2019-2020學(xué)年贛州市尋烏中學(xué)高二上學(xué)期第二次段考數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2019-2020學(xué)年江西省贛州市尋烏中學(xué)高二上學(xué)期第二次段考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1從已經(jīng)編號(hào)的名學(xué)生中抽取20人進(jìn)行調(diào)查，采用系統(tǒng)抽樣法若第1組抽取的號(hào)碼是2，則第10組抽取的號(hào)碼是A74B83C92D96【答案】B【解析】求出樣本間隔，結(jié)合系統(tǒng)抽樣的定義進(jìn)行求解即可【詳解】樣本間隔為，第10組抽取的號(hào)碼是，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用，求出樣本間隔是解決本題的關(guān)鍵2已知（，-1，3），（，4，-2），（，3，），若、三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（ ）A1B2C3D4【答案】A【解析】由向量、共面得出=x+y，列方程組可求得的值【詳解】解：向量、共面，則=x+y，其中x，yR；則（1，3，）=（2x，-x，3x）+（-y，4y，-2y）=（2x-y，-x+4y，3x-2y），解得x=1，y=1，=1故選A【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示與共面定理的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題3盒子中有若干個(gè)紅球和黃球，已知從盒中取出2個(gè)球都是紅球的概率為，從盒中取出2個(gè)球都是黃球的概率是，則從盒中任意取出2個(gè)球恰好是同一顏色的概率是（ ）ABCD【答案】A【解析】根據(jù)和事件的概率求解即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)“從中取出個(gè)球都是紅球”為事件；“從中取出個(gè)球都是黃球”為事件；“任意取出個(gè)球恰好是同一顏色”為事件則，且事件與互斥即任意取出個(gè)球恰好是同一顏色的概率為本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查和事件概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.4已知變量與線性相關(guān)，由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本的平均數(shù)，線性回歸方程中的系數(shù)，滿(mǎn)足，則線性回歸方程為（ ）ABCD【答案】D【解析】由最小二乘法原理可知樣本平均數(shù)在線性回歸方程上，將代入回歸方程，聯(lián)立方程組求出，的值，即可得出線性回歸方程.【詳解】解：同歸直線過(guò)，又解得，線性回歸方程為.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程.其中回歸直線經(jīng)過(guò)樣本中心是解題的關(guān)鍵.5關(guān)于直線m、n及平面、，下列命題中正確的是（ ）A若,則B若,則C若,則D若,則【答案】A【解析】由空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系逐一核對(duì)四個(gè)命題即可得到答案【詳解】解：A.正確,若m,則內(nèi)存在直線l使得lm,又m,故l,又l,故；B錯(cuò)誤,若m且n,則m與n可能平行,可能相交也可能異面；C錯(cuò)誤,若m,mn時(shí),則n或n或n；D錯(cuò)誤,若m,=n,則mn或異面故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了線線、線面平行和垂直關(guān)系的判斷,熟練掌握線面平行、垂直的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵6下列有關(guān)命題的說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）A若為假命題,則p、q均為假命題B“”是“”的充分不必要條件C命題“若,則“的逆否命題為：“若,則”D對(duì)于命題p：,使得,則：,均有【答案】A【解析】根據(jù)命題的真假,充分與必要條件的關(guān)系以及命題之間的關(guān)系,特稱(chēng)命題的否定為全稱(chēng)命題等逐一判斷即可.【詳解】本選擇題可以逐一判斷,顯然對(duì)于A選項(xiàng)為假命題可知p、q一假一真或者均為假命題,因此A的結(jié)論錯(cuò)誤,選擇A項(xiàng)即可對(duì)于B項(xiàng),可得,反之無(wú)法推出,所以“”是“”的充分不必要條件.對(duì)于C項(xiàng)條件,結(jié)論否定且互換,正確.特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題 ,可知D判斷正確故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假判斷問(wèn)題,充要條件,命題的否定,全稱(chēng)命題以及特稱(chēng)命題的概念7已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)A1BC或1D2或1【答案】D【解析】根據(jù)題意討論直線它在兩坐標(biāo)軸上的截距為0和在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的值，即可得到答案【詳解】由題意，當(dāng)，即時(shí)，直線化為，此時(shí)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0，滿(mǎn)足題意；當(dāng)，即時(shí)，直線化為，由直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，可得，解得；綜上所述，實(shí)數(shù)或故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線方程的應(yīng)用，以及直線在坐標(biāo)軸上的截距的應(yīng)用，其中解答中熟記直線在坐標(biāo)軸上的截距定義，合理分類(lèi)討論求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是（）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)三視圖知幾何體是底面為正方形的長(zhǎng)方體，中間挖去一個(gè)圓錐體剩余部分，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求得該幾何體的表面積【詳解】解：根據(jù)三視圖知幾何體是底面為正方形的長(zhǎng)方體，中間挖去一個(gè)圓錐體剩余部分，如圖所示；則該幾何體的表面積是S=222+42-12+1=8+8+故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖想象出直觀圖，以及空間想象力，識(shí)圖能力及計(jì)算能力9若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為，則記為，例如. 下面程序框圖的算法源于我國(guó)南北朝時(shí)期聞名中外的中國(guó)剩余定理，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的值等于（ ）A29B30C31D32【答案】D【解析】由題中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.【詳解】由題中的程序框圖可知：該程序框圖功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出同時(shí)滿(mǎn)足條件：被除余，被除余，所以應(yīng)該滿(mǎn)足是的倍數(shù)多，并且是比大的最小的數(shù)，故輸出的為，故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)程序框圖的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，讀取程序框圖的輸出數(shù)據(jù)，屬于簡(jiǎn)單題目.10如圖圓錐的高，底面直徑是圓上一點(diǎn)，且，則與所成角的余弦值為（）ABCD【答案】A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積即可求得與夾角的余弦值?！驹斀狻拷⑷鐖D所示的空間直角坐標(biāo)系得：，設(shè)的夾角為， 又 則 因?yàn)榧碨A與BC所成角的余弦值為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算及利用空間向量求異面直線的夾角，屬中檔題11過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)兩切點(diǎn)分別為、，則直線的方程為（）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)題意，由切線長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得以為圓心，為半徑為圓，則為兩圓的公共弦所在的直線，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程，計(jì)算可得答案【詳解】根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)兩切點(diǎn)分別為、，則，則以為圓心，為半徑為圓為，即圓，為兩圓的公共弦所在的直線，則有，作差變形可得：；即直線的方程為，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的切線方程，圓與圓的公共弦所在直線方程的求解，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.12在三棱錐中，平面平面，若球是三棱錐的外接球，則球的半徑為（ ）ABCD【答案】A【解析】取AB中點(diǎn)D，AC中點(diǎn)E，連PD，ED，得E為外接圓的圓心，且OE平面，然后求出的外接圓半徑和球心到平面的距離等于，由勾股定理得，即可得出答案.【詳解】解：取AB中點(diǎn)D，AC中點(diǎn)E，連PD，ED因?yàn)?，所以E為外接圓的圓心因?yàn)镺EPD，OE不包含于平面，所以O(shè)E平面因?yàn)槠矫嫫矫?，得PDAB，EDAB所以PD平面，ED平面且，所以球心到平面的距離等于在中，所以，所以得外接圓半徑，即由勾股定理可得球的半徑故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問(wèn)題，經(jīng)常用球中勾股定理解題，其中是外接球半徑，是球心到截面距離，是截面外接圓半徑.二、填空題13若直線l的方向向量為=(1,-2,3),平面的法向量為=(2,x,0),若l,則x的值等于_.【答案】1【解析】根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量平行建立方程，即可求出x的值?！驹斀狻坑蒷可知，即2-2x=0，所以x=1?！军c(diǎn)睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示，比較基礎(chǔ)，也較簡(jiǎn)單。14歐陽(yáng)修在賣(mài)油翁中寫(xiě)到：“（翁）乃取一葫蘆置于地，以錢(qián)覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢(qián)孔入，而錢(qián)不濕”，可見(jiàn)賣(mài)油翁的技藝之高超，若銅錢(qián)直徑4厘米，中間有邊長(zhǎng)為1厘米的正方形小孔，隨機(jī)向銅錢(qián)上滴一滴油（油滴大小忽略不計(jì)），則油恰好落入孔中的概率是_【答案】.【解析】分析：根據(jù)幾何概型的概率公式解答即可.詳解：由幾何概型的概率公式得所以油恰好落入孔中的概率是.故答案為：.點(diǎn)睛：本題主要考查幾何概型的概率公式，意在考查概率的基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力及基本的運(yùn)算能力. 15過(guò)點(diǎn)的直線l與圓C：（x1）2+y24交于A、B兩點(diǎn)，C為圓心，當(dāng)ACB最小時(shí)，直線l的方程為_(kāi)【答案】2x4y+30【解析】要ACB最小則分析可得圓心C到直線l的距離最大,此時(shí)直線l與直線垂直,即可算出的斜率求得直線l的方程.【詳解】由題得,當(dāng)ACB最小時(shí),直線l與直線垂直,此時(shí) ,又,故,又直線l過(guò)點(diǎn),所以,即 .故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系,過(guò)定點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)求最值的問(wèn)題一般為圓心到定點(diǎn)與直線垂直時(shí)取得最值.同時(shí)也考查了線線垂直時(shí)斜率之積為-1,以及用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程的方法.16已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱AB，的中點(diǎn)，下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是_.過(guò)E，F(xiàn)，G三點(diǎn)作正方體的截面，所得截面為正六邊形；平面EFG；平面；異面直線EF與所成角的正切值為；四面體的體積等于.【答案】【解析】根據(jù)公理3,作截面可知正確;根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系可知不正確;根據(jù)線面垂直的判定定理可知正確;根據(jù)空間向量夾角的坐標(biāo)公式可知正確;用正方體體積減去四個(gè)正三棱錐的體積可知不正確.【詳解】延長(zhǎng)EF分別與，的延長(zhǎng)線交于N，Q，連接GN交于H，設(shè)HG與的延長(zhǎng)線交于P，連接PQ交于，交BC于M，連FH，HG，GI，IM，ME,如圖:則截面六邊形EFHGIM為正六邊形，故正確：因?yàn)榕cHG相交，故與平面EFG相交，所以不正確：(三垂線定理)，(三垂線定理)，且AC與相交，所以平面，故正確；以為原點(diǎn),分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,則,所以,所以,所以,所以異面直線EF與的夾角的正切值為，故正確；因?yàn)樗拿骟w的體積等于正方體的體積減去四個(gè)正三棱錐的體積，即為，故不正確故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了公理3,直線與平面的位置關(guān),直線與平面垂直的判定,空間向量求異面直線所成角,三棱錐的體積計(jì)算,屬于中檔題.三、解答題17已知，其中（1）若，且為真，求的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)為真，可先對(duì)命題進(jìn)行化簡(jiǎn)，求得對(duì)應(yīng)數(shù)的取值范圍是，對(duì)命題，當(dāng)時(shí)，求得的取值范圍是，再求二者交集即可（2）“是的充分不必要條件”等價(jià)于“是的充分不必要條件”，可轉(zhuǎn)化為，再進(jìn)行求解【詳解】（1），為真命題時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是，所以同理為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是又為真，則同時(shí)為真命題，即的取值范圍的交集，為即時(shí)，且為真，的取值范圍是（2）因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，即是的充分不必要條件，即又命題為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是，所以，解得故實(shí)數(shù)m的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)命題真假求解自變量取值范圍，由集合的包含關(guān)系求解參數(shù)取值，原命題和逆否命題同真同假可幫助我們簡(jiǎn)化運(yùn)算，是中檔題型18已知點(diǎn)，圓.（1）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程；（2）若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且弦的長(zhǎng)為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）考慮切線的斜率是否存在，結(jié)合直線與圓相切的的條件d=r，直接求解圓的切線方程即可（2）利用圓的圓心距、半徑及半弦長(zhǎng)的關(guān)系，列出方程，求解a即可【詳解】（1）由圓的方程得到圓心，半徑.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線與圓顯然相切；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線方程為，即，由題意得：，解得， 方程為，即.故過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為或.（2） 弦長(zhǎng)為，半徑為2.圓心到直線的距離，解得.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查切線方程的求法，考查了垂徑定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力19如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，DAB=DBF=60，且FA=FC，AB=2，AC與BD交于點(diǎn)O.(1)求證:FO平面ABCD；(2)求AF與平面BFC所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）證明線面垂直，需證明FO垂直于平面ABCD內(nèi)兩條相交直線，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，可以發(fā)現(xiàn)應(yīng)該尋找AC和BD；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求解，直線與平面所成角的正弦值等于直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值.【詳解】（1）證明：連接FO、FD，F(xiàn)AFC，F(xiàn)OAC，四邊形BDEF為菱形，且DBF60，DBF為等邊三角形，O為BD中點(diǎn)FOBD，又O為AC中點(diǎn)，且FAFC，ACFO，又ACBDO，F(xiàn)O平面ABCD， （2）由OA，OB，OF兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，DAB60，則BD2，所以O(shè)B1，所以 所以 ， 設(shè)平面BFC的法向量為，則有，所以，取x1，得 所以 則【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中線面垂直的證明和求線面角，向量作為一個(gè)重要的工具，在立體幾何中作用巨大，直線與平面所成角的正弦值等于直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值，在平常學(xué)習(xí)中需要積累和理清向量法解決立體幾何的常用公式結(jié)論，避免用錯(cuò).20十九大提出：堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，做到精準(zhǔn)扶貧，我省某幫扶單位為幫助定點(diǎn)扶貧村真正脫貧，堅(jiān)持扶貧同扶智相結(jié)合，幫助貧困村種植臍橙，并利用互聯(lián)網(wǎng)電商進(jìn)行銷(xiāo)售，為了更好銷(xiāo)售，現(xiàn)從該村的臍橙樹(shù)上隨機(jī)摘下100個(gè)臍橙進(jìn)行測(cè)重，其質(zhì)量分布在區(qū)間（單位：克），統(tǒng)計(jì)質(zhì)量的數(shù)據(jù)作出其頻率分布直方圖如圖所示：（1）按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在，的臍橙中隨機(jī)抽取5個(gè)，再?gòu)倪@5個(gè)臍橙中隨機(jī)抽2個(gè)，求這2個(gè)臍橙質(zhì)量至少有一個(gè)不小于400克的概率；（2）以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該村的臍橙種植地上大約還有100000個(gè)臍橙待出售，某電商提出兩種收購(gòu)方案：A所有臍橙均以7元/千克收購(gòu)；B低于350克的臍橙以2元/個(gè)收購(gòu)，其余的以3元/個(gè)收購(gòu)請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算為該村選擇收益較好的方案.（參考數(shù)據(jù)：（）【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】(1)由題意首先確定各個(gè)區(qū)間內(nèi)臍橙的個(gè)數(shù)，然后列出所有可能的取值，利用古典概型計(jì)算公式確定所求的概率值即可；(2)由題意分別計(jì)算兩種方案的收益值，選擇收益高的方案即可.【詳解】（1）由題得臍橙質(zhì)量在和的比例為3：2.應(yīng)分別在質(zhì)量為和的臍橙中各抽取3個(gè)和2個(gè).記抽取質(zhì)量在的臍橙為，質(zhì)量在則從這5個(gè)臍橙中隨機(jī)抽取2個(gè)的情況共有以下10種：，其中質(zhì)量至少有一個(gè)不小于400克的7種情況，故所求概率為（2）方案好，理由如下：由頻率分布直方圖可知，臍橙質(zhì)量在的頻率為同理，質(zhì)量在，的頻率依次為0.16.0.24.0.3，0.2，0.05若按方案收購(gòu)：臍橙質(zhì)量低于350克的個(gè)數(shù)為個(gè)臍橙質(zhì)量不低于350克的個(gè)數(shù)為55000個(gè)收益為元若按方案收購(gòu)：根據(jù)題意各段臍橙個(gè)數(shù)依次為5000，16000.24000，30000，20000.5000.于是總收益為 （元）方案的收益比方案的收益高，應(yīng)該選擇方案.【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，古典概型計(jì)算公式，利用概率統(tǒng)計(jì)的方法選擇合理方案的方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.21如圖，在直三棱柱中，是中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）在棱上存在一點(diǎn)，滿(mǎn)足，求平面與平面所成銳二面角的余弦值【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）連結(jié)交于點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線可知；利用線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用可得，從而可得點(diǎn)坐標(biāo)；利用空