數(shù)列復(fù)習總結(jié)(通項公式、求和方法).doc

數(shù)列復(fù)習總結(jié)一、基礎(chǔ)知識：數(shù)列數(shù)列的定義數(shù)列的有關(guān)概念數(shù)列的通項數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系項項數(shù)通項等差數(shù)列等差數(shù)列的定義等差數(shù)列的通項等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的前n項和等比數(shù)列等比數(shù)列的定義等比數(shù)列的通項等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列的前n項和數(shù)列： 1數(shù)列、項的概念：按一定 次序 排列的一列數(shù)，叫做 數(shù)列 ，其中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項 2數(shù)列的項的性質(zhì)： 有序性 ； 確定性 ； 可重復(fù)性 3數(shù)列的表示：通常用字母加右下角標表示數(shù)列的項，其中右下角標表示項的位置序號，因此數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，an，（），簡記作 an 其中an是該數(shù)列的第 n 項，列表法、 圖象法、 符號法、 列舉法、 解析法、 公式法（通項公式、遞推公式、求和公式）都是表示數(shù)列的方法 4數(shù)列的一般性質(zhì)：單調(diào)性 ；周期性 5數(shù)列的分類：按項的數(shù)量分： 有窮數(shù)列 、 無窮數(shù)列 ；按相鄰項的大小關(guān)系分：遞增數(shù)列 、遞減數(shù)列 、常數(shù)列、擺動數(shù)列 、其他；按項的變化規(guī)律分：等差數(shù)列、等比數(shù)列、其他；按項的變化范圍分：有界數(shù)列、無界數(shù)列 6數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列an的第n項an與它的序號n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個公式a=f（n）（nN+或其有限子集1，2，3，n） 來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的 通項公式 數(shù)列的項是指數(shù)列中一個確定的數(shù)，是函數(shù)值，而序號是指數(shù)列中項的位置，是自變量的值由通項公式可知數(shù)列的圖象是 散點圖 ，點的橫坐標是 項的序號值 ，縱坐標是 各項的值 不是所有的數(shù)列都有通項公式，數(shù)列的通項公式在形式上未必唯一 7數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列an的第一項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an-1（或前幾項an-1，an-2，）間關(guān)系可以用一個公式 an=f（a）（n=2，3，） （或 an=f（a,a）(n=3，4，5，)，）來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的 遞推公式 8數(shù)列的求和公式：設(shè)Sn表示數(shù)列an和前n項和，即Sn=a1+a2+an，如果Sn與項數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個公式 Sn= f（n）（n=1，2，3，） 來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的 求和公式 9通項公式與求和公式的關(guān)系：通項公式an與求和公式Sn的關(guān)系可表示為：等差數(shù)列與等比數(shù)列：等差數(shù)列等比數(shù)列文字定義一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差是同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫等差數(shù)列的公差。一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比是同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等比數(shù)列，這個常數(shù)叫等比數(shù)列的公比。符號定義分類遞增數(shù)列：遞減數(shù)列：常數(shù)數(shù)列：遞增數(shù)列：遞減數(shù)列：擺動數(shù)列：常數(shù)數(shù)列：通項其中（）前n項和其中中項主要性質(zhì)等和性：等差數(shù)列若則推論：若則即：首尾顛倒相加，則和相等等積性：等比數(shù)列若則推論：若則即：首尾顛倒相乘，則積相等其它性質(zhì)1、等差數(shù)列中連續(xù)項的和，組成的新數(shù)列是等差數(shù)列。即：等差，公差為則有2、從等差數(shù)列中抽取等距離的項組成的數(shù)列是一個等差數(shù)列。如：（下標成等差數(shù)列）3、等差，則，也等差。4、等差數(shù)列的通項公式是的一次函數(shù)，即：() 等差數(shù)列的前項和公式是一個沒有常數(shù)項的的二次函數(shù)，即：()5、項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列有：項數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列有：，6、則則則1、等比數(shù)列中連續(xù)項的和，組成的新數(shù)列是等比數(shù)列。即：等比，公比為。 2、從等比數(shù)列中抽取等距離的項組成的數(shù)列是一個等比數(shù)列。如：（下標成等差數(shù)列）3、等比，則，也等比。其中4、等比數(shù)列的通項公式類似于的指數(shù)函數(shù)，即：，其中等比數(shù)列的前項和公式是一個平移加振幅的的指數(shù)函數(shù)，即：5、等比數(shù)列中連續(xù)相同項數(shù)的積組成的新數(shù)列是等比數(shù)列。證明方法證明一個數(shù)列為等差數(shù)列的方法：1、定義法：2、中項法：3.、通項公式：4、前n項和 ：證明一個數(shù)列為等比數(shù)列的方法：1、定義法：2、中項法：設(shè)元技巧三數(shù)等差：四數(shù)等差：三數(shù)等比：四數(shù)等比：聯(lián)系1、若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，其中是常數(shù)，是的公差。2、若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，其中是常數(shù)且，是的公比。2 考點分析 數(shù)列是高考熱點內(nèi)容，考查主要為等差，等比數(shù)列的基本性質(zhì)、數(shù)列的通項公式的求法、數(shù)列前n 項和的求法，其中數(shù)列的通項公式的求法基礎(chǔ)，在復(fù)習過程中注意等差、等比數(shù)列定義及性質(zhì)要復(fù)習扎實，常用的通項公式的求法是重點，難點。在復(fù)習過程中一定要學生注意課后鞏固。等差與等比數(shù)列例1：等差數(shù)列an中，a4=10,且a3,a6,a10成等比數(shù)列.求數(shù)列an前20項的和S20.練習：1.已知等差數(shù)列 an 中， 求an的前n項和 .2.已知an為等差數(shù)列，a3+a8=22,a6=7,求a5;3.等差數(shù)列an的前m項和為30,前2m項和為100,求它的前3m項的和4.等差數(shù)列an、bn的前n項和分別是Sn、Tn,且 求等差數(shù)列前項和的最值問題：1、若等差數(shù)列的首項，公差，則前項和有最大值。（）若已知通項，則最大；（）若已知，則當取最靠近的非零自然數(shù)時最大；2、若等差數(shù)列的首項，公差，則前項和有最小值（）若已知通項，則最?。唬ǎ┤粢阎?，則當取最靠近的非零自然數(shù)時最??；例2.在等差數(shù)列an中，已知a1=20,前n項和為Sn,且S10=S15,求當n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值數(shù)列通項的求法：公式法：等差數(shù)列通項公式；等比數(shù)列通項公式。作差、商法：已知（即）求，用作差法：。已知求，用作商法：。已知條件中既有還有，有時先求，再求；有時也可直接求。累加法若求用累加法：。累乘法已知求，用累乘法：。構(gòu)造法已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。特別地，（1）形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后，再求；形如的遞推數(shù)列都可以除以得到一個等差數(shù)列后，再求。（2）形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。（3）形如的遞推數(shù)列都可以用對數(shù)法求通項。（7）（理科）數(shù)學歸納法。（8）當遇到時，分奇數(shù)項偶數(shù)項討論，結(jié)果可能是分段形式。數(shù)列求和的常用方法：（1）公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式。（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和。 （3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.（4）錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.（5）裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：； ；，； ；二、解題方法：求數(shù)列通項公式的常用方法：1、 公式法等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項和為，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式解：設(shè)數(shù)列公差為成等比數(shù)列，即，得，由得：，注：利用定義法求數(shù)列通項時要注意不用錯定義，設(shè)法求出首項與公差（公比）后再寫出通項。2、已知前n項和，求通項公式例1. 已知數(shù)列的前n項和為，求數(shù)列的通項公式解：（1）當n=1時， （2）當時，注：一般的利用公式 求，特別要注意是否合適練習：1.設(shè)正數(shù)數(shù)列的前n項和，求數(shù)列的通項公式 2.已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足 (1)求證: 是等差數(shù)列； （2）求an的表達式. 3、求差（商）法 解： 練習 4、累乘法 解： 注：若數(shù)列滿足，且可求和，累乘法是反復(fù)利用遞推關(guān)系得到n1個式子累乘求出通項，這種方法最終轉(zhuǎn)化為求f(n)的前n1項的積，要注意求積的技巧 5、累加法 練習 注：求形如（f(n)為等差或等比數(shù)列或其它可求和的數(shù)列）的數(shù)列通項，可用累加法，即令n=2，3，n1得到n1個式子累加求得通項，累加法是反復(fù)利用遞推關(guān)系得到n1個式子累加求出通項，這種方法最終轉(zhuǎn)化為求f(n)的前n1項的和，要注意求和的技巧 6、等比型遞推公式 例：已知數(shù)列an滿足a1=1，且an+1 =+2，求解：設(shè)，則，為等比數(shù)列， ，練習 注：求遞推式如（p、q為常數(shù)）的數(shù)列通項，可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)列求解，相當如換元法。求遞推式形如（p、q為常數(shù)）的數(shù)列通項，可用迭代法或待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列an+1+=p(an+)來求得,也可用“歸納猜想證明”法來求，這也是近年高考考得很多的一種題型例： 已知數(shù)列滿足求an解：將兩邊同除，得，變形為設(shè)，則令，得條件可化成，數(shù)列為首項，為公差的等比數(shù)列因，所以=得=點評：遞推式為（p、q為常數(shù)）時，可同除，得，令從而化歸為（p、q為常數(shù)）型例：已知數(shù)列滿足求an解：設(shè)展開后，得由，解得，條件可以化為得數(shù)列為首項，為公差的等比數(shù)列，問題轉(zhuǎn)化為利用累加法求數(shù)列的通項的問題，解得注：遞推式為（p、q為常數(shù)）時，可以設(shè)，其待定常數(shù)s、t由求出，從而化歸為上述已知題型 7、倒數(shù)法 注：本題借助為等差數(shù)列得到了的通項公式