高中競賽之重要不等式.doc

高中競賽之重要不等式1柯西不等式（給了兩列數(shù)，或一列數(shù)，有平方和和平方）定理1 對(duì)任意實(shí)數(shù)組恒有不等式“積和方不大于方和積”，即等式當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)成立。本不等式稱為柯西不等式。證不等式最基本的方法是作差比較法，柯西不等式的證明也可首選此法。證明1 左=右-左=當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等式成立?？挛鞑坏仁降膬蓚€(gè)推論：設(shè) 同號(hào)（ ），則 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)。若 ，且 ，則 （分母作和）由柯西不等式可以證下面的不等式。3次可以推廣為4、5等n次。證明:對(duì)和分別用柯西不等式,可得到兩個(gè)不等式,將這兩個(gè)不等式相乘,再用一次柯西不等式即可證明原不等式.柯西不等式的推廣：閔可夫斯基不等式設(shè) ， ， ； ， ， 是兩組正數(shù)，且 ，則 （ ） （ ）當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立。閔可夫斯基不等式是用某種長度度量下的三角形不等式，當(dāng) 時(shí)得平面上的三角形不等式： 右圖給出了對(duì)上式的一個(gè)直觀理解。若記 ， ，則上式為 特例：多個(gè)根式可轉(zhuǎn)化為一個(gè)根式。赫爾德不等式已知 （ ）是 個(gè)正實(shí)數(shù)， ，則 上式中若令 ， ， ，則此赫爾德不等式即為柯西不等式。2排序不等式，排序原理（給的是兩列數(shù)且為對(duì)稱的）設(shè)，則有即“反序和”“亂序和”“同序和”其中當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立切比雪夫不等式實(shí)數(shù)，滿足，（，）則當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立下面給出一個(gè) 時(shí)的契比雪夫不等式的直觀理解。 如圖，矩形OPAQ中， ， ，顯然陰影部分的矩形的面積之和不小于空白部分的矩形的面積之和，（這可沿圖中線段MN向上翻折比較即知）。于是有 ，也即 3 琴生不等式凸函數(shù)定義 1設(shè)是定義在閉區(qū)間上的函數(shù)，若對(duì)任意，和任意，有成立，則稱是上的凸函數(shù)（也稱下凸函數(shù)或凹函數(shù)） 2設(shè)是定義在上的函數(shù)，若對(duì)任意，且和任意，有成立，則稱是上的嚴(yán)格凸函數(shù) 3設(shè)是定義在上的函數(shù)，若對(duì)任意，和任意，有成立，則稱是上的上凸函數(shù)凸函數(shù)的定義表明了，上(下)凸函數(shù)的兩個(gè)自變量的算術(shù)平均值處的函數(shù)值不小(大)于其函數(shù)值的算術(shù)平均值從圖象上看，表明聯(lián)結(jié)上(下)凸函數(shù)圖形上任何兩點(diǎn)的弦的中點(diǎn)恒位于圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)之下(上)見圖1 圖1注意到在定義中，凸函數(shù)的條件是對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1和x2都成立，不難看出，這實(shí)際上就保證了函數(shù)在整個(gè)區(qū)間的凸性即上凸函數(shù)圖象上的任一段弧都在所對(duì)應(yīng)的弦的上方；下凸函數(shù)圖象上的任一段弧都在所對(duì)應(yīng)的弦的下方并且由此形成的弓形是凸的區(qū)域正因?yàn)檫@種函數(shù)的圖象具有這種特點(diǎn)，所以我們才把它形象地名之曰：凸函數(shù)在初等數(shù)學(xué)里，關(guān)于函數(shù)的凸性，可根據(jù)圖象來判斷例如，讀者不難根據(jù)圖象可以得出：冪函數(shù)y=xa當(dāng)a1或a0時(shí)，是(0，)上的下凸函數(shù)；當(dāng)0a1時(shí)，是(0，)上的上凸函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a0，a1)是(-，)上的下凸函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logcx(a1)當(dāng)a 1時(shí)，是(0，) 上的上凸函數(shù)；當(dāng)0a1時(shí)，是(0，)上的下凸函數(shù)三角函數(shù)y=sinx是0，上的上凸函數(shù)，是，2上的下凸函上述函數(shù)的凸性；也可以根據(jù)定義用初等方法來證明學(xué)過微分學(xué)的讀者還可以根據(jù)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷函數(shù)的凸性即，若函數(shù)f(x)對(duì)在定義域(a，b)內(nèi)的所有x恒有0，則f(x)是(a，b)上的上凸函數(shù)；如果恒有0， 則f(x)是(a， b)上的下凸函數(shù)琴生Jensen）不等式（變量做和）若是區(qū)間上的凸函數(shù)，則對(duì)任意，有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立當(dāng)為上凸函數(shù)時(shí)，不等式反向琴生Jensen）不等式推論，即加權(quán)琴生不等式若是區(qū)間上的凸函數(shù)，則對(duì)任意，和對(duì)任意滿足的正數(shù)，有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立若令qi=pi(p1pn)，其中p1，pn是任意正數(shù)則琴生不等式(2)變成：在(2)或(3)式中，f(x)取不同的凸函數(shù)，便得不同的不等式例1 令f(x)=xk，x0，k1，則f(x)是R+上的凸函數(shù)，因此有例2 令f(x)=lgx，x0，則f(x)是R+上的凹函數(shù)，故有取反對(duì)數(shù)，得此即加權(quán)平均不等式1設(shè)全是正數(shù)，且（，），且，求證：（1）；（2）證明：不妨設(shè)，于是，由切比雪夫不等式得（*）又由均值不等式知又，所以，而，代入（*）后整理可得（1）成立另一方面，由切比雪夫不等式得（*）由均值不等式：，故又，代入（*）整理后可得（2）成立 2有十人各拿一只水桶去打水，如果水龍頭灌滿第個(gè)人的水桶需要分鐘，且這些（，）各不相等，試問：（1）只有一只水龍頭供水時(shí)，應(yīng)如何安排這十個(gè)人打水的次序，使他們花費(fèi)的總時(shí)間最少？這個(gè)最少的總時(shí)間是多少？（2）若有兩個(gè)相同的水龍頭供水時(shí)，應(yīng)如何安排這十個(gè)人的次序，使他們花費(fèi)的總時(shí)間最少？這個(gè)最少的總時(shí)間是多少？解：（1）設(shè)安某次序打水時(shí)水龍頭灌滿第個(gè)人的水桶需要分鐘，則第一人花費(fèi)的時(shí)間為分鐘，第二人花費(fèi)的時(shí)間為分鐘，第十人花費(fèi)的時(shí)間為分鐘總的花費(fèi)時(shí)間為其中，序列，是，的一個(gè)排列由題設(shè)各各不相同，不妨設(shè)，則由排序原理知即安任意一個(gè)次序打水花費(fèi)的總時(shí)間不小于安如下順序打水的時(shí)間：先安打水所需時(shí)間從小到大依次排隊(duì)，然后逐個(gè)打水即此時(shí)花費(fèi)時(shí)間最省，總花費(fèi)的時(shí)間為（）分鐘（2）如果有兩個(gè)水龍頭，設(shè)總時(shí)間最少時(shí)有個(gè)人在第一個(gè)水龍頭打水，設(shè)依次所需時(shí)間為，；有個(gè)人在第二個(gè)水龍頭打水，依次所需時(shí)間設(shè)為，顯然必有一個(gè)水龍頭的打水人數(shù)不少于人，不妨設(shè)為第一個(gè)水龍頭，也不可能有一個(gè)水龍頭沒人去打水，則由（1）知：，總花費(fèi)的時(shí)間為：其中，首先我們來證明若不然，我們讓在第一個(gè)水龍頭打水的第一人到第二個(gè)水龍頭的第一位去，則總花費(fèi)的時(shí)間變?yōu)椋杭串?dāng)時(shí)，我們讓第一水龍頭的第一人到第二水龍頭去后，總時(shí)間減少故在時(shí)，總時(shí)間可能取得最小值由于，故兩個(gè)水龍頭人一樣多總用時(shí)為：由于，不妨設(shè)下證否則我們交換用時(shí)為，的兩人的位置后，總用時(shí)變?yōu)?，即?jīng)交換后總時(shí)間變少故也即類似地我們可以證明：（，），從而最省時(shí)的打水順序?yàn)椋核堫^一：，；水龍頭二：，其中： 3在中，求證下列各不等式：（1）；（2），其中且證明：（1）考查正弦函數(shù)，在為上凸函數(shù)，故即（2）考查函數(shù)，在上是凸函數(shù) 6設(shè)，證明：證明：考查函數(shù)（），其二階導(dǎo)數(shù)，故其為凸函數(shù)所以，即 7對(duì)正數(shù)，若或，則；若，則證明：考查函數(shù)（）其二階導(dǎo)數(shù)當(dāng)或時(shí)，故函數(shù)（）為凸函數(shù)；當(dāng)時(shí)，故函數(shù)（）為上凸函數(shù)以下由琴生不等式立得 8已知正實(shí)數(shù)（，）滿足求證：證明：考查函數(shù)，因，故該函數(shù)為凸函數(shù)而（，），所以（）去掉對(duì)數(shù)符號(hào)立得 4設(shè)，實(shí)數(shù)，都不為零，且則（1）若，同號(hào)，則；（2）若，異號(hào)，則證明：當(dāng)，同號(hào)時(shí)，兩者都是正數(shù)，由不等式單調(diào)性得，由切比雪夫不等式得（1）成立；當(dāng)，異號(hào)時(shí)，假設(shè)，由不等式單調(diào)性得，由切比雪夫不等式得（2）成立； 5設(shè)、為某一三角形三邊長，求證：證明：不妨設(shè)，易證由排序原理得6設(shè)，求證：其中，是，的任意一個(gè)排列證明：要證，只要證只要證由題設(shè)及排序原理上式顯然成立7在中求證：（1）；（2）；證明：（1）考查函數(shù)，其在上為凸函數(shù)；（2）考查函數(shù)，在上是凸函數(shù)證明如下：即證證畢 8設(shè)，那么（1）；（2）證明：（1）考查函數(shù)，其在上為凸函數(shù)（2）考查函數(shù)，其在上為凸函數(shù)證明如下：令，則將上述不等式兩端取自然對(duì)數(shù)，得，即故函數(shù)在上為凸函數(shù)由琴生不等式故4平均值不等式設(shè)，對(duì)于，則其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。以下為閱讀材料5貝努利不等式（1）設(shè) ，且同號(hào)，則 （2）設(shè) ，則（）當(dāng) 時(shí)，有 ；（）當(dāng) 或 時(shí)，有 ，上兩