《數學分析》講稿.pdf

數學分析 講稿 數學分析 講稿 復旦大學復旦大學 陳陳 紀紀 修修 一 數學分析 這門課程一 數學分析 這門課程 數學分析 是一門對數學系的學生講授微積分的課程 微積分是人類思維最偉大的成果之一 是人類文明史上一顆光輝 燦爛的明珠 任何一門學科的產生與發(fā)展 都離不開外部世界的推動 任何科 學技術的發(fā)展都與時代的發(fā)展密切相關 微積分的產生也是受到了物 理學 天文學 幾何學等學科發(fā)展的推動 牛頓與萊布尼茲的最大貢獻在于發(fā)現了微分與積分之間的深刻 聯系 從而使微積分成為一門學科 科學技術的發(fā)展歷史告訴我們 人類的任何一個偉大的發(fā)明與創(chuàng) 造 都是站在巨人的肩膀上取得的 通過學習 數學分析 希望做到 通過學習 數學分析 希望做到 1 掌握微積分的思想與原理 掌握微積分的核心內容與精髓 2 加強邏輯思維能力的訓練與培養(yǎng) 提高數學推理與論證的能力 3 通過嚴格的訓練 具備熟練的運算能力與技巧 4 重視微積分的應用 掌握數學模型的思想與方法 提高應用微 積分這一有力的數學工具分析問題 解決問題的能力 二 二 微積分的發(fā)現與發(fā)展歷程微積分的發(fā)現與發(fā)展歷程 1 極限 無窮小 微分 積分的思想在中國古代早已有之 極限 無窮小 微分 積分的思想在中國古代早已有之 公元前 4 世紀 中國古代思想家和哲學家莊子莊子在 天下篇 中論 1 述 至大無外 謂之大一 至小無內 謂之小一 其中大一和小一 就是無窮大和無窮小的概念 而 一尺之棰 日取其半 萬世不竭 更是道出了無限分割的極限思想 公元 3 世紀 中國古代數學家劉徽劉徽首創(chuàng)的割圓術割圓術 即用無窮小分 割求面積的方法 就是古代極限思想的深刻表現 他用圓內接正多邊 形的邊長來逼近圓周 得到了 142704 3141024 3 k akn 12 3 L 得到 xn 1 1 1 n n 1 1 1 1 1 n n n n xn 1 1 yn 1 1 1 n n n 2 2 1 1 1 n n n n n 1 1 yn 這表示 單調增加 而 單調減少 又由于 xn n y 2 x1 n x yn 4 y1 可知 都收斂 由 xnynynxn n 1 1 它們具有相同的極限 通 常用字母 來表示這一極限 即 e lim n 1 1 n n lim n 1 1 1 n e n 例 5 例 5 設 bn1 1 2 1 3 1 L n nln 則數列 b 收斂 n 證證 由 n n 1 1 e 1 1 1 n n 得到 1 1n 1 ln n n 1 n 于是有 12 1n b bn 1 1n ln 1 n lnn 1 1n 1 ln0 n n 23 n n Lln 2 1 ln 3 2 ln 4 3 1 ln n n lnn ln 1 n ln0n 這說明數列 單調減少有下界 從而收斂 bn n b 的極限 0 57721566490 稱為Euler常數 例例6 設d n 1 1 2 1 3 1 1 1 L n n 由于 bn 1 1 2 1 3 1 1 1 L nn nln n 和 b n2 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 22 1 21 1 2 2 L nnn nln n 考慮 用中的第項與中的第k項 2n b bn n b2k2 n bnk 2 1L 對應相 減 得到 2n b bn 1 1 2 1 3 1 4 1 21 1 2 2 L nn ln d n2 2ln 0 n 由于dd n nn212 1 21 及 lim n 1 2n 1 0 于是得到 lim n dn lim n n n 1 1 3 1 2 1 1 1 Lln2 也就是 1 111 1 1 23 n n LLln2 6 復旦大學數學分析課程網站地址 復旦大學數學分析課程網站地