《數(shù)學(xué)分析》講稿.pdf

數(shù)學(xué)分析 講稿 數(shù)學(xué)分析 講稿 復(fù)旦大學(xué)復(fù)旦大學(xué) 陳陳 紀(jì)紀(jì) 修修 一 數(shù)學(xué)分析 這門(mén)課程一 數(shù)學(xué)分析 這門(mén)課程 數(shù)學(xué)分析 是一門(mén)對(duì)數(shù)學(xué)系的學(xué)生講授微積分的課程 微積分是人類思維最偉大的成果之一 是人類文明史上一顆光輝 燦爛的明珠 任何一門(mén)學(xué)科的產(chǎn)生與發(fā)展 都離不開(kāi)外部世界的推動(dòng) 任何科 學(xué)技術(shù)的發(fā)展都與時(shí)代的發(fā)展密切相關(guān) 微積分的產(chǎn)生也是受到了物 理學(xué) 天文學(xué) 幾何學(xué)等學(xué)科發(fā)展的推動(dòng) 牛頓與萊布尼茲的最大貢獻(xiàn)在于發(fā)現(xiàn)了微分與積分之間的深刻 聯(lián)系 從而使微積分成為一門(mén)學(xué)科 科學(xué)技術(shù)的發(fā)展歷史告訴我們 人類的任何一個(gè)偉大的發(fā)明與創(chuàng) 造 都是站在巨人的肩膀上取得的 通過(guò)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)分析 希望做到 通過(guò)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)分析 希望做到 1 掌握微積分的思想與原理 掌握微積分的核心內(nèi)容與精髓 2 加強(qiáng)邏輯思維能力的訓(xùn)練與培養(yǎng) 提高數(shù)學(xué)推理與論證的能力 3 通過(guò)嚴(yán)格的訓(xùn)練 具備熟練的運(yùn)算能力與技巧 4 重視微積分的應(yīng)用 掌握數(shù)學(xué)模型的思想與方法 提高應(yīng)用微 積分這一有力的數(shù)學(xué)工具分析問(wèn)題 解決問(wèn)題的能力 二 二 微積分的發(fā)現(xiàn)與發(fā)展歷程微積分的發(fā)現(xiàn)與發(fā)展歷程 1 極限 無(wú)窮小 微分 積分的思想在中國(guó)古代早已有之 極限 無(wú)窮小 微分 積分的思想在中國(guó)古代早已有之 公元前 4 世紀(jì) 中國(guó)古代思想家和哲學(xué)家莊子莊子在 天下篇 中論 1 述 至大無(wú)外 謂之大一 至小無(wú)內(nèi) 謂之小一 其中大一和小一 就是無(wú)窮大和無(wú)窮小的概念 而 一尺之棰 日取其半 萬(wàn)世不竭 更是道出了無(wú)限分割的極限思想 公元 3 世紀(jì) 中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽劉徽首創(chuàng)的割圓術(shù)割圓術(shù) 即用無(wú)窮小分 割求面積的方法 就是古代極限思想的深刻表現(xiàn) 他用圓內(nèi)接正多邊 形的邊長(zhǎng)來(lái)逼近圓周 得到了 142704 3141024 3 k akn 12 3 L 得到 xn 1 1 1 n n 1 1 1 1 1 n n n n xn 1 1 yn 1 1 1 n n n 2 2 1 1 1 n n n n n 1 1 yn 這表示 單調(diào)增加 而 單調(diào)減少 又由于 xn n y 2 x1 n x yn 4 y1 可知 都收斂 由 xnynynxn n 1 1 它們具有相同的極限 通 常用字母 來(lái)表示這一極限 即 e lim n 1 1 n n lim n 1 1 1 n e n 例 5 例 5 設(shè) bn1 1 2 1 3 1 L n nln 則數(shù)列 b 收斂 n 證證 由 n n 1 1 e 1 1 1 n n 得到 1 1n 1 ln n n 1 n 于是有 12 1n b bn 1 1n ln 1 n lnn 1 1n 1 ln0 n n 23 n n Lln 2 1 ln 3 2 ln 4 3 1 ln n n lnn ln 1 n ln0n 這說(shuō)明數(shù)列 單調(diào)減少有下界 從而收斂 bn n b 的極限 0 57721566490 稱為Euler常數(shù) 例例6 設(shè)d n 1 1 2 1 3 1 1 1 L n n 由于 bn 1 1 2 1 3 1 1 1 L nn nln n 和 b n2 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 22 1 21 1 2 2 L nnn nln n 考慮 用中的第項(xiàng)與中的第k項(xiàng) 2n b bn n b2k2 n bnk 2 1L 對(duì)應(yīng)相 減 得到 2n b bn 1 1 2 1 3 1 4 1 21 1 2 2 L nn ln d n2 2ln 0 n 由于dd n nn212 1 21 及 lim n 1 2n 1 0 于是得到 lim n dn lim n n n 1 1 3 1 2 1 1 1 Lln2 也就是 1 111 1 1 23 n n LLln2 6 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)分析課程網(wǎng)站地址 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)分析課程網(wǎng)站地