旋轉(zhuǎn)模型專題.docx

旋轉(zhuǎn)模型專題一、等線段共點(diǎn)二、按圖形分類1、等腰三角形， 2、等邊三角形， 3、等腰直角三角形， 4、正方形三、按模型分類1、手拉手模型 2、角含半角模型 3、對(duì)角互補(bǔ)模型 4、與勾股定理結(jié)合 5、費(fèi)馬點(diǎn)問題例題精講1、 手拉手模型1、已知：如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，、是等邊三角形常見結(jié)論：（1）（2）（3）平分（4）是等邊三角形（5）60且保持不變2、如圖，在凸四邊形中，,求證：3、已知，以為邊在外作等腰，其中。如圖，若，四邊形是平行四邊形，則如圖，若，是等邊三角形，求的長；如圖，若為銳角，作于，當(dāng)時(shí)，是否成立？若不成立，請(qǐng)說明你的理由；若成立，證明你的結(jié)論。2、 角含半角模型4、已知：如圖1在中，點(diǎn)、分別為線段上兩動(dòng)點(diǎn)，若探究線段、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系小明的思路是：把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連結(jié)，使問題得到解決請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問題： 猜想、三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對(duì)你的猜想給予證明； 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段上，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在線段延長線上時(shí)，如圖2，其它條件不變，中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？說明你的猜想并給予證明 5、在正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊、上，且45，（1） 將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到，如圖1，求證：；（2） 若直線與、的延長線分別交于點(diǎn)，如圖2，求證：（3） 將正方形改為長與寬不相等的矩形，若其余條件不變，請(qǐng)你直接寫出線段，之間的數(shù)量關(guān)系。 6、在等邊的兩邊，所在直線上分別有兩點(diǎn)M，N，D為外一點(diǎn)，且，探究：當(dāng)點(diǎn)M，N分別愛直線，上移動(dòng)時(shí)，之間的數(shù)量關(guān)系及的周長與等邊的周長L的關(guān)系如圖，當(dāng)點(diǎn)M，N在邊，上，且時(shí)，之間的數(shù)量關(guān)系式；此時(shí)如圖，當(dāng)點(diǎn)M，N在邊，上，且時(shí)，猜想(1)問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；如圖，當(dāng)點(diǎn)M，N分別在邊，的延長線上時(shí)，若，則(用x，L表示) 圖（1） 圖（2） 圖（3）3、 對(duì)角互補(bǔ)類7、已知：，平分在圖1中，若，證明：在圖2中，若，探究、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；在圖3中：若（），則（用含的三角函數(shù)表示,直接寫出結(jié)果，不必證明）8、如圖1，正方形和正方形，是正方形的對(duì)稱中心，交于，交于猜想：與的數(shù)量關(guān)系如圖2，若將原題中的“正方形”改為“菱形”，且，其它條件不變，探索線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并加以證明如圖3，若將原題中的“正方形”改為“矩形”，且，其它條件不變，探索線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由如圖4，若將原題中的“正方形”改為平行四邊形，且，其它條件不變，求出的值（直接寫出答案）四、直角三角形斜邊中點(diǎn)9、在等腰直角中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)從出發(fā)向運(yùn)動(dòng)， 交于點(diǎn)，試說明的形狀和面積將如何變化10、等腰直角三角形，為中點(diǎn)，求的周長11、已知中，90，D為邊的中點(diǎn)，90，繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、（或延長線）于E、F當(dāng)繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到于E時(shí)（如圖1），易證當(dāng)繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立? 若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立， , , 又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明FBCEDA圖1BAECFD圖2圖3EBADFC五、等線段共點(diǎn)12、如圖所示，是等邊內(nèi)部一點(diǎn)，求的邊長.= ,= , 13、為等邊內(nèi)一點(diǎn)，求證：以、為邊可以構(gòu)成一個(gè)三角形，并確定所構(gòu)成的三角形的各內(nèi)角的度數(shù).14、如圖，P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，1，2，3，將繞著D點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置（1）求的度數(shù)。 (2)求正方形的邊長六、費(fèi)馬點(diǎn)問題15、閱讀下列材料對(duì)于任意的，若三角形內(nèi)或三角形上有一點(diǎn)，若有最小值，則取到最小值時(shí)，點(diǎn)為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。若三角形內(nèi)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于，這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)若三角形內(nèi)角均小于，則滿足條件時(shí)，點(diǎn)既為費(fèi)馬點(diǎn)解決問題：如圖，中，三個(gè)內(nèi)角均小于，分別以、為邊向外作等邊、，連接、交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)。(即證明)且如圖，點(diǎn)為三角形內(nèi)部異于點(diǎn)的一點(diǎn)，證明：若，直接寫出的最小值16、如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對(duì)角線上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、求證：當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的值最小；當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的值最小，并說明理由；當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，求正方形的邊長17、閱讀下列材料： 小華遇到這樣一個(gè)問題，如圖1, 中，30，6，5，在內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接、，求的最小值圖2圖3圖1 小華是這樣思考的：要解決這個(gè)問題，首先應(yīng)想辦法將這三條端點(diǎn)重合于一點(diǎn)的線段分離，然后再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn)，這樣依據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，就可以求出這三條線段和的最小值了他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決這個(gè)問題他的做法是，如圖2，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，得到，連接、，則的長即為所求（1）請(qǐng)你寫出圖2中，的最小值為 ；（2）參考小華的思考問題的方法，解決下列問題： 如圖3，菱形中，60，在菱形內(nèi)部有一點(diǎn)P，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出并指明長度等于最小值的線段（保留畫圖痕跡，畫出一條即可）；若中菱形的邊長為4，請(qǐng)直接寫出當(dāng)值最小時(shí)的長七、最值問題18、已知：，以為一邊作正方形，使、兩點(diǎn)落在直線的兩側(cè).如圖，當(dāng)時(shí)，求及的長；當(dāng)變化，且其它條件不變時(shí)，求的最大值及相應(yīng)的大小.19、如圖，已知是等腰直角三角形，=90，點(diǎn)是的中點(diǎn)作正方形，使點(diǎn)、分別在和上，連接、試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你得到的結(jié)論將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后（旋轉(zhuǎn)角度大于，小于或等于360），如圖，通過觀察或測(cè)量等方法判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由若，在的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)為最大值時(shí)，求的值八、綜合應(yīng)用20、已知：在中，在中，連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)和 若點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上且與點(diǎn)不重合，如圖，探索、的關(guān)系并給予證明； 如果將圖中的繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)小于的角，如圖，那么中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請(qǐng)舉出反例；如果成立，請(qǐng)給予證明21、已知：如圖，與