(教案)高中數(shù)學拋物線_高考經(jīng)典例題.doc

1拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線2拋物線的圖形和性質(zhì)：頂點是焦點向準線所作垂線段中點。焦準距：通徑：過焦點垂直于軸的弦長為。頂點平分焦點到準線的垂線段：。焦半徑為半徑的圓：以P為圓心、FP為半徑的圓必與準線相切。所有這樣的圓過定點F、準線是公切線。焦半徑為直徑的圓：以焦半徑 FP為直徑的圓必與過頂點垂直于軸的直線相切。所有這樣的圓過定點F、過頂點垂直于軸的直線是公切線。焦點弦為直徑的圓：以焦點弦PQ為直徑的圓必與準線相切。所有這樣的圓的公切線是準線。3拋物線標準方程的四種形式：4拋物線的圖像和性質(zhì)：焦點坐標是：，準線方程是：。焦半徑公式：若點是拋物線上一點，則該點到拋物線的焦點的距離（稱為焦半徑）是：，焦點弦長公式：過焦點弦長拋物線上的動點可設為P或或P5一般情況歸納：方程圖象焦點準線定義特征y2=kxk0時開口向右(k/4,0)x= k/4到焦點(k/4,0)的距離等于到準線x= k/4的距離k0時開口向上(0,k/4)y= k/4到焦點(0,k/4)的距離等于到準線y= k/4的距離k0)求它的焦點坐標和準線方程；(4) 求經(jīng)過P (4，2)點的拋物線的標準方程；分析：這是為掌握拋物線四類標準方程而設計的基礎題，解題時首先分清屬哪類標準型，再錄求P值(注意p0)特別是(3)題，要先化為標準形式：，則(4)題滿足條件的拋物線有向左和向下開口的兩條，因此有兩解答案：(1) ，(2) x2=12y (3) ，；(4) y2=x或x2=8y例4 求滿足下列條件的拋物線的標準方程，并求對應拋物線的準線方程：（1）過點（3，2）；（2）焦點在直線x2y4=0上分析：從方程形式看，求拋物線的標準方程僅需確定一個待定系數(shù)p；從實際分析，一般需確定p和確定開口方向兩個條件，否則，應展開相應的討論解：（1）設所求的拋物線方程為y2=2px或x2=2py（p0），過點（3，2），4=2p（3）或9=2p2p=或p=所求的拋物線方程為y2=x或x2=y，前者的準線方程是x=，后者的準線方程是y=（2）令x=0得y=2，令y=0得x=4，拋物線的焦點為（4，0）或（0，2）當焦點為（4，0）時，=4，p=8，此時拋物線方程y2=16x；焦點為（0，2）時，=2，p=4，此時拋物線方程為x2=8y所求的拋物線的方程為y2=16x或x2=8y，對應的準線方程分別是x=4，y=2常用結論 過拋物線y22px的焦點F的弦AB長的最小值為2p 設A(x1，y)， 1B(x2，y2)是拋物線y22px上的兩點， 則AB過F的充要條件是y1y2p2 設A， B是拋物線y22px上的兩點，O為原點， 則OAOB的充要條件是直線AB恒過定點(2p，0)例5：過拋物線y2=2px (p0)的頂點O作弦OAOB，與拋物線分別交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，求證：y1y2=4p2分析：由OAOB，得到OA、OB斜率之積等于1，從而得到x1、x2，y1、y2之間的關系又A、B是拋物線上的點，故(x1，y1)、(x2，y2)滿足拋物線方程從這幾個關系式可以得到y(tǒng)1、y2的值證：由OAOB，得，即y1y2=x1x2，又，所以：，即 而y1y20所以y1y2=4p2弦的問題例1 A,B是拋物線y2=2px(p0)上的兩點，滿足OAOB(O為坐標原點)求證：(1)A,B兩點的橫坐標之積，縱坐標之積為定值；(2)直線AB經(jīng)過一個定點(3)作OMAB于M，求點M的軌跡方程解：(1)設A(x1,y1), B(x2,y2), 則y12=2px1, y22=2px2, y12y22=4p2x1x2, OAOB, x1x2+y1y2=0,由此即可解得：x1x2=4p2, y1y2=4p2 (定值)(2)直線AB的斜率k=, 直線AB的方程為yy1=(x),即y(y1+y2)y1y2=2px, 由(1)可得 y=(x2p),直線AB過定點C(2p,0)(3)解法1:設M(x,y), 由(2)知y=(x2p) (i),又ABOM, 故兩直線的斜率之積為1, 即= 1 (ii)由(i),(ii)得x22px+y2=0 (x0)解法2: 由OMAB知點M的軌跡是以原點和點(2p,0)為直徑的圓(除去原點) 立即可求出例2 定長為3的線段AB的兩個端點在拋物線y2=x上移動，AB的中點為M，求點M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時點M的坐標解：如圖，設A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 則x=, y=,又設點A，B，M在準線:x=1/4上的射影分別為A/,B/,M/, MM/與y軸的交點為N，則|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|)(|AB|)=等號在直線AB過焦點時成立，此時直線AB的方程為y=k(x)由得16k2x28(k2+2)x+k2=0依題意|AB|=|x1x2|=3,k2=1/2, 此時x=(x1+x2)= y= 即M(,), N(,)例3設一動直線過定點A(2, 0)且與拋物線相交于B、C兩點,點B、C在軸上的射影分別為, P是線段BC上的點,且適合,求的重心Q的軌跡方程,并說明該軌跡是什么圖形解析: 設, 由得 又代入式得 由得 代入式得:由得或, 又由式知關于是減函數(shù)且, 且所以Q點軌跡為一線段(摳去一點): (且)例4 已知拋物線,焦點為F,一直線與拋物線交于A、B兩點,且,且AB的垂直平分線恒過定點S(6, 0) 求拋物線方程; 求面積的最大值解: 設, AB中點 由得 又 得所以 依題意, 拋物線方程為 由及, 令得 又由和得: 例5 定長為3的線段AB的兩個端點在拋物線y2=x上移動，AB的中點為M，求點M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時點M的坐標解：如圖，設A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 則x=, y=,又設點A，B，M在準線:x=1/4上的射影分別為A/,B/,M/, MM/與y軸的交點為N，則|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|)(|AB|)=等號在直線AB過焦點時成立，此時直線AB的方程為y=k(x)由得16k2x28(k2+2)x+k2=0依題意|AB|=|x1x2|=3,k2=1/2, 此時x=(x1+x2)= y= 即M(,), N(,)綜合類(幾何)例1 過拋物線焦點的一條直線與它交于兩點P、Q，通過點P和拋物線頂點的直線交準線于點M，如何證明直線MQ平行于拋物線的對稱軸？解：思路一：求出M、Q的縱坐標并進行比較，如果相等，則MQ/x軸，為此，將方程聯(lián)立，解出直線OP的方程為即令，得M點縱坐標得證由此可見，按這一思路去證，運算較為繁瑣思路二：利用命題“如果過拋物線的焦點的一條直線和這條拋物線相交，兩上交點的縱坐標為、，那么”來證設、，并從及中消去x，得到，則有結論，即又直線OP的方程為， ，得因為在拋物線上，所以從而這一證法運算較小思路三：直線MQ的方程為的充要條件是將直線MO的方程和直線QF的方程聯(lián)立，它的解（x ,y）就是點P的坐標，消去的充要條件是點P在拋物線上，得證這一證法巧用了充要條件來進行逆向思維，運算量也較小說明：本題中過拋物線焦點的直線與x軸垂直時（即斜率不存在），容易證明成立例2 已知過拋物線的焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，點R是含拋物線頂點O的弧AB上一點，求RAB的最大面積分析：求RAB的最大面積，因過焦點且斜率為1的弦長為定值，故可以為三角形的底，只要確定高的最大值即可解：設AB所在的直線方程為將其代入拋物線方程，消去x得當過R的直線l平行于AB且與拋物線相切時，RAB的面積有最大值設直線l方程為代入拋物線方程得由得，這時它到AB的距離為RAB的最大面積為例3 直線過點，與拋物線交于、兩點，P是線段的中點，直線過P和拋物線的焦點F，設直線的斜率為k（1）將直線的斜率與直線的斜率之比表示為k的函數(shù)；（2）求出的定義域及單調(diào)區(qū)間分析：過點P及F，利用兩點的斜率公式，可將的斜率用k表示出來，從而寫出，由函數(shù)的特點求得其定義域及單調(diào)區(qū)間解：（1）設的方程為：，將它代入方程，得設，則將代入得：，即P點坐標為由，知焦點，直線的斜率函數(shù)（2）與拋物線有兩上交點，且解得或函數(shù)的定義域為當時，為增函數(shù)例4 如圖所示：直線l過拋物線的焦點，并且與這拋物線相交于A、B兩點，求證：對于這拋物線的任何給定的一條弦CD，直線l不是CD的垂直平分線分析：本題所要證的命題結論是否定形式，一方面可根據(jù)垂直且平分列方程得矛盾結論；別一方面也可以根據(jù)l上任一點到C、D距離相等來得矛盾結論證法一：假設直線l是拋物線的弦CD的垂直平方線，因為直線l與拋物線交于A、B兩點，所以直線l的斜率存在，且不為零；直線CD的斜率存在，且不為0設C、D的坐標分別為與則l的方程為直線l平分弦CDCD的中點在直線l上，即，化簡得：由知得到矛盾，所以直線l不可能是拋物線的弦CD的垂直平分線證法二：假設直線l是弦CD的垂直平分線焦點F在直線l上，由拋物線定義，到拋物線的準線的距離相等，CD的垂直平分線l：與直線l和拋物線有兩上交點矛盾，下略例5 設過拋物線的頂點O的兩弦OA、OB互相垂直，求拋物線頂點O在AB上射影N的軌跡方程分析：求與拋物線有關的軌跡方程，可先把N看成定點；待求得的關系后再用動點坐標來表示，也可結合幾何知識，通過巧妙替換，簡化運算解法一：設則：，即， 把N點看作定點，則AB所在的直線方程為：顯然代入化簡整理得：， 由、得：，化簡得用x、y分別表示得：解法二：點N在以OA、OB為直徑的兩圓的交點（非原點）的軌跡上，設，則以OA為直徑的圓方程為： 設，OAOB，則在求以OB為直徑的圓方程時以代，可得 由得：例6如圖所示，直線和相交于點M，點，以A、B為端點的曲線段C上的任一點到的距離與到點N的距離相等，若AMN為銳角三角形，且，建立適當?shù)淖鴺讼担笄€段C的方程分析：因為曲線段C上的任一點是以點N為焦點，以為準線的拋物線的一段，所以本題關鍵是建立適當坐標系，確定C所滿足的拋物線方程解：以為x軸，MN的中點為坐標原點O，建立直角坐標系由題意，曲線段C是N為焦點，以為準線的拋物線的一段，其中A、B分別為曲線段的兩端點設曲線段C滿足的拋物線方程為：其中、為A、B的橫坐標令則，由兩點間的距離公式，得方程組：解得或AMN為銳角三角形，則，又B在曲線段C上，則曲線段C的方程為例7如圖所示，設拋物線與圓在x軸上方的交點為A、B，與圓在x由上方的交點為C、D，P為AB中點，Q為CD的中點（1）求（2）求ABQ面積的最大值分析：由于P、Q均為弦AB、CD的中點，故可用韋達定理表示出P、Q兩點坐標，由兩點距離公式即可求出解：（1）設由得：，由得，同類似，則，（2），當時，取最大值例8已知直線過原點，拋物線的頂點在原點，焦點在軸的正半軸上，且點和點關于直線的對稱點都在上，求直線和拋物線的方程分析：設出直線和拋物線的方程，由點、關于直線對稱，求出對稱點的坐標，分別代入拋物線方程或設，利用對稱的幾何性質(zhì)和三角函數(shù)知識求解解法一：設拋物線的方程為，直線的方程為，則有點，點關于直線的對稱點為、，則有解得解得如圖，、在拋物線上兩式相除，消去，整理，得，故，由，得把代入，得直線的方程為，拋物線的方程為解法二：設點、關于的對稱點為、，又設，依題意，有，故，由，知，又，故為第一象限的角、將、的坐標代入拋物線方程，得，即從而，得拋物線的方程為又直線平分，得的傾斜角為直線的方程為說明：(1)本題屬于點關于直線的對稱問題解法一是解對稱點問題的基本方法，它的思路明確，但運算量大，若不仔細、沉著，難于解得正確結果解法二是利用對稱圖形的性質(zhì)來解，它的技巧性較強，一時難于想到(2)本題是用待定系數(shù)法求直線的方程和拋物線方程在已知曲線的類型求曲線方程時，這種方法是最常規(guī)方法，需要重點掌握例9如圖，正方形的邊在直線上，、兩點在拋物線上，求正方形的面積分析：本題考查拋物線的概念及其位置關系，方程和方程組的解法和數(shù)形結合的思想方法，以及分析問題、解決問題的能力解：直線，設的方程為，且、由方程組，消去，得，于是，(其中)由已知，為正方形，可視為平行直線與間的距離，則有，于是得兩邊平方后，整理得，或當時，正方形的面積當時，正方形的面積正方形的面積為18或50說明：運用方程（組）的思想和方法求某些幾何量的值是解析幾何中最基本的、貫穿始終的方法，本題應充分考慮正方形這一條件例10設有一顆彗星圍繞地球沿一拋物線軌道運行，地球恰好位于拋物線軌道的焦點處，當此彗星離地球為時，經(jīng)過地球與彗星的直線與拋物線的軸的夾角為，求這彗星與地球的最短距離分析：利用拋物線有關性質(zhì)求解解：如圖，設彗星軌道方程為，焦點為，彗星位于點處直線的方程為解方程組得，故故，得由于頂點為拋物線上到焦點距離最近的點，所以頂點是拋物線上到焦點距離最近的點焦點到拋物線頂點的距離為，所以彗星與地球的最短距離為或，（點在點的左邊與右邊時，所求距離取不同的值）說明：(1)此題結論有兩個，不要漏解；(2)本題用到拋物線一個重要結論：頂點為拋物線上的點到焦點距離最近的點，其證明如下：設為拋物線上一點，焦點為，準線方程為，依拋物線定義，有，當時，最小，故拋物線上到焦點距離最近的點是拋物線的頂點例11如圖，拋物線頂點在原點，圓的圓心是拋物線的焦點，直線過拋物線的焦點，且斜率為2，直線交拋物線與圓依次為、四點，求的值分析：本題考查拋物線的定義，圓的概念和性質(zhì)，以及分析問題與解決問題的能力，本題的關鍵是把轉化為直線被圓錐曲線所截得的弦長問題解：由圓的方程，即可知，圓心為，半徑為2，又由拋物線焦點為已知圓的圓心，得到拋物線焦點為，設拋物線方程為，為已知圓的直徑，則設、，而、在拋物線上，由已知可知，直線方程為，于是，由方程組消去，得，因此，說明：本題如果分別求與則很麻煩，因此把轉化成是關鍵所在，在求時，又巧妙地運用了拋物線的定義，從而避免了一些繁雜的運算11.已知拋物線y2=2px(p0)，過焦點F的弦的傾斜角為(0),且與拋物線相交于A、B兩點.（1）求證：|AB|=;(2)求|AB|的最小值.（1）證明：如右圖，焦點F的坐標為F（,0）.設過焦點、傾斜角為的直線方程為y=tan（x-）,與拋物線方程聯(lián)立，消去y并整理，得tan2x2-(2p+ptan2)x+=0.此方程的兩根應為交點A、B的橫坐標，根據(jù)韋達定理，有x1+x2=.設A、B到拋物線的準線x=-的距離分別為|AQ|和|BN|，根據(jù)拋物線的定義，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p=.（2）解析：因|AB|=的定義域是00)的一條焦點弦AB被焦點F分成m、n兩部分，求證：為定值，本題若推廣到橢圓、雙曲線，你能得到什么結論？解析：（1）當ABx軸時，m=n=p，=.（2）當AB不垂直于x軸時，設AB:y=k(x-),A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n,m=+x1,n=+x2.將AB方程代入拋物線方程，得k2x2-(k2p+2p)x+=0,=.本題若推廣到橢圓，則有=（e是橢圓的離心率）；若推廣到雙曲線，則要求弦AB與雙曲線交于同一支，此時，同樣有=(e為雙曲線的離心率).13.如右圖，M是拋物線y2=x上的一點，動弦 ME、MF分別交x軸于A、B兩點，且|MA|=|MB|.（1）若M為定點，證明：直線EF的斜率為定值；（2）若M為動點，且EMF=90，求EMF的重心G的軌跡方程.（1）證明：設M（y02,y0），直線ME的斜率為k(k0),則直線MF的斜率為-k，直線ME的方程為y-y0=k(x-y02).由得k