電磁場(chǎng) 第二版（前六章） (鐘順時(shí) 著) 清華大學(xué)出版社 課后答案 習(xí)題答案 第3章 靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法

課后答案網(wǎng)： 3 第 3 章 靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法 一個(gè)半徑為 a， 壁厚 d 極薄的肥皂泡對(duì)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的電位為 它破滅時(shí)假定全部泡沫集中形成一個(gè)球形水滴。試求此水滴（ 無(wú)窮遠(yuǎn)處的電位 0V， a=3d=10 m，則 解 00101010932010333443 6423 203 2000 氣中有一半徑為 a 的球形電荷分布，已知球體內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度為 2 （ c) 取 r 處為電位參考點(diǎn)，得 33333242 4333: d r : d) 02222 4331: 得證。 01: 24222 得證。 氣中有一半徑為 a，體電荷密度為 計(jì)算該圓柱體內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度。 解 :a 02 :a 022v 知空氣中半徑為 a 的圓環(huán)上均勻地分布著線電荷，其密度為 l，位于 z=0 平面，試求其軸線上任意點(diǎn) P（ 0， 0， z）處的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度（參看圖 意與之不同）。 解 220200 24 課后答案網(wǎng)： 4 232202 za l 知空氣中半徑為 a 的圓盤上均勻地分布著面電荷，其密度為 s，位于 z=0 平面，試求其軸線上任意點(diǎn) P（ 0， 0， z）處的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度（參看圖 意與之不同）。 解 sa s 2200 220 22 220 12 s 均勻介質(zhì)內(nèi)部任意點(diǎn)處，體束縛電荷密度v總等于該處體自由電荷密度 10 )倍，請(qǐng)證明之。 證 由式 (代入式 (式 ( 1000得證。 知空氣中有一導(dǎo)體球，半徑為 a，帶電量為 Q，其外面套有外半徑為 b、介電常數(shù)為的介質(zhì)球殼。試求： a)區(qū)域的 D 和 E ； b)介質(zhì)球殼中的體束縛電荷密度v和其內(nèi)外表面處的面束縛電荷密度s。 解 a) 202 4,4 b) 1000 20200 414 200 41 行板電容器的寬和長(zhǎng)分別為 a、 b，兩極板間距為 dba，求其單位長(zhǎng)度電容 a=b，則 解 因 dba，按例 樣的推導(dǎo)得空間任意點(diǎn)處電位為 210 l 課后答案網(wǎng)： 8 雙線間電位為 00 故單位長(zhǎng)度電容為 若 a=b，則 01 圖 a)所示同軸線，其內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為 a、 b，中間充填介電常數(shù)分別為21,的二層介質(zhì)，分界面半徑為 c。求： a)二介質(zhì)區(qū)域的電位函數(shù)1和2；b)單位長(zhǎng)度電容 解 a) 由例 ，二介質(zhì)區(qū)域電場(chǎng)強(qiáng)度分別為 ， 取外導(dǎo)體為零電位，則 121 b) 由例 ，外導(dǎo)體表面線電荷密度為 故單位長(zhǎng)度電容為 課后答案網(wǎng)： 9 圖 b)所示同軸線，其外導(dǎo)體半徑分別為 a、 b，10 部分填充介電常數(shù)為1的介質(zhì)，其余部分介電常數(shù)為2。求單位長(zhǎng)度電容 解 由例 ，二區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度和其導(dǎo)體表面線電荷密度分別為 ， 12 取外導(dǎo)體為零電位，則 故單位長(zhǎng)度電容為 1111211當(dāng) 01 ，得 1 參看圖 導(dǎo)線 1 為電力線，導(dǎo)線 2 為電話線，二者半徑均為 a，相距 D，架高 h。設(shè)電力線 1 上電壓為 求電話線上的感應(yīng)電壓 a=5D=30m，h=12m， （參看例 解 12221122121221 由例 課后答案網(wǎng)： 0 故 382 看例 圖 圖中導(dǎo)體 2 與電纜殼相連，在導(dǎo)體 1、 2 間加電壓 120V，求導(dǎo)體 1、 2 上 所帶電量。 解 當(dāng)導(dǎo)體 2 與電纜殼相連， 022C，則導(dǎo)體 1、 2 間工作電容為 03 8 導(dǎo)體 1、 2 上電量分別為 22 限長(zhǎng)同軸線內(nèi)、外導(dǎo)體半徑分別為 a、 b，外導(dǎo)體接地，由導(dǎo)體加電壓 U。請(qǐng)通過(guò)電位方程 02 ，求解內(nèi)外導(dǎo)體間的電位和電場(chǎng)分布。其單位長(zhǎng)度 電容 解 例 求得此題 電場(chǎng)分布，現(xiàn)通過(guò)解電位方程來(lái)求。已知電位 的邊界條件是（參看圖 2 0 b 內(nèi)外導(dǎo)體間任一點(diǎn)的電位 滿足拉氏方程： 02 采用柱坐標(biāo)， 不隨 、 z 變化，因而 拉氏方程化為 01 其通解為 課后答案網(wǎng)： 1 根據(jù)邊界條件和積分常數(shù)： 故 得 此 結(jié)果與例 。 內(nèi)導(dǎo)體處面電荷密度為 則內(nèi)導(dǎo)體單位長(zhǎng)度線電荷密度為 故單位長(zhǎng)度電容為 看例 圖 a)，請(qǐng)由電位方程 02 求解二介質(zhì)層區(qū)域的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度。 解 兩區(qū)域之電位分別滿足方程 002212即 , 010121將上述方程積分兩次分別得到解為 課后答案網(wǎng)： 2 根據(jù)邊界條件確定常數(shù) A、 B、 C 、 D: 221121 ,b; 01, ; ,C 02 則 , 0解得 , 將常數(shù)代入 21, 表示式得 : 兩區(qū)域的電 場(chǎng)強(qiáng)度為 : 課后答案網(wǎng)： 3 球形電容器的內(nèi)、外導(dǎo)體球面半徑分別為 a、 b，中間介質(zhì)的介電常數(shù)為 。設(shè)內(nèi)球加電壓 球接地。試由電位方程 02 ，求解電容器中的 、 s。 解 因?yàn)楣?jié)點(diǎn)常數(shù)均勻 ,為球?qū)ΨQ ,故電位、電場(chǎng)均僅與 r 有關(guān) . 電位滿足方程 , 02 , 0122 將方程積分兩次 ,得解為： 由邊界條件確定常數(shù) A、 B: , 0 , 0 得 , 0000則得 : 020200001 同心導(dǎo)體球半徑分別為 a、 b，中間三個(gè)區(qū)域的 介電常數(shù)分別為 1、 2、 3，如 題 圖 3示。求中間介質(zhì)區(qū)域的電位函數(shù) 和電場(chǎng)強(qiáng)度 E ；此同心球的電容 C=？ 解 仿照由例 舉一反三處理，得 3212 2 r 12 321 題圖 3充填三種介質(zhì)的同心球 課后答案網(wǎng)： 4 321321 2112 無(wú)限長(zhǎng)細(xì)傳輸線離地面高 h，線電荷密 度為 l（ C/m），坐標(biāo)如題圖 3示。證明它在導(dǎo)電的地平面上感應(yīng)的面電荷密度是 )/()( 222 并證明地平面上沿 y 向的線電荷密度為 l（ C/m）。 證明 因?yàn)閘為無(wú)限長(zhǎng)細(xì)直線 ,故該題是求解二維平面場(chǎng) : 地平面上面 ,空間任一點(diǎn)的電位為 : 120 2222022220 22222222022224 (伏 /米 )_ 220 hx 地平面上沿 y 向的線電荷密度為 221 22 得證。 限長(zhǎng)細(xì)傳輸線半徑為 a=2地高 h=10m，地面可視為無(wú)限大導(dǎo)體平面，試求其單位長(zhǎng)度電容。 解 采用鏡像法求該問(wèn)題 雙導(dǎo)線在空間任一點(diǎn)的電位是 : 2200hx 單根傳輸線的電位 ,當(dāng) 時(shí) , 題圖 3地平面上的線電荷 課后答案網(wǎng)： 5 21 地面的電位為零 , 02 單位長(zhǎng)度電容 , 0211212 931212 法拉 /公里 ) 導(dǎo)體劈的劈角 =60，如圖 b)所示。角域內(nèi) x=1,y=1 處有一點(diǎn)電荷 q。請(qǐng)用鏡象法求角域內(nèi)的電位；并算出 x=2， y=1 點(diǎn)的電位值，設(shè) q=0 解 360180 n 512 (1)源電荷位置 : (x1,(1,1), +q 鏡象電荷位置 : (x2,( (x3, ( +q (x4,( (x5, ( +q (x6, (1, 角域內(nèi)任一點(diǎn) (x,y)處的電位 : 6543210 1111114, 其中 : 6,5,4,3,2,1222 ) 對(duì)于 x=2， y=1 點(diǎn)的電位值 11112 221 R 22 R 23 R 24 R 25 R 課后答案網(wǎng)： 6 26 R )(130)( 96543210 無(wú)限長(zhǎng)線電荷的線密度為 l，在它的外面有一以它為軸線的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓筒，其內(nèi)表面半徑為 a。求圓筒內(nèi)任意點(diǎn)的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度。 解 采用鏡象法求該問(wèn)題 設(shè)鏡象線電荷在圓柱外 ,距軸線為 面是等位面 ,則導(dǎo)體殼內(nèi)任一點(diǎn) P 的電位為 : 120 若 P 點(diǎn)在導(dǎo)體表面上 ,必須 由相似三角形定理 : on 1 鏡象線電荷的位置 . (1) 殼內(nèi)空間任 一點(diǎn)的電位 : c 2121202120 ,c o 21222 ,c o (2) 殼內(nèi)任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度 : 1 c o o o o dd d c o o dd d 矩形導(dǎo)體管的截面尺寸和四壁的電位如題圖 3示。 (a)請(qǐng)證明管內(nèi)任意點(diǎn)的電位是 s s (12),(3,2,10 ; (b)求管內(nèi)任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度； 000U題圖 3矩形導(dǎo)體管 課后答案網(wǎng)： 7 (c) 求 x=0 處內(nèi)壁上的面電荷密度 s|x=0， 管內(nèi)媒質(zhì)為空氣。 解 (a) 該題為 二維場(chǎng) ,管內(nèi)空間電位滿足方程 : 02 即 02222 通解為 : s hk xA c hk s 邊界條件 : 0,0 y 0, 00, x 0, 由邊界條件確定常數(shù) : 由 得 , A=0; 由 得 , C=0, s 由 得 , (n=1,2, ), b n n s 1 n 由得 , 01 s n 上式兩邊乘從 b0 對(duì) y 積分 ,當(dāng) 時(shí)得 : n 0 02 s 得 , co , (n=1,2,3, ) 管內(nèi)空間得電位分布是 , s 0 (b) c (c) 在 x=0 處， 課后答案網(wǎng)： 8 100000s 上題中 x=a 處導(dǎo)體壁上的電位不是 是下述電位分布： ,)/1(,2/0,/00 其他條件不變，試 證明矩形管內(nèi)任意點(diǎn)的電位函數(shù)是 s (2 25,3,12 0 證 1)電位滿足方程 02222 ,022 yx ,02 02 得 , 2) 通解 hk hk s i nc 11110000 3) 由邊界條件確定常數(shù) 由 , 00 B、 ;01 A 由 , 00 D、 ;01 C hk s 1100 由 , ,000 CA,(n=1,2,3 ), b n n s 1 由 , 01 220 上式兩邊乘從 b0 對(duì) y 積分 ,當(dāng) 時(shí) : s 020 00 2 s i ns i ns i 02200 ,2s 2 0 nn n (n=1,3,5, ) 課后答案網(wǎng)： 9 得 : s . . ,1220 矩形管的截面尺寸和四壁的電位 如題圖 3示，管內(nèi)媒質(zhì)為空氣。 (a)求管內(nèi)任意點(diǎn)的電位和 電場(chǎng)強(qiáng)度； (b)求 y=0 處內(nèi)壁上的面電荷密度 s|y=0。 解 (a) 該題為二維場(chǎng) ,滿足二維拉普拉斯方程 . 邊界條件為 : ;0,0 y 00, x ; ;0, 0, (常數(shù) ) 通解 : s hk xA c hk s 由邊界條件確定常數(shù) : 根據(jù) 得 , A=0; 由 得 , C=0, sh k s 由得， 12 （ n=0， 1， 2，） n 212s 2,0 由得 n n 23s 2s 2, 00 ； 2n+1=3， 1n 0 i 0y00, 矩形管 課后答案網(wǎng)： 0 b yb yb s 3co (b) 在 y=0 處， b s 3330, 00000 無(wú)限長(zhǎng)矩形導(dǎo)體槽如 題 圖 3示， 上板電位為 板電位為零。 求槽中任意點(diǎn)的電位 和電場(chǎng)強(qiáng)度。 解 該題為二維場(chǎng) ,滿足方程 : 02222 邊界條件為 : 0,0 z ; 0, 000,0 , 通解為 : s i nc 根據(jù)邊界條件確定常數(shù) , 由 得 , ;0,0 由得 , ,0,0 s 00 00 , 矩形導(dǎo)體槽 課后答案網(wǎng)： 1 由 得 , , ( n=1,2,3, ) 10 s 由 得 : 100102,s s 上式兩邊乘并在 a0 區(qū)間對(duì) y 積分 ,當(dāng) 時(shí) ,得 : n na n n 02 1020 10 s i ns i ns i ns i ns i n n 002 00 2 s 得 2 (n=2,4,6, ) 該區(qū)域的電位為 : s o 6,4,200 s o o , 一長(zhǎng)方形導(dǎo)體空腔，邊長(zhǎng)分別為 a、 b、 c，其邊界均為零電位，空腔內(nèi)充填體電荷，密度為 )()s s 求腔內(nèi)任意點(diǎn)的電位 （ x,y,z）。 提示： 需滿足泊松方程02 v。設(shè) 可用三維傅里葉級(jí)數(shù)表示為 c m n s 代入泊松方程后，利用正弦函數(shù)正交性確定系數(shù) 課后答案網(wǎng)： 2 解 長(zhǎng)方體內(nèi)電位 滿足泊松方程02 v 設(shè)該方程通解為：c m n s 將 , 代入泊松方程得： c za m n s i ns i ns i ns i ns i 兩邊乘 c s 從 a0 對(duì) 從 b0 對(duì) 從 c0 對(duì) 三重積分， 根據(jù)三角函數(shù)正交性，必須 1,1 得 2223021118， （ n=1， 3， 5， 7，） s i i ns i n,5,3,12223020 知在（ x,y,z）空間中， z=0 平面上電位分布為 0 請(qǐng)確定空間中任意點(diǎn)的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度。 解 1)邊界條件）： 0(1) 2） 方程）： 02222 3) 解式： , X： 取 s o s Z： 取 4) 定常數(shù)：因 22xz ， ，故 由（ 1）知， 課后答案網(wǎng)： 3 當(dāng) z , 0故 0, 0, 從而得 0,s x 0,s x當(dāng) z=0，由（ 1）知， s 011 得 故 0,s z 0,s z 得 0,s o z 0,s o z 沿 z 軸方向半無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓筒 的 半徑為 a，該圓筒接地，但在 z=0 處的筒底上加電壓 筒內(nèi)電位和電場(chǎng)強(qiáng)度。 解 1) 0, （） 00, U（） 2） 0122 z3) 解式： , R ：由于軸對(duì)稱性，圓柱函數(shù)必為零階， n=0,且因區(qū)域中包括軸線 00,0 故只有 ，即 課后答案網(wǎng)： 4 由于 0, 得 D=0，即 ,zk 4) 定常數(shù)： 由 (1)， 00 ,3,2,1,0 i 根，于是 100, 由 (2)， 01 00 為求系數(shù)上式兩邊同乘 由 0 積分至 a: a 0000000 00因 i,0,2 201200000 i 得 A 010 02最后得 0001002, 課后答案網(wǎng)： 5 001010 12 0 半徑為 a 的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱外側(cè)包有一層半 徑為 b、介電常數(shù)為的介質(zhì)，如題圖 3示。 令其外空間外加一均勻電場(chǎng)00 ，取導(dǎo)體 圓柱表面處為電位參考點(diǎn)，求（ 1）區(qū)（ 電位函數(shù)。 解 區(qū)域（ 1）、（ 2）的電位均滿足拉氏方程： 01112122 b 011 22222 題圖 3包有介質(zhì)層的導(dǎo)體圓柱 電位通解： 1 11111c o ss 1 22222c o ss b 邊界條件： , 2211 0,1 a , 21 ， a 120 ， c o s,002 根據(jù)邊界條件確定常數(shù)： 由 得， 021 由得， 11 課后答案網(wǎng)： 6 由得， 022,1 由及三角函數(shù)正交性得， 1 解重寫為： c o 中， 2 c o b 時(shí)， c o sc o c o sc o s 2002 各區(qū)域的電位函數(shù)為 ： c o c o b 其中： 02022002 020222002 0202 002204 無(wú)限長(zhǎng)扇形導(dǎo)體柱的三壁均為零電位，但 =a 處壁電位為 題 圖 3示。求此扇形域內(nèi)的電位分 布。 解 1 1) 00, （ 1） 0, （ 2） 0, b （ 3） 0, （ 4） 2） 011222 題 圖 3扇形導(dǎo)體柱 3) 解式： F ： 具有 2 周期性，取 s s R ：電位解與 z 無(wú)關(guān)， 0必有 0k，故取 4) 定常數(shù) ： 課后答案網(wǎng)： 7 由（ 1），得 A=0， 由（ 2），得 ,3,2,1,0s in 由（ 3），得 ,0 于是 s 1 將（ 4）式代入上式得 s 為確定上式兩邊以 從 0 至 積分，有 s 0 0 右邊僅當(dāng) m=n 時(shí)不為零，得 2c o ,114220 n=1,3,5, 最后得 222,5,3,10 限大導(dǎo)體平板由一條細(xì)縫分布兩塊無(wú)限大平板，二板電位分別是 0，如題圖 3示。試用復(fù)位函數(shù)法 ，取對(duì)數(shù)復(fù)變函數(shù)為變換函數(shù)，求出平板上半空間的電位函數(shù)和電場(chǎng)強(qiáng)度。 解 令， j 根據(jù)物理狀態(tài)，取 v 為位函數(shù)， 即， ， 當(dāng) ;0,0 0, U 題 圖 3二半無(wú)限大平板 課后答案網(wǎng)： 8 0 則，電位函 數(shù) 0U， 改寫成， 0U電場(chǎng)強(qiáng)度 11 00 長(zhǎng)軸為 2a 的橢圓導(dǎo)體柱內(nèi)，在其相距 2c 的二焦點(diǎn)連線處是一極薄的導(dǎo)體片（寬 2c），如 題 圖 3用復(fù)位函數(shù)法，取變換函數(shù) w= 證明此片與橢圓柱面間單位長(zhǎng)度電容為 01 2 。 證 取復(fù)位函數(shù)為 211c o 3橢圓柱電容器 21211111v 為電位函數(shù)， u 為通量函數(shù)。 設(shè)導(dǎo)體片電位為 U，橢圓柱電位為零。當(dāng) ,01 ，得 ., 12 令 ,0,11 當(dāng) ,0,01 得 11 ,0 當(dāng) 1 故 u 得證。 用保角變換法再解 。 證 取變換函數(shù) 1co s令 v 為電位函數(shù)，邊界與 1和 2一致， 題 0 u 0 v= v=v2 jv u 課后答案網(wǎng)： 9 則 z 平面上的橢圓變換為 w 平面上的直線，如右圖所示。矩形區(qū)域中電位為 當(dāng) ,01 得 B=U； 當(dāng) ,0,2 故 22 因 c 1 u s h c h s o sc o s u sh c h s in,c o s 由上二式消去 u，得 vv c 222222 即 22222222 02222242 2222222222224 得 212222222222124 c 在橢圓短半軸（ 0,b