《高等數(shù)學(xué)》教案.pdf

安徽水利水電職業(yè)技術(shù)學(xué)院安徽水利水電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 高等數(shù)學(xué) 教案 高等數(shù)學(xué) 教案 課 程 高等數(shù)學(xué) 系 部 基 礎(chǔ) 部 教 研 室 數(shù) 學(xué) 第第 1 章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 1 1 函數(shù)函數(shù) 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生弄清集合的基本概念 集合的表示方法 全集與空集及集合間的關(guān)系 集合的運算 弄清無限區(qū)間與有限區(qū)間 理解區(qū)間的真正含義 理解函數(shù)的概念 會求函數(shù)的定義 域 弄清函數(shù)的幾種特性及反函數(shù)的概念 重點與難點 重點與難點 函數(shù)概念 求函數(shù)的定義域 鄰域概念 教學(xué)方法 教學(xué)方法 復(fù)習總結(jié)式 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 集合 區(qū)間及鄰域概念 集合的基本概念 集合的表示方法 幾種特殊的集合 集合間的關(guān)系 與集合的運算 區(qū)間的概念 有限區(qū)間與無限區(qū)間 開區(qū)間 閉區(qū)間 半開半閉區(qū)間 鄰域概 念 實心鄰域與空心鄰域 二 常量與變量 常量與變量的概念 三 函數(shù)概念 四 1 函數(shù)的定義 設(shè) x 和 y 是兩個變量 D 是一個給定的數(shù)集 若對于每個數(shù) x D 變量 y 按照 一定法則總有確定的數(shù)值和它對應(yīng) 則稱 y 是 x 的函數(shù) 記為 y f x 數(shù)集 D 稱為定義域 x 稱 為自變量 y 稱為因變量 2 函數(shù)的表示方法 3 函數(shù)兩個基本要素 4 函數(shù)的定義域及求法 5 函數(shù)舉例 五 函數(shù)的幾種特性 1 函數(shù)的有界性 定義與幾何解釋 2 函數(shù)的單調(diào)性 定義與幾何解釋 3 函數(shù)的奇偶性 定義與幾何解釋 4 函數(shù)的周期性 定義與幾何解釋 六 反函數(shù) 反函數(shù)的概念 求法及其間的相互關(guān)系 七 例題與作業(yè) 習題 1 1 八 小結(jié) 函數(shù)的兩個基本要素非常重要 務(wù)必使學(xué)生會求函數(shù)的定義域 弄清函數(shù)的特性 1 2 初等函數(shù)初等函數(shù) 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)熟練掌握基本初等函數(shù)理解復(fù)合函數(shù)的概念 初等函數(shù) 了解雙曲函數(shù)與反雙曲函 數(shù) 與會建立某些函數(shù)關(guān)系式 重點與難點 重點與難點 復(fù)合函數(shù)的概念 函數(shù)關(guān)系式的建立 教學(xué)方法 教學(xué)方法 啟發(fā)與練習相結(jié)合 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 基本初等函數(shù) 常用基本初等函數(shù)的簡要回顧 二 復(fù)合函數(shù) 1 定義 設(shè) y f u 是數(shù)集 B 上的函數(shù) 又 u x 是由數(shù)集 A 到數(shù)集 B 的函數(shù) 則 對于每一 x A 通過 u 都有確定的 y 與之對應(yīng) 這時在數(shù)集 A 上 y 是 x 的函數(shù) 這個函數(shù)稱 為數(shù)集 A 上的由函數(shù) y f u 與 u x 復(fù)合而成的函數(shù) 簡稱復(fù)合函數(shù) 記為 y f x 其中 u 稱為中間變量 A 是復(fù)合函數(shù)的定義域 2 注意 不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù) 1 x lg 1y 2 x1y 1 3 2 過程和定義域指出下列各函數(shù)的復(fù)合 例題 4 課堂練習 三 初等函數(shù) 1 定義 2 例題與練習 四 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù) 概念 五 函數(shù)關(guān)系式的建立舉例 六 例題與作業(yè) 習題 1 2 七 小結(jié) 學(xué)生要真正認清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合層次 這點極為重要 1 3 數(shù)列的極限數(shù)列的極限 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生了解數(shù)列極限的 N 定義 理解數(shù)列極限的含義及幾何解釋 了解收斂數(shù) 列的若干性質(zhì) 重點與難點 重點與難點 數(shù)列極限的定義 教學(xué)方法 教學(xué)方法 誘啟式 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 引例 劉徽 九章算術(shù) 中的割圓術(shù) 結(jié)合教材中的例題 讓學(xué)生觀察 二 數(shù)列極限的定義 1 描述性語句 嚴格定義 N 定義 2 幾點說明 1 的任意性 N 的相應(yīng)性 3 數(shù)列極限的幾何解釋 三 數(shù)列極限的舉例 教材中的例 1 例 2 例 3 四 收斂數(shù)列的性質(zhì) 唯一性 有界性等 五 例題與作業(yè) 習題 1 3 六 小結(jié) 數(shù)列極限的 N 定義較抽象 不要求學(xué)生掌握 但對于培養(yǎng)學(xué)生的理解能力大有 裨益 1 4 函數(shù)的極限函數(shù)的極限 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生了解函數(shù)極限的嚴格定義 弄清其含義及幾何解釋 了解函數(shù)極限的若干性質(zhì) 重點與難點 重點與難點 函數(shù)極限的定義 函數(shù)極限的幾何解釋 單側(cè)極限的概念 教學(xué)方法 教學(xué)方法 誘啟練習式 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限 1 引例 考察當?shù)淖兓厔?時 x 1 f x x 2 定義 描述性語言 嚴格定義 X 3 幾何解釋 4 的極限 f x x x時 5 三者間的關(guān)系 定理 AxfxfAxf xxx lim lim lim 2 二 自變量趨于有限值時函數(shù)的極限 1 引例 考察當 1 x 1 x f x 1 xf x 1 2 時 x的變化趨勢 2 定義 描述性語言 嚴格定義 3 幾何解釋 y 4 的左右極限 00 xfxxxx 5 三者間的關(guān)系 定理 AxfxfAxf xxxxxx lim lim lim 00 0 6 例題 見教材 三 函數(shù)極限的性質(zhì) 局部保號性 局部有界性等 四 例題與作業(yè) 例題 習題 1 4 1 1 2 1 作業(yè) 1 五 小結(jié) 學(xué)生雖不必掌握函數(shù)極限的嚴格定義 但可通過幾何圖形來理解概念 1 5 無窮小與無窮大無窮小與無窮大 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生理解無窮小與無窮大概念的含義 了解函數(shù) 極限 無窮小三者間的關(guān)系 無窮 小與無窮大間的關(guān)系 重點與難點 重點與難點 無窮小與無窮大的概念 教學(xué)方法 教學(xué)方法 復(fù)習誘啟式 教具 教具 彩色粉筆 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 無窮小 1 引例 2 定義 3 關(guān)于無窮小的幾點說明 4 無窮小與函數(shù)極限間的關(guān)系 定理 在自變量的同一變化過程中 具有極限的函數(shù)等于它的極限與一個無窮小之和 反之 若函數(shù) 可表示為常數(shù)與無窮小之和 則該常數(shù)就是這函數(shù)的極限 二 無窮大 1 引例 2 定義 3 關(guān)于無窮大的幾點說明 4 無窮大與無窮小間的關(guān)系 定理 在自變量的同一變化過程中 若f x 為無窮大 則 無窮大 則為無窮小 且為無窮小 反之 若 f x 1 0 f x f x 1 xf 三 例題與作業(yè) 習題 1 5 四 小結(jié) 學(xué)生要弄清無窮小與無窮大這兩個概念的真正含義 掌握無窮小與無窮大之間的相互關(guān) 系 1 6 極限運算法則極限運算法則 3 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生掌握極限運算法則 會使用之熟練求極限 重點與難點 重點與難點 極限運算法則 求極限問題 教學(xué)方法 教學(xué)方法 講解練習式 教具 教具 彩色粉筆 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 無窮小的性質(zhì) 1 有限個無窮小的和仍是無窮小 2 有界函數(shù)與無窮小的積仍是無窮小 3 推論 常數(shù)與無窮小的積是無窮小 有限個無窮小的積仍是無窮小 二 極限的四則運算法則 若g x lim f x 1 lim lim 則BxgAxf 推論若可加以推廣 B Alimg x limf x g x lim f x B Alimg x limf x nn Alim f x nA limf x CA lim Cf x C A limf x 是正整數(shù) 則若為常數(shù) 則2 若 B A limg x limf x g x f x lim 0B Blimg x A limf x 則且 上述定理對數(shù)列極限同樣適用 三 例題 見教材 四 小結(jié)與作業(yè) 習題 1 6 五 學(xué)生要熟練掌握無窮小的性質(zhì) 函數(shù)極限的運算性質(zhì) 1 7 極限存在準則 兩個重要極限極限存在準則 兩個重要極限 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生掌握兩個重要極限公式 求函數(shù)的極限 重點與難點 重點與難點 兩個重要極限公式的使用 教學(xué)方法 教學(xué)方法 講練結(jié)合式 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 夾逼準則 準則 1 如果數(shù)列 nnn xy 1 zzyx nnn 滿足以下條件 axlim x alimylim 2 1 2 3 n n n nn n n n 且的極限存在 則數(shù)列z 準則 成立 時 有或當如果h x f x g x M x v xUx 1 1 0 0 y 2 Af x lim A h x limg x lim x 0 x 0 x 0 xxxxxx 則 二 利用夾逼準則推導(dǎo) 1 公式 1 sin lim 0 x x x 2 例題 三 準則 2 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 推導(dǎo)公式e x x x 1 1 lim等價式ex x x 1 0 1 lim 4 四 利用公式e x x x 1 1 lim 求極限舉例 見教材 七 例題與作業(yè) 習題 1 7 八 小結(jié) 兩個重要極限公式對于求某些函數(shù)極限非常重要 務(wù)必使學(xué)生熟練掌握 特別是公式的 靈活運用 1 8 無窮小的比較無窮小的比較 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生掌握無窮小的比較 會利用等價無窮小求極限 重點與難點 重點與難點 無窮小階的比較 利用等價無窮小求極限 教學(xué)方法 教學(xué)方法 誘啟練習式 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 無窮小階的比較概念 1 定義 2 例題 見教材 二 定理 1 是與 等價無窮小的充要條件是 0 2 設(shè) limlim lim 存在 則且 三 例題與練習 教材例題及習題 1 8 四 小結(jié) 無窮小階的比較概念 使學(xué)生會利用等價無窮小求函數(shù)的極限 1 9 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生理解函數(shù)的連續(xù)性概念及間斷點概念 重點與難點 重點與難點 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 教學(xué)方法 教學(xué)方法 誘啟練習相結(jié)合 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 函數(shù)的連續(xù)性 1 函數(shù)的增量概念 1 定義 設(shè)變量 U 從它的一個初值 記為的增量稱為變量 則終值與初值之差變到終值 U UUU UU 12 21 即 2 幾何解釋見圖 12 UUU 2 函數(shù) y f x 在點的連續(xù)性 0 x 1 利用增量定義 設(shè)函數(shù) y f x 在點的某一鄰域內(nèi)有定義 如果當自變量的增量 0 x 左右連續(xù)的概念 定義 利用 點連續(xù) 在點則稱函數(shù) 式 及鄰域有定義 若有下在設(shè)改寫定義 連續(xù) 在點 則稱也趨于 時 對應(yīng)的函數(shù)的增量趨于 4 3 xf x f xf x limx f x y 2 x f x y0f x x f xy 0 0 0 xx 0 0 00 0 xxx 5 3 函數(shù) y f x 在區(qū)間內(nèi)的連續(xù) 1 在開區(qū)間 a b 內(nèi)的連續(xù) 2 在閉區(qū)間 a b 上的連續(xù) 二 函數(shù)的間斷點 1 函數(shù)間斷點的概念 若函數(shù) f x 有下列三種情況之一 a 在點沒有定義 b 雖在點有 定義 但 c 雖在點有定義 0 x 0 x 不存在 lim 0 xf xx 0 x 稱為間斷點 點不連續(xù) 點在則稱函數(shù)但存在 000 xx xxf x f xf x lim lim 00 xf xx 2 函數(shù)間斷點的類型 3 函數(shù)間斷點的舉例 見教材 三 例題與習題 習題 1 9 四 小結(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷性概念是非常重要的兩個概念務(wù)必使學(xué)生真正理解 1 10 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生掌握連續(xù)函數(shù)的運算及初等函數(shù)的連續(xù)性 重點與難點 重點與難點 連續(xù)函數(shù)的運算及初等函數(shù)的連續(xù)性 教學(xué)方法 教學(xué)方法 講練結(jié)合式 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 連續(xù)函數(shù)的和差 積商的連續(xù)性 定理 二 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 1 定理 2 例題 三 初等函數(shù)的連續(xù)性 1 重要結(jié)論 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的 2 例題 求 下列極限 1 4x 3 5x lim 3sinx ln lim 2 1lim 4x 2 x 2 0 x xx 4 x 1a lim 6 x x 1log lim 5 sin5x 24x lim x 0 x a 0 x0 x 四 例題與作業(yè) 習題 1 10 五 小結(jié) 學(xué)生要掌握初等函數(shù)的連續(xù)性 記住一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)均連續(xù)這一重要結(jié)論 對于分段函數(shù)特別要注意分段點的討論 本本 章章 小小 結(jié)結(jié) 1 本章主要內(nèi)容為 函數(shù)的定義 基本初等函數(shù) 復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)的概念 數(shù)列極限與函數(shù)極 限的定義 極限的運算法則 無窮小與無窮大的概念 兩個重要極限 函數(shù)的點 連續(xù)與區(qū)間連續(xù)的概念 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 2 幾個常用的基本極限 的常數(shù)為常數(shù) 0 0 x 1 lim 3 xxlim 2 C CClim 1 x 0 xx x x x 00 6 mn mn 0 mn b a bxbxb axaxa lim 6 e x 1 1lim 5 1 x sinx lim 4 0 0 n 1 n 1 n 0 m 1 m 1 m 0 xx0 x 出的有關(guān)概念間時函數(shù)的極限與由此引和 xxx 0 處有增量在當自變量的某一鄰域內(nèi)有定義 在點設(shè)xxxx y 1 00 xf 利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)舉例 導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)函數(shù)簡稱式的改寫式 導(dǎo)數(shù)定義明 關(guān)于導(dǎo)數(shù)定義的幾點說 或 或記作 的導(dǎo)數(shù) 記為在點存在 則稱該極限值為 若有 函數(shù)的增量 3 b a 2 dx df x dx dy xf yxf x y x f xx f x lim x y lim f xx f xy 00 0 xxxx0 xx0 00 00 x 00 Lxf x y 2 0 的曲線的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)所表示在點函數(shù) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 的斜率 在相應(yīng)點 y x 00 3 列出了當?shù)穆?lián)系 第第 2 章章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分 2 1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)概念 弄清導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性間的關(guān)系 重點與難點 重點與難點 導(dǎo)數(shù)的概念 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 教學(xué)方法 教學(xué)方法 啟發(fā)誘導(dǎo)式 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 引例 1 變速直線運動的速度 2 平面曲線的切線的斜率 二 導(dǎo)數(shù)定義 時 相應(yīng) 三 1 曲線的切線定義 圖示 四 數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系 對一元函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù) 但連續(xù)未必可導(dǎo) 即 連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件 可導(dǎo)是連續(xù)的充分條件 五 例題與練習 習題 2 1 六 小結(jié) 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念非常重要 要使學(xué)生理解其真正含義 特別是定義式 2 2 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 7 2 3 函數(shù)和 差 積 商的求導(dǎo)法則函數(shù)和 差 積 商的求導(dǎo)法則 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 掌握函數(shù)和 差 積 商的求導(dǎo)法則 重點與難點 重點與難點 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 函數(shù)和 差 積 商的求導(dǎo)法則 教學(xué)方法 教學(xué)方法 講練結(jié)合式 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 利用導(dǎo)數(shù)定義推導(dǎo)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 1 常數(shù)的導(dǎo)數(shù) 0 c 2 1 x x 冪函數(shù)的求導(dǎo)公式 3 三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 1 cosx sinx x sec tanx 3 sinx cosx 2 2 x 1 lnx lnxx 1 xlog 4 cotx cscx cscx 6 secx tanx secx 5 x csc cotx 4 a 2 對數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式 2 22 22 x xxx v vuvu v u 3 wuvwvuvwu uvw vuvu uv 2 vu v u 1 v x v u x u x1 1 arccotx 4 x1 1 arctanx 3 x1 1 arccosx 2 x1 1 arcsinx 1 6 e e lnaa a 5 如的情形 可推廣到有限個函數(shù)積 形可加以推廣到有限項情 均為可導(dǎo)函數(shù) 則有設(shè)函數(shù)則 函數(shù)和差積商的求導(dǎo)法二 反三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式 指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 三 例題與作業(yè) 習題 2 3 四 小結(jié) 導(dǎo)數(shù)的基本公式 和 差 積 商的求導(dǎo)法則 2 4 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 靈活使用該法則求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 重點與難點 重點與難點 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法 教學(xué)方法 教學(xué)方法 誘啟練習式 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1 定理 2 推導(dǎo)數(shù)反三角函數(shù)的求導(dǎo)公式 二 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 1 定理 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 明函數(shù)求導(dǎo)法則的幾點說關(guān)于復(fù)合 或?qū)懗汕姨幰灿袑?dǎo)數(shù) 在點則復(fù)合函數(shù) 處有導(dǎo)數(shù)在對應(yīng)點函數(shù) 處有導(dǎo)數(shù)在點如果 2 uyy x u fy dx du du dy dx dy x x f y u f du dy u f u y x dx du x x u xux 8 2 3 x n x 1 sin x2 232 2 x e1 xsin y 9 ey 8 cos eln y 7 xcos 1y 6 tanxy 5 2x1y 4 x1 2x sin y 3 ey 2sinx ln y 1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 三 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)舉例 四 例題與作業(yè) 習題 2 4 五 小結(jié) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法也稱為鏈式求導(dǎo)法 是函數(shù)求導(dǎo)的一個極為重要的法則 學(xué)生務(wù)必要 熟練掌握 2 5 初等函數(shù)求導(dǎo)問題初等函數(shù)求導(dǎo)問題 2 6 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生熟練掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 會求高階導(dǎo)數(shù) 重點與難點 重點與難點 初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 求高階導(dǎo)數(shù) 教學(xué)方法 教學(xué)方法 總結(jié)練習式 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式 二 函數(shù)和 差 積 商的求導(dǎo)法則 三 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 四 高階導(dǎo)數(shù) 1 高階導(dǎo)數(shù)的概念 2 高階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)舉例 階導(dǎo)數(shù)的求例 階導(dǎo)數(shù)的求例 階導(dǎo)數(shù)的求例 的各階導(dǎo)數(shù) 求例 求例 nx 1ln y 5 n sinx y 4 n ey 3 0 a axaxay 2 y 1 x 0n 1n 1 n 0 baxy 五 例題與作業(yè) 習題 2 6 六 小結(jié) 弄清高階導(dǎo)數(shù)的概念 記住幾個較常用的函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)公式 2 7 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生會求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 重點與難點 重點與難點 求隱函數(shù)的導(dǎo)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 教學(xué)方法 教學(xué)方法 講練結(jié)合式 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 隱函數(shù)的求導(dǎo)問題 1 隱函數(shù)概念 F x y 0 2 隱函數(shù)求導(dǎo)舉例 9 3 2 3 2 1 9 y 16 x 3 dx dy 0 xy 03xx2yy 2 dx dy 0exye1 22 0 x 75 y 處的切線方程 在點 求橢圓 例 處的導(dǎo)數(shù)在所確定的隱函數(shù) 求由方程 例 所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 求由方程例 說明舉例 公式 數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函二 的導(dǎo)數(shù) 求 例 的導(dǎo)數(shù)求 例 對數(shù)求導(dǎo)法 3 2 1 4 3 x x 2 1 x x y 5 0 x xy 4 3 sinx 三 例題與作業(yè) 習題 2 7 四 小結(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)問題是本章的一個難點 通過例題與練習使學(xué)生逐步掌握 2 8 微分的概念微分的概念 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生理解微分的概念及與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系 弄清微分的幾何意義 掌握微分的運算法 則 并會求函數(shù)的微分 重點與難點 重點與難點 微分的概念及與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系 微分的幾何意義及微分的運算法則 求函數(shù)的微分 教學(xué)方法 教學(xué)方法 誘啟練習式 教具 教具 三角板 彩色粉筆 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 微分的概念 1 引例 一個正方形金屬薄片 當受冷熱影響時 其邊長由 如圖 變到 x x0 0 x 少 問薄片的面積改變了多 dx x fdy dx xx x fdy x f x y x f x y 3 x Ady dy x x f x yxAx f x yxx 0 xA x 0 xAy yxxx x f x y 2 00 00 00 00 0 則有規(guī)定 且有可導(dǎo) 在點函數(shù)可微的充要條件是 在點函數(shù)定理 即記為的微分 自變量增量 相應(yīng)于在點稱為函數(shù)是可微的 而在點 數(shù)的高階無窮小 則稱函是比的常數(shù) 而 是不依賴于其中 可表示為 數(shù)的增量為該鄰域的點 如果函及 的某鄰域內(nèi)有定義 在點設(shè)函數(shù)定義 f x yx f x y 4 0 縱坐標的相應(yīng)增量 的切線上點的的微分 就是曲線在點函數(shù) 微分的幾何意義 二 幾點說明 三 基本初等函數(shù)的微分公式與微分運算法則 1 基本初等函數(shù)的微分公式 2 微分運算法則 1 函數(shù)和 差 積 商的微分法則 2 復(fù)合函數(shù)的微分法則 一階微分形式不變性 10 3 舉例 已知 y sin 2x 1 求 dy 四 例題與作業(yè) 習題 2 8 2 9 微分的應(yīng)用微分的應(yīng)用 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生掌握微分在近似計算中的應(yīng)用 了解微分在誤差估計中的應(yīng)用 重點與難點 重點與難點 微分在近似計算中的應(yīng)用 教學(xué)方法 教學(xué)方法 講練結(jié)合式 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 微分在近似計算中的應(yīng)用 1 計算函數(shù)增量的近似值 x x fdy 0 y 要注意條件 相對較小 x 2 計算函數(shù)值的近似值 1 計算函數(shù) f x 在點 x n 1 1 x1 x1ex x ln 1x x tanxsinx x 0 x f f 0 f x 0 xf x 2 x x x f f x f x n x 000 幾個常見的近似計算式 相對較小附近的近似值 在點計算函數(shù) 相對較小 條件是附近的近似值 xx 二 微分在誤差估計中的應(yīng)用 1 公式 2 舉例 三 小結(jié)與習題 習題 2 9 四 小結(jié) 微分在近似計算中的應(yīng)用 本本 章章 小小 結(jié)結(jié) 1 本章主要內(nèi)容為 導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 對數(shù)求導(dǎo)法 由 參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo) 以及微分的定義和微分的幾何意義 微分的基本公式和微分法則 2 在學(xué)習函數(shù)微分時 要注意微分有兩個特性 u du fdy 2 0 x x 0 dy yxx x fdy 0 x x f 1 00 即一階微分形式不變性 的線性函數(shù) 且是時 當 聯(lián)系 但應(yīng)注意它們的區(qū)別與 的聯(lián)系 統(tǒng)稱為微分法在計算方法上有著緊密求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和求微分 3 本章概念和公式較多 以下列出了主要內(nèi)容之間的聯(lián)系 11 數(shù)導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函 求導(dǎo)法則 隱函數(shù) 和微分法則基本公式求導(dǎo)法則 微分基本公式導(dǎo)數(shù)的復(fù)合函數(shù) 求導(dǎo)法則 和 差 積 商 線性主部 函數(shù)增量的函數(shù)微分函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 函數(shù)的變化率 微分幾何意義導(dǎo)數(shù)幾何意義二階導(dǎo)數(shù) x dx fdy dx dy x f 第第 3 章章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 3 1 中值定理中值定理 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生了解中值定理 弄清中值定理的條件及結(jié)論 明白中值定理的幾何意義 重點與難點 重點與難點 中值定理 教學(xué)方法 教學(xué)方法 誘啟式 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 羅爾 Rolle 中值定理 1 定理 0 f b a a f b f 3 b a 2 b a 1 f x y 得 使 內(nèi)至少存在一點則在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo) 在開區(qū)間 上連續(xù) 在閉區(qū)間 滿足條件 如果函數(shù) 2 幾點說明 3 幾何意義 如果連續(xù)光滑曲線 y f x 在 a b 的兩端點的值相等 且在 a b 內(nèi)每一點有處 處不垂直于 x 軸的切線 則至少有一條平行于 x 軸的切線 如圖 4 舉例 二 拉格朗日 Lagrange 中值定理 1 定理 a b ff a f b ab f a f b f b a b 2 b a 1 f x y 或?qū)懗?得 使 內(nèi)至少存在一點則在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo) 在開區(qū)間 上連續(xù) 在閉區(qū)間 滿足條件 如果函數(shù) a 2 定理推導(dǎo) 3 幾點說明 4 幾何意義 若連續(xù)曲線 y f x 上的弧除端點外有處處不垂直于 X 軸的切線 則在這段弧上 AB 12 至少存在一點 C 使曲線在 C 點的切線平行于弦 AB 如圖 5 推論 1 與推論 2 6 舉例 三 柯西 Cauchy 中值定理 1 定理 2 幾點說明 四 例題與作業(yè) 習題 3 1 五 小結(jié) 微分中值定理是微分學(xué)的基本定理 盡管非常重要 但只要求學(xué)生作一般了解 3 2 洛比達洛比達 L Hospital 法則法則 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生掌握洛比達 L Hospital 法則 求未定式極限 重點與難點 重點與難點 洛比達 L Hospital 法則求未定式極限 教學(xué)方法 教學(xué)方法 講練結(jié)合式 教 學(xué) 過 程 一 型未定式 0 0 1 定理 如果 2 在點 都趨于與時 當0g x f x xx1 0 存在 或都存在且的某一鄰域內(nèi) x g x f lim 3 0 x g x g x fx 0 xx 0 x 1 arctanx 2 lim sinxx xcosxx lim 8x 42xx lim 1 3 2 x g x f lim g x f x lim x0 x 3 3 xx xxxx 0 0o 求例舉例 幾點說明 且 二 未定式 1 定理 如果 大 都趨于無窮與時 當g x f x xx1 0 2 在點存在 或都存在且的某一鄰域內(nèi) x g x f lim 3 0 x g x g x fx 0 xx 0 為 且 x g x f lim g x f x lim 0o xxxx 2 幾點說明 3 舉例 x xln lim 2 x 求 13 三 其它類型未定式 除前面兩種基本的未定式外 四 還有例題型來解決 可轉(zhuǎn)化為五種類型未定式 0 0 1 0 0 0 0 五 練習與作業(yè) 習題 3 2 六 小結(jié) 洛比達法則求極限時一定要注意它的使用條件 未定式 3 3 函數(shù)的單調(diào)性與極值的判定函數(shù)的單調(diào)性與極值的判定 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生掌握函數(shù)的單調(diào)性判定 會求函數(shù)的極值 重點與難點 重點與難點 函數(shù)的單調(diào)性判定 求函數(shù)的極值 教學(xué)方法 教學(xué)方法 誘啟練習式 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 函數(shù)的單調(diào)性 1 單調(diào)性概念與圖示說明 2 定 理 設(shè) 函 數(shù)y f x 在 a b 上 連 續(xù) 在 a b 內(nèi) 可 導(dǎo) 1 若在 b a x fy 0 x fb a上單調(diào)增加 在則函數(shù)內(nèi) 2 上單調(diào)減少 在則函數(shù)內(nèi) 若在 b a x fy 0 x fb a x 時 點不取得極值 處取在點則 在點則 0 0 0 0 x f xf x 0 f x 0 x 三 函數(shù)極值舉例 的極值 求函數(shù)例的極值 求函數(shù)例3x x x f 6 x 2 3 x x f 5 3 3 2 四 結(jié)與習題 歸納求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與求函數(shù)極值的解題步驟 習題 3 3 3 4 函數(shù)的最值及其應(yīng)用函數(shù)的最值及其應(yīng)用 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生掌握函數(shù)最值的求法及函數(shù)最值的某些應(yīng)用 重點與難點 重點與難點 函數(shù)最值的求法及函數(shù)最值的某些應(yīng)用 教學(xué)方法 教學(xué)方法 誘啟練習式 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 函數(shù)最值的概念 1 概念 2 定理回顧 二 求函數(shù)最值的一般步驟 1 求出 f x 在 a b 上的所有駐點和不可導(dǎo)點 2 求出駐點 不可導(dǎo)點及端點的函數(shù)值 3 對上述函數(shù)值進行比較 其最大者即為最大值 其最小者即為最小值 三 舉例及應(yīng)用 例 1上的最大值和最小值 在 2 1 1 x1 x x f 32 求 例 2 用一塊寬為 6m 的長方形鐵皮 將寬的兩個邊緣向上折起 做成一個開口水槽 其橫截面積為 矩形 高為 x 問高 x 為何值時水槽流量最大 例 3 橫截面為矩形的梁原強度與矩形高的平方和寬的禾乘積成正比 用直徑為 D 的圓木作矩形梁 問高和寬各為多少時梁的強度最大 15 例 4 設(shè)工廠 A 到鐵路的垂直距離為 20 千米 垂足為 B 鐵路線上距離 B 為 100 千米處有一原料供 應(yīng)站 C 圖示 現(xiàn)在要從鐵路 BC 中間某處 D 修建一個車站 再由車站 D 向工廠 A 修一公路 問 應(yīng)選處才能使得從原料供應(yīng)站 C 運貨到工廠 A 所需運費最省 已知 1 千米的鐵路運費與公路運費之 比為 3 5 四 小結(jié)與作業(yè) 習題 3 4 3 5 曲線的凹凸性函數(shù)圖形的描繪曲線的凹凸性函數(shù)圖形的描繪 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生掌握函數(shù)曲線的凹凸性及函數(shù)圖形的描繪 重點與難點 重點與難點 函數(shù)曲線的凹凸性及函數(shù)圖形的描繪 教學(xué)方法 教學(xué)方法 講解回顧練習式 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 曲線的凹凸性與拐點 1 定義 設(shè)函數(shù) y x 在區(qū)間 a b 內(nèi)可導(dǎo) 若曲線 y f x 在 a b 上每一點的切線都位于該曲 線的下 上 方 則稱曲線 y x 在區(qū)間 a b 內(nèi)是凹 凸 的 如圖 2 定理 b a x f y 0 x f b a 2 b a x fy0 x f b a 1 b a x y 內(nèi)是凸的 在則曲線內(nèi) 在若內(nèi)是凹的 在 則曲線 內(nèi) 若在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù) 在區(qū)間設(shè) 稱為曲線的拐點 曲線凹凸部分的分界點 區(qū)間 結(jié)論也成立 定理中的區(qū)間改為無窮 說明 2 1 3 的凹凸區(qū)間及拐點 求曲線舉例 間 即可得出曲線的凹凸區(qū)點 反之則不是 同時應(yīng)的曲線上的點即是拐 該點對的符號 若異號 則與兩側(cè)列表考察上述各點鄰近 不存在的點 和求出 的定義域 求出 的步驟 求曲線的凹凸間及拐點 x xy 5 x f 3 x f0 x f 2 x f 1 4 3 5 3 8 二 函數(shù)圖形的描繪 1 漸近線概念 水平漸近線與垂直漸近線 2 作圖一般步驟 1 確定函數(shù)的定義區(qū)間 2 考察函為數(shù)的奇偶性 周期性與有界性 3 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 極值點 凹凸區(qū)間與拐點 4 求曲線的漸近線 5 根據(jù)上面討論并利用曲線與坐標軸交點及相關(guān)輔助點 描出函數(shù)的圖象 三 舉例 描繪 y 的圖形 x 1 x 2 四 例題與習題 習題 3 5 五 小結(jié) 函數(shù)曲線的凹凸性判定 函數(shù)圖形的描繪 3 6 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用 16 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生了解導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用 如成本函數(shù) 收入函數(shù) 利潤函數(shù) 邊際分析 中的邊際成本 邊際收入 邊際利潤 最大利潤 彈性概念等 重點與難點 重點與難點 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用 如成本函數(shù) 收入函數(shù) 利潤函數(shù) 邊際分析中的邊際 成本 邊際收入 邊際利潤 最大利潤 彈性概念等 教學(xué)方法 教學(xué)方法 啟發(fā)誘導(dǎo)式 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 成本函數(shù) 收入函數(shù) 利潤函數(shù) 1 成本函數(shù) C x 是生產(chǎn)數(shù)量為 x 的某種產(chǎn)品的總成本 它為固定成本及變動成本之和 成本 函數(shù) C x 為單調(diào)增函數(shù) 2 收入函數(shù) R x 表示售出數(shù)量為 x 的某種商品所獲得的總收入 收入 價格 數(shù)量 即 R x p x 3 利潤函數(shù) L x R x C x 二 邊際分析 1 邊際成本 2 邊際收入 3 邊際利潤 4 最大利潤 三 彈性的概念 1 概念 2 例題 四 例題與習題 習題 3 6 3 7 曲線的曲率曲線的曲率 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生理解弧微分 了解曲線的曲率概念及曲率半徑 重點與難點 重點與難點 弧微分 曲線的曲率及曲率半徑 教學(xué)方法 教學(xué)方法 啟發(fā)誘導(dǎo)式 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 弧微分 1 弧微分的概念 2 弧微分公式 dx y 1 dy dx dS 222 二 曲率及曲率半徑 1 曲線曲率的概念 1 定義 2 曲率計算公式 2 3 2 y 1 y k 2 曲率半徑的概念 1 計算公式 k 1 R 2 例題 三 例題與習題 習題 3 7 四 小結(jié) 曲線的曲率概念在工程技術(shù)中有著某些應(yīng)用 本本 章章 小小 結(jié)結(jié) 1 本章研究兩大內(nèi)容 即微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 微分中值定理是微分學(xué)的基本定理 是本章內(nèi)容的理論依據(jù) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用具體的有這樣幾個方面 一是洛比達法則求極限 二 是利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的變化性態(tài) 三是導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟方面的應(yīng)用 四是曲率問題 2 中值定理是溝通函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的橋梁 是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的根據(jù) 3 洛比達法則用于求 型未定式極限 和 0 0 應(yīng)注意以下幾個方面 17 1 每次使用法則應(yīng)檢查是否符合條件 2 滿足條件可連續(xù)使用 3 洛比達法則失效 并不說明極限不存在 需用別的方法來求 4 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的特性 是函數(shù)極值的基礎(chǔ) 要熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性判定方法 5 極值是局部概念 最值是全局概念 要熟練掌握函數(shù)極值和函數(shù)最值的求法 6 函數(shù)圖形的描繪是綜合知識的運用 是本章前幾節(jié)內(nèi)容的概括 7 了解導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟方面的應(yīng)用 8 曲率問題 1 弧長微分公式 dx y 1 dy dx dS 222 2 曲率 2 3 2 y 1 y k 3 曲率半徑 k 1 R 第第 4 章章 不定積分不定積分 4 1 不定積分的概念 性質(zhì)及基本公式不定積分的概念 性質(zhì)及基本公式 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生理解不定積分的概念 掌握不定積分的性質(zhì)及基本公式 重點與難點 重點與難點 不定積分的概念 不定積分的性質(zhì)及基本公式 教學(xué)方法 教學(xué)方法 啟發(fā)誘導(dǎo)式 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 原函數(shù)的概念 幾點說明 的一個原函數(shù) 為則稱或 使得 知函數(shù) 若存在函數(shù)是定義在某區(qū)間上的已設(shè)函數(shù)定義 2 f x F x f x dx dF x x f x F F x f x 1 二 不定積分的概念 為積分符號 為被積表達式 為被積函數(shù) 為積分變量 稱其中 的不定積分 記為稱為全體原函數(shù)函數(shù)定義 f x dxf x x f x x F CF x f x dxf x CF x f x 1 2 積分曲線及積分曲線族的概念 3 例題 4 積分運算與微分運算之間的互逆關(guān)系 CF x dF x CF x x dx F 2 f x dx f x dxd f x f x dx 1 或 或 18 三 基本積分公式 Carcsinxdx x1 1 13 Carctanxdx x1 1 12 Ccscxcscxcotxdx 11 Csecxsecxtanxdx 10 Ccotxxdxcsc 9 Ctanxxdxsec 8 Ccosxsinxdx 7 Csinxcosxdx 6 C lna a dxa 5 Cedxe 4 C x lndx x 1 3 1 Cx 1 1 dxx 2 Ckxkdx 1 2 2 22 x xxx 1 五 直接積分法舉例 性質(zhì) 可加以推廣性質(zhì) 四 不定積分的性質(zhì) 0 k f x dx kkf x dx 2 g x dx f x dxdxg x f x 1 六 小結(jié)與習題 小結(jié)不定積分的概念及基本公式和不定積分的性質(zhì) 習題 4 1 4 2 換元積分法換元積分法 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生熟練掌握不定積分的換元積分法 第一類換元積分法和第二類換元積換元積分 法 重點與難點 重點與難點 第一類換元積分法和第二類換元積換元積分法 教學(xué)方法 教學(xué)方法 誘啟練習式 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 第一類換元積分法 湊微分法 1 引例 2 定理 C x F CF u f u du x x d f x dx x f g x dx x u 回代 令湊微分 3 例題與說明 4 幾個常用的湊微分式 d arctanx dx x1 1 d arcsinx dx x1 1 d cotx xdxcsc d tanx xdxsec d sinx cosxdx d cosx sinxdx x d lndx x 1 d edxe x2d x dx d x 2 1 xdx 1 2 2 2 2 xx2 baxd a dx 5 幾個常用積分式推導(dǎo) 19 二 第二類換元積分法 C x F CF t t dt t f f x dx t dt t f t xf x dx 1 1 t x 回代 令 序進行計算 易求出 則可按以下程 進行換元 如果時 適當?shù)剡x擇定理 計算 2 幾種常見換元的舉例 1 根式換元法 dx 13x 1x x1 dx 3 求 t 1 x 3 ax dx 0 a x a dx 0 adx xa asect x ax atanx x ax asinx x xa 2 22 3 222 22 2222 22 令到代換 求 令時 對令時對 令時 對三角換元 三 小結(jié)與習題 不定積分的換元積分法是求不定積分的重要積分法 要記住一些常見的湊微分和 換元 習題 4 2 4 3 分部積分法分部積分法 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生熟練掌握不定積分的分部積分法 重點與難點 重點與難點 不定積分的分部積分法 教學(xué)方法 教學(xué)方法 誘啟練習式 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 分部積分公式 1 公式推導(dǎo) 2 幾點說明 分部積分的關(guān)鍵是恰當?shù)剡x擇 u 和 dv 一般要考慮以下兩點 1 v 要容易求得 可用湊微分法求出 2 容易積出要比 udv vdu 3 常見幾個被積函數(shù)式形式選擇 u 和 dv 的具體方法 三 分部積分積分舉例 dx xarctan arcsinxdx sinxdxe dxex xlnxdx dx cosx x xx2 例題 四 課堂練習與習題 習題 4 3 五 小結(jié) 使用分部積分過程中 如何恰當?shù)剡x取 u 和 dv 作出一般性的概括總結(jié)讓學(xué)生加以理解 掌握 4 4 積分表的使用積分表的使用 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生會查簡易積分表 重點與難點 重點與難點 積分表的使用 20 教學(xué)方法 教學(xué)方法 練習式 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 積分表介紹 二 簡易積分表使用 三 舉例與課堂練習 例題 xdxlnx 4cosx 3 dx 2x x 3 23 2 dx 查表求 四 小結(jié)與練習 本本 章章 小小 結(jié)結(jié) 1 本章主要內(nèi)容為 不定積分的概念 積分的基本公式及運算法則 幾種基本積分法 2 原函數(shù)和不定積分的概念是積分學(xué)中的最基本的概念 3 下面框圖指出了它們間的聯(lián)系 原函數(shù)族 不定積分 積分曲線族 CF x y f x x F f x dx CF x y 若 當 x x0 通過點 x0 y0 y y0 一個原函數(shù) 一條積分曲線 y F x C0 y F x C0 4 積分的基本公式和法則是求不定積分的重要工具 學(xué)習時必須熟記 并用相應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)公式和 法則與之對比驗證 應(yīng)該注意 求積分的運算要比求導(dǎo)運算困難 技巧性較強 直接積分法是 其它積分法的基礎(chǔ) 5 第一類換元積分法和第二類換元積分法統(tǒng)稱為換元積分法 因為它們都是通過適當?shù)淖兞看鷵Q 來求積分的 值得注意的是 它們的區(qū)別在于積分變量 x 所處的地位不同 第一類換元積分法 是令 u x 其中 x 是自變量 引入的新變量是函數(shù) 而第二類換元法是令 x t 其中 x 是函數(shù) 引入的新變量 t 是自變量 另外 在進行第一類換元積分時 通過湊微分 新變量 u 可 不明顯地標出 而進行第二類換元積分時 新變量 t 必須明顯地引進 即 令 和 回代 這兩 個過程不能省略 6 分部積分的關(guān)鍵是合理地將被積表達式分成 u 和 dv 兩部分 從而代入分部積分公式 7 一般說來 查積分表可節(jié)省計算積分的時間 但應(yīng)注意 只有掌握了基本積分法才能靈活地使 用積分表 21 第第 5 章章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 5 1 定積分的概念定積分的概念 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生理解定積分的概念 弄清定積分的幾何意義 掌握定積分的性質(zhì) 重點與難點 重點與難點 定積分的概念 幾何意義及定積分的性質(zhì) 教學(xué)方法 教學(xué)方法 誘啟式 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 定積分問題的舉例 1 曲邊梯形的面積 1 曲邊梯形的概念 5 曲邊梯形的面積問題 a 作分割任取分點 把底邊 a b 分成 n 個小區(qū)間 i 1 2 n 對應(yīng)的第 i 個小曲邊梯形的面積記為n 2 1 i Ai b 取近似代替 在第 i 個小曲邊梯形的底上任取 一點 1i x i x 則得小曲邊梯形面積 i A 的近似值 ii x f i 1 2 n i c 求和 將 n 個小曲邊梯形面積的近似值求和 即 n 1i ii x f n 1i i ni1 ii 0 x max x f limA d 其中曲邊梯形的面積即為求極限 2 變速直線運動的路程 二 定積分的概念 定積分的定義 略 1 幾點說明 1 定積分表示一個數(shù) 與被積表達式和積分上 下限有關(guān) 而與積分變量無 關(guān) 2 規(guī)定 3 定積分的存在性 當 f x 在 a b 上連續(xù)或只有有限個間斷點時 f x 在 a b 上可積 dxf x dxf x 0dx a b b a b a xf 三 定積分的幾何意義 曲邊梯形面積的代數(shù)和 四 定積分的性質(zhì) 性質(zhì) 1 線性性質(zhì) k b a 12211 k x dxfk x fk dx b a xf 2 dx b a xf 22 性質(zhì) 2 積分的可加性 dx b a xfdx c a xfdx b c xf 性質(zhì) 3 積分的比較性 在 a b 上 若有 f x 則有 xg dx b a xf dx b a xg 性質(zhì) 4 積分估值性質(zhì) 設(shè) M 與 m 分別是 f x 在 a b 上的最大值與最小值 則有 m b a dx b a xf M b a 性質(zhì) 5 積分中值性質(zhì) 如果 f x 在 a b 上連續(xù) 則在 a b 上至少存在一點 a b 使得 f dx b a xf b a 五 小結(jié)與習題 定積分的概念與定積分的若干性質(zhì) 習題 5 1 5 2 微積分基本公式微積分基本公式 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生弄清積分上限函數(shù)的概念 熟練掌握牛頓 萊布尼茲公式 重點與難點 重點與難點 積分上限函數(shù)的概念 牛頓 萊布尼茲公式 教學(xué)方法 教學(xué)方法 誘啟練習式 教具 教具 三角板 彩色粉筆 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 積分上限函數(shù) 1 概念 定理 如果函數(shù) f x 在 a b 連續(xù) 則積分上限函數(shù) 上可導(dǎo) 且其導(dǎo)數(shù)是在 b a dt t f x x a x a bxa x f dt t f dx d x y y f x 2 推論 連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在 事實上即是 f x 的一個原函數(shù) 0 a x x x a dt t f x 二 牛頓 萊布尼茲 Newton leibniz 公式 b a F a F b x dx f f x F x b a x f 1 的任一原函數(shù) 則有為上連續(xù) 且在設(shè)函數(shù)定理 2 例題 見教材 三 小結(jié)與習題 積分上限函數(shù) 牛頓 萊布尼茲公式 習題 5 2 5 3 定積分的積分法定積分的積分法 教學(xué)目的 教學(xué)目的 使學(xué)生熟練掌握定積分的換元法和分部積分法 重點與難點 重點與難點 定積分的換元法和分部積分法 教學(xué)方法 教學(xué)方法 誘啟練習式 教教 學(xué)學(xué) 過過 程程 一 換元積分法 1 換元積分法概念 設(shè)函數(shù) f x 在 a b 上連續(xù) 而 x t 滿足以下條件 1 x t 在 23 上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù) 2 a b 且當 t 在 內(nèi)變化時 x t 在 a b 上變 化 并不超出 a b 則有換元公式 t 為偶函數(shù) 為奇函數(shù) b a xf a 0 2 0 上連續(xù) 試證明 a a f x dx a 1 0 2 0 2 b a b a ex 2 uvudv 求例 b a cosxdx vdu xdx 例題 xdx 2 0 b a f x A 所圍成的面積 2 d 積為 fdx t dt 2 注意 換元必須換限 原上限對應(yīng)新上限 原下限對應(yīng)新下限 3 例題 f x f x dx f x a f x 在