拋物線的概念與性質(zhì).doc

中國(guó)領(lǐng)先的中小學(xué)教育品牌精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義講義編號(hào) 年 級(jí)：高二 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 課時(shí)數(shù)：3 課 題拋物線概念與性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)1、掌握拋物線的定義，掌握拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程；2、拋物線的對(duì)稱性、頂點(diǎn)、范圍、焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；應(yīng)用拋物線定義解決一些與焦點(diǎn) 弦長(zhǎng)有關(guān)的問題。教學(xué)內(nèi)容一、知識(shí)梳理1、拋物線的定義定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線（定點(diǎn)F不在定直線上）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線。思考：如果定點(diǎn)F在定直線上，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？ 2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形頂點(diǎn)對(duì)稱軸焦點(diǎn)準(zhǔn)線(0,0)軸(,0)(0,0)軸(-,0)(0,0)軸(0, )(0,0)軸(0,-)我們把上述四種位置的拋物線方程都稱為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。3、直線與拋物線它們的位置關(guān)系無外乎三種情況，即相切、相交、相離。具體來說：1、相離的問題常轉(zhuǎn)化為二次曲線上的點(diǎn)到已知直線的距離的最大值或最小值來解決；2、只有一個(gè)公共點(diǎn)，對(duì)拋物線表示直線與其相切或表示與其對(duì)稱軸平行；3、有兩相異的公共點(diǎn)，表示相割，此時(shí)直線被截線段稱為圓錐曲線的弦。常見的問題有：（1）直線與圓錐曲線位置關(guān)系的研究。 包括位置關(guān)系的判定，位置關(guān)系與參數(shù)值，位置關(guān)系與曲線方程等。（2）直線與圓錐曲線相交成弦的問題。包括弦長(zhǎng)的計(jì)算，弦的中點(diǎn)，最值，由弦長(zhǎng)或弦的中點(diǎn)的幾何性質(zhì)確定直線方程或圓錐曲線的方程，對(duì)稱性問題等等。弦長(zhǎng)的求法：由，弦長(zhǎng).注意：消去可得關(guān)于的二元方程有直線斜率.求解的基本策略是，將其轉(zhuǎn)化為直線與圓錐曲線方程的方程組的解的問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程的實(shí)根問題，因而判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、焦半徑公式的應(yīng)用，以及設(shè)而不求、整體代入、數(shù)形結(jié)合的思想方法技巧在這里起著極為重要的作用。4、拋物線的特殊性質(zhì)（1）過拋物線（）的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于、兩點(diǎn)，設(shè)，O為原點(diǎn)，則有：（1）；（2）；（3）；（4）。（2）直線l交拋物線（）于、兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若OAOB，則直線l經(jīng)過定點(diǎn)（2p，0），反之亦然（證明略）。二、例題解析1、拋物線的準(zhǔn)線為_ ,焦點(diǎn)坐標(biāo)為_2、已知圓，與拋物線的準(zhǔn)線相切，則 _23、點(diǎn)M與點(diǎn)F的距離比它到直線:的距離小1，則點(diǎn)的軌跡方程是 _4、拋物線（）與橢圓有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，則的取值范圍是_5、拋物線上一點(diǎn)到軸的距離為12，則點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為_136、一個(gè)正三角形的頂點(diǎn)都在拋物線上，其中一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則這個(gè)三角形的面積是（ A ） （A） （B） （C） （D）7、若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，2），F(xiàn)為拋物線y2=2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)時(shí)，使|MA|+|MF|取最小值的M的坐標(biāo)為_(2,2)_8、若拋物線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_9、求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且焦點(diǎn)在直線3x-4y=12上的拋物線方程。解:直線L與X軸交點(diǎn)(4,0),與Y軸交點(diǎn)(0,-3)所以拋物線方程為焦點(diǎn)弦有關(guān)的問題1、已知是拋物線上的點(diǎn)，是該拋物線的焦點(diǎn)，求證：.說明利用拋物線的定義，將點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，稱為拋物線的焦半徑.證明：過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則.根據(jù)拋物線的定義，.2、在拋物線y2=8x上一點(diǎn)到x軸的距離為4，則該點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為 63、在拋物線y2=8x上與焦點(diǎn)F的距離等于6的點(diǎn)的坐標(biāo)為 . 4、過拋物線y 2=4x的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)兩點(diǎn)，如果x1+ x2=6，那么|AB|=（ A ）A8B10C6 D45、過拋物線的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ得長(zhǎng)分別是、，則 等于（ C ）A B C D 解析：考慮特殊位置，令焦點(diǎn)弦PQ平行于軸。6、拋物線（）上有、三點(diǎn)，是它的焦點(diǎn)，若、成等差數(shù)列，則（ A ）A 成等差數(shù)列 B 成等差數(shù)列 C 成等差數(shù)列 D 成等差數(shù)列7、是拋物線的焦點(diǎn)弦，若，則的中點(diǎn)到直線的距離是_8、若拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為，求焦點(diǎn)弦所在直線方程.說明根據(jù)焦半徑公式，焦點(diǎn)弦長(zhǎng)可以用兩個(gè)端點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和來表示.解：拋物線的焦點(diǎn)為.設(shè)焦點(diǎn)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、.由條件，所以.如果直線平行于軸，那么，這與矛盾，所以直線不平行于軸.設(shè)焦點(diǎn)弦所在直線方程為，聯(lián)立方程 消去，得到，根據(jù)韋達(dá)定理，求出，于是焦點(diǎn)弦所在直線的方程為.9、過拋物線的焦點(diǎn)作拋物線的弦，當(dāng)時(shí)，求直線傾斜角的大小。答案：，所以傾斜角為或10、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是，求拋物線的方程、準(zhǔn)線方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及的值。說明根據(jù)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)值可以確定拋物線開口向下，進(jìn)而確定拋物線的方程形式.解：設(shè)拋物線方程為，其準(zhǔn)線方程為.根據(jù)拋物線的定義，有，所以. 拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，算得直線與拋物線1、拋物線上一點(diǎn)到直線的距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ A ）A（1，1）B（）CD（2，4）2、過點(diǎn)（0,1）作直線，使它與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有（C）A1條B2條C3條D0條3、直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若，則_14、拋物線y 2=4x的弦AB垂直于x軸，若AB的長(zhǎng)為4，則焦點(diǎn)到AB的距離為 25、過A（1，1），且與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程為 及X=-16、在拋物線中，以為中心的弦所在的直線方程為_7、已知直線l過點(diǎn)A（4,0）且與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，若以PQ為直徑的圓恒過原點(diǎn)O，求拋物線C的方程。8、給定直線：，拋物線C：。（1）當(dāng)拋物線C的焦點(diǎn)在直線上時(shí)，確定拋物線C的方程。（2）若ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在（1）所確定的拋物線C上，且點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，ABC的重心恰在拋物線C的焦點(diǎn)上，求直線BC的方程。答案：（1）（2）代入得則A(8,2),設(shè).直線方程代入,由韋達(dá)定理及重心坐標(biāo)公式求得.9、已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與定直線相切，點(diǎn)在上。（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)且斜率為的直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)；（3）問：能否為正三角形？若能，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，說明理由。解：（1）因?yàn)閯?dòng)圓過定點(diǎn)，且與定直線相切所以由拋物線定義知：圓心的軌跡是以定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為準(zhǔn)線的拋物線所以 圓心的軌跡方程為 -4分（2）由題知，直線的方程為 -6分所以解得： -8分 -10分（3）假設(shè)能為正三角形，則設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 -11分 由題知 13分 即： -14分 由于上述方程無實(shí)數(shù)解，因此直線上不存在這樣的點(diǎn)C。 -16分10、若拋物線上兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，且，求的值。答案：11、若拋物線上存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的兩點(diǎn)，求a的范圍。解析：提示：設(shè)A（m，n），B（-n，-m）為拋物線上關(guān)于x+y=0對(duì)稱的兩點(diǎn)，則（1）-（2）得 （3）（1）+（3）得，故判別式 ，又a0 三、總結(jié)與反思四、課后作業(yè)1、拋物線的準(zhǔn)線方程是（ C ）ABCy=2 Dy=42、與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線方程是（ B ）A B C D3、已知A、B是拋物線上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OA|=|OB|，且AOB的垂心恰是此拋物線的焦點(diǎn)，則直線AB的方程是（ C ）Ax=pBCD3p4、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，其上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則拋物線方程為（ D ） A BC D5、已知拋物線x2=4y，過焦點(diǎn)F，傾斜角為的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)為 （ A ） A.8 B.4 C.6 D.3 6、過點(diǎn)M（2，4）作與拋物線y 2=8x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l有（ C ）A0條B1條C2條D3條7、直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則k的值為（ ） （A）或2（B）（C）2 （D）8、拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F、P在拋物線上，若|PF|=5，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（ C ）A. (3，2) B.(3，-2)C.(3，2)或(3，-2) D.(-3，2)或(-3，-2)9、設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，A、B、C為該拋物線上三點(diǎn)，若則|FA|+|FB|+|FC|=（ B）(A)9(B)6(C) 4 (D) 310、動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且與直線：相切，則的軌跡方程為 11、若點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大1，則點(diǎn)M的軌跡方程為 或12、拋物線上的兩點(diǎn)A、B到焦點(diǎn)的距離之和為10，則線段AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為 413、頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且焦點(diǎn)在直線上的拋物線方程是 或14、等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2=2px(p0)，O為拋物線的頂點(diǎn)，OAOB，則AOB的面