的提出，梳理了知識的紋路，明白了整個損傷力學的研究思路是：從試驗得到的混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系中發(fā)現(xiàn)眾多混凝土的特征，而現(xiàn)有混凝土本構(gòu)模型中無法反應(yīng)其中的某些特征，為了解決這個問題，找到了它的突破點損傷；基于能量守恒和不可逆熱力學定律，從物理角度得到損傷必須滿足的條件，進一步得到本構(gòu)關(guān)系以及內(nèi)變量必須滿足的條件；從彈性到彈塑性，從單標量到雙標量，不斷完善損傷力學理論；同時，又應(yīng)用概率統(tǒng)計和隨機過程的知識，把混凝土比作為無數(shù)個微彈簧，分析單軸和多軸受力情況下的力學性能；確定混凝土隨機損傷本構(gòu)關(guān)系之后，采用概率密度演化方法，對結(jié)構(gòu)進行隨機損傷非線性反應(yīng)分析。一