行列式的計(jì)算技巧及其應(yīng)用畢業(yè)論文.doc

行列式的計(jì)算技巧及應(yīng)用本科生畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))題 目： 行列式的計(jì)算技巧及應(yīng)用學(xué)生姓名： 謝 芳 學(xué) 號(hào)： 201210010133 專(zhuān)業(yè)班級(jí)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)12101班 指導(dǎo)教師： 顏 亮 完成時(shí)間: 2016 年 5 月 目錄摘要.1關(guān)鍵詞.10、前言.11、 基礎(chǔ)知識(shí)及預(yù)備引理.21.1行列式的由來(lái)及定義.21.2行列式的性質(zhì).31.3拉普拉斯定理及范德蒙德行列式的定義.42、行列式的計(jì)算方法.42.1定義法.42.2利用行列式的性質(zhì)(化三角型)計(jì)算.52.3拆行（列）法.62.4加邊法（升階法）.62.5范德蒙德行列式的應(yīng)用.73、n階行列式的計(jì)算.84、行列式的應(yīng)用.94.1行列式在代數(shù)中的應(yīng)用.94.2行列式在幾何中的應(yīng)用.10參考文獻(xiàn).10致謝.11行列式的計(jì)算技巧及應(yīng)用數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)12101班 謝芳指導(dǎo)老師 顏亮摘要：行列式的計(jì)算是高等代數(shù)中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn),也是我們學(xué)好高等代數(shù)的重要工具 .無(wú)論是高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域還是現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題,都或多或少的包含了行列式的思想,所以學(xué)好行列式尤為重要.本文主要介紹幾種行列式的思想,并從實(shí)例進(jìn)行具體說(shuō)明，介紹方法的同時(shí)加以應(yīng)用.并通過(guò)舉例說(shuō)明行列式在代數(shù)和幾何方面的應(yīng)用，從而更好的了解行列式的普遍性.關(guān)鍵詞：行列式,線性方程組,計(jì)算,方法Abstract: the calculation of the determinant is an important part of the knowledge of higher algebra, also an important tool for us to learn advanced algebra. Both higher mathematics and practical problems in real life, more or less contains the ideas of the determinant, so learning determinant is particularly important. This paper mainly introduces several kinds of determinant, and illustrate the application of the determinant in algebra and geometry, so we can understand the universality of the determinant better.Keywords: determinant, system of linear equations, calculation, the method0前言行列式是學(xué)習(xí)線性代數(shù)的基本工具,行列式的解法有很多種,在解題過(guò)程中我們先要觀察行列式的特征,然后再考慮用什么樣的方法解.本文主要介紹幾種常用的解行列式的方法,如定義法、化三角型法、拆行（列）法、加邊法、利用范德蒙德行列式計(jì)算相關(guān)行列式的方法，并通過(guò)一定的例題對(duì)所介紹的方法進(jìn)行透徹的講解，使之更好的理解.當(dāng)然，解行列式的方法還有很多，只要我們善于總結(jié).行列式在數(shù)學(xué)的很多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，在線性代數(shù)和高等數(shù)學(xué)中更是一個(gè)重要的解題工具.本文主要介紹行列式在代數(shù)和幾何方面的應(yīng)用.21 線性方程組與行列式1.1 行列式的由來(lái)及定義在中學(xué)數(shù)學(xué)中,我們學(xué)習(xí)了含有一個(gè)未知數(shù)和兩個(gè)未知數(shù)的方程的解法,那在這里我們來(lái)討論含n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的多元一次方程組即線性方程組的解法.首先我們先來(lái)看未知數(shù)的個(gè)數(shù)不多的時(shí)候的情形.我們先討論n=2時(shí)的二元線性方程組 （1）為了解這一類(lèi)方程,我們將引入一個(gè)很重要的工具行列式我們把線性方程組（1）的系數(shù)作成二階行列式當(dāng)0時(shí),方程組（1）有唯一解x1= x2=同樣的,對(duì)于三元線性方程組 (2)的系數(shù)作成三階行列式D=當(dāng)時(shí),那么方程組3有解 其中D1=，D2=，D3=我們的目的是要把二階、三階行列式推廣到n階行列式,然后用這一工具來(lái)解含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的線性方程組.定義11用符號(hào) 表示n階行列式指的是n!項(xiàng)的代數(shù)和,這些項(xiàng)是所有取自該行列式不同行與不同列上的n個(gè)元素的乘積a1j1a2j2anjn,項(xiàng)的符號(hào)為（-1）（j1j2jn),也就是說(shuō),當(dāng)j1j2jn為偶排列時(shí)，這一項(xiàng)的符號(hào)為正,當(dāng)j1j2jn為奇排列時(shí)符號(hào)為負(fù).這一定義還可以表示成=j1j2jn（-1）（j1j2jn)a1j1a2j2anjn1.2 n階行列式性質(zhì)：2引理1 把行列式的行變成列、列變成行,行列式的值不變.引理2 把一個(gè)行列式的兩行（或兩列）交換位置,行列式的值改變符號(hào).引理3 把行列式的某一行（或一列）的所有元素乘以某個(gè)數(shù)c,等于用數(shù)c乘原行列式.引理4 若一個(gè)行列式的兩行（或兩列）的對(duì)應(yīng)元素成比例,那么行列式的值等于零.引理5 把行列式某一行（或列）的所有元素同乘以一個(gè)數(shù)c,加到另一行（或一列）的對(duì)應(yīng)元素上,所得行列式的值與原行列式的值相等.引理6 行列式某一行（或列）的各元與另一行（或列）對(duì)應(yīng)元的代數(shù)余子式的乘積之和等于零.1.3 拉普拉斯定理及范德蒙德行列式的定義拉普拉斯定理 設(shè)D為一n階行列式，任意取定D中的k（kn）行,由這k行元素所構(gòu)成的一切k階子式與它們所對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D的值.用符號(hào)可以表示為D=,其中m=行列式叫作一個(gè)n階范德蒙德行列式.2 行列式的計(jì)算2.1 定義法例1 計(jì)算行列式D=解 由定義可知，D是一個(gè)4！=24項(xiàng)的和,展開(kāi)式的一般項(xiàng)為a1j1a2j2anjn,在這個(gè)行列式中,除了abcd,afgd,ebch,efgh外,其余各項(xiàng)均含有0,故乘積為0,與上面四項(xiàng)相對(duì)應(yīng)列標(biāo)的排列依次為1234,1324,4231,4321,而1234=0，（1324）=1,4231=5, 4321=6,故D=abcd+efgh-afgd-ebch.利用定義法求解行列式時(shí),只適合一些比較簡(jiǎn)單的行列式,如對(duì)角線行列式,三角行列式等，定義法常用于解低階的行列式，對(duì)于一些高階的行列式，我們將介紹其他方法來(lái)求解.2.2 利用行列式的性質(zhì)計(jì)算例2 證明n階上三角行列式（主對(duì)角線以下的元素都為零）= 證明 在這個(gè)行列式中，當(dāng) i時(shí),元素=0,由定義可知所有取自各行各列的項(xiàng)的乘積除了外,其余項(xiàng)中均含有因子0,故乘積為零,又（）=0,故= 特別的 =由性質(zhì)1可知,下三角行列式也等于主對(duì)角線上元素的積.那么對(duì)于可化為三角行列式的計(jì)算,就可先利用行列式的性質(zhì)把它變成三角行列式例3 計(jì)算行列式解 把行列式除開(kāi)第一行外其他行上的對(duì)應(yīng)元素分別減去第一行上的元素,得原式=1如果一個(gè)行列式可化為三角行列式,我們可以優(yōu)先考慮化成三角形后再進(jìn)行計(jì)算,計(jì)算起來(lái)更簡(jiǎn)便.2.3 按行（列）展開(kāi) 按行（列）展開(kāi)又稱(chēng)降階法,按某一行展開(kāi)時(shí),可以使行列式降一階,更一般的,如果可以用拉普拉斯定理就可以降很多階了.但為了讓計(jì)算更加簡(jiǎn)便,我們一般先利用行列式的性質(zhì)使行列式中的元出現(xiàn)盡可能多的零,然后再展開(kāi).例4 計(jì)算行列式解 原行列式 =-=-=-21 對(duì)于這種階數(shù)稍微高點(diǎn)的行列式用定義法一般比較復(fù)雜，這時(shí)我們考慮利用行列式的性質(zhì)降階后再按行或列展開(kāi).2.4 加邊法（升階法）加邊法即把行列式添加一行和一列,使升階（加邊）后的行列式的值與原行列式相等,這種方法叫加邊法.這種方法一般適用于所加邊的元素和原行列式的元素有直接關(guān)系,如相等或倍數(shù)關(guān)系,或原來(lái)的行列式中有大片元素相同的行列式.例5 計(jì)算行列式=（x）解 原行列式中存在“大片”的x,故用加邊法把原行列式變成n+1階行列式,則有=（1+利用加邊法把行列式化為n+1階行列式后,再利用行列式的性質(zhì)把該行列式化為可直接計(jì)算的行列式,從而簡(jiǎn)便計(jì)算.2.5 范德蒙德行列式的應(yīng)用由于范德蒙德行列式=范德蒙德行列式是一個(gè)很特殊的行列式，從第二行起每一行與前一行對(duì)應(yīng)元素的比都等于同一個(gè)常數(shù).那么對(duì)于可化為范德蒙德行列式的計(jì)算我們可先把它化成范德蒙德行列式后再進(jìn)行計(jì)算. 例6 計(jì)算=2解 從該行列式的第k（k=2,3,n）行中提取公因子后,得到該行列式為范德蒙德行列式的轉(zhuǎn)置行列式,故=n!(n-1)!2!1!.3 n階行列式的計(jì)算對(duì)于n階行列式的計(jì)算,除了以上的方法外,我們還會(huì)根據(jù)行列式的特征采用遞推法和歸納法來(lái)求解.例1 計(jì)算=解 將按第一行展開(kāi),再將按第一行展開(kāi)的第二個(gè)行列式按第一列展開(kāi)得,整理得=()由遞推關(guān)系可以得出：=在上式中,a和b的地位是相等的,因此有=兩式聯(lián)立解得，可以得出遞推法一般用于n階行列式的求解，遞推法的關(guān)鍵是找出的關(guān)系.除了上面講到的遞推法,我們還常用歸納法來(lái)證明某些行列式.例2 證明=cos()證明 當(dāng)n=1時(shí),=,等式成立當(dāng)n=2時(shí),=2cos-1=cos2,等式成立假設(shè)n=k時(shí)等式仍然成立,即,那么,當(dāng)n=k+1時(shí),把行列式按最后一行展開(kāi)得代入得由歸納法得行列式的計(jì)算方法多種多樣,本文中所提到的方法也只是解題過(guò)程中的一些常用方法,不同的題目有不同的計(jì)算方法,至于要采用哪種方法要視具體題目而定,只要我們多觀察行列式的特征就能找到合適的方法來(lái)計(jì)算.4 行列式的應(yīng)用4.1 行列式在代數(shù)中的應(yīng)用行列式在代數(shù)中的應(yīng)用主要有利用行列式解含n元線性方程組當(dāng)系數(shù)行列式0時(shí),有唯一解：(k=1，2，,n).對(duì)于齊次線性方程組,若D0,則對(duì)應(yīng)的方程組只有零解.4.2 行列式在幾何中的應(yīng)用我們還可以用行列式來(lái)表示直線方程，例如過(guò)兩點(diǎn)M（）,N（）的直線方程=0 （1） 證明 由兩點(diǎn)式,我們可以得出過(guò)MN的直線方程為 把上式化簡(jiǎn)得再進(jìn)一步進(jìn)行化簡(jiǎn)得=0即為（1）式按第一行展開(kāi)所得的結(jié)果,命題得證.行列式有著很廣泛的應(yīng)用，上面只是講的比較特殊的兩種，在幾何方面，還有許多應(yīng)用，還可利用行列式表示三角形的面積例如 以平面內(nèi)三點(diǎn)P（）,Q(),R（）為頂點(diǎn)的PQR的面積S是參考文獻(xiàn)1張禾瑞，郝鈵新高等代數(shù)（第五版）M北京:高等教育出版社，20002任功全，封建湖，薛仁智線性代數(shù)M北京：科學(xué)出版社，20053姚慕生高等代數(shù)M上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2002.84馬菊霞，吳云天線性代數(shù)題型歸納與方法點(diǎn)拔考研輔導(dǎo)M北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2000105毛綱源線性代數(shù)解題方法技巧歸納M武漢：華中科技大學(xué)出版社，20006王麗霞 N階行列式的幾種常見(jiàn)的計(jì)算方法J山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2