陜西卷,高考數(shù)學(xué)試卷理科.doc

2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(陜西卷)第卷一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2010陜西,理1)集合A=x|-1x2,B=x|x1B.x|x1C.x|10)的準(zhǔn)線與圓x2+y2-6x-7=0相切,則p的值為A.B.1C.2D.4答案:C9.(2010陜西,理9)對(duì)于數(shù)列an,“an+1|an|(n=1,2,)”是“an為遞增數(shù)列”的A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:B10.(2010陜西,理10)某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會(huì),規(guī)定各班每10人推選一名代表,當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表.那么,各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=x(x表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為A.y=B.y=C.y=D.y=答案:B第卷二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.11.(2010陜西,理11)已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)c,則m=_.答案:-112.(2010陜西,理12)觀察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,根據(jù)上述規(guī)律,第五個(gè)等式為_.答案:13+23+33+43+53+63=21213.(2010陜西,理13)從如圖所示的長(zhǎng)方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)M(x,y),則點(diǎn)M取自陰影部分的概率為_.答案:14.(2010陜西,理14)鐵礦石A和B的含鐵率a,冶煉每萬(wàn)噸鐵礦石的CO2的排放量b及每萬(wàn)噸鐵礦石的價(jià)格c如下表:ab(萬(wàn)噸)c(百萬(wàn)元)A50%13B70%0.56某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬(wàn)噸)鐵,若要求CO2的排放量不超過(guò)2(萬(wàn)噸),則購(gòu)買鐵礦石的最少費(fèi)用為_(百萬(wàn)元).答案:1515.(2010陜西,理15)考生注意:請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評(píng)分A.(不等式選做題)不等式|x+3|-|x-2|3的解集為_.B.(幾何證明選做題)如圖,已知RtABC的兩條直角邊AC,BC的長(zhǎng)分別為3 cm,4 cm,以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D,則=_.C.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為sin=1,則直線l與圓C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_.答案:A.x|x1 B. C.(-1,1),(1,1)三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi).16.(2010陜西,理16)已知an是公差不為零的等差數(shù)列,a1=1,且a1,a3,a9成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng);(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.解:(1)由題設(shè)知公差d0,由a1=1,a1,a3,a9成等比數(shù)列得,解得d=1,d=0(舍去),故an的通項(xiàng)an=1+(n-1)1=n.(2)由(1)知,由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得Sn=2+22+23+2n=2n+1-2.17.(2010陜西,理17)如圖,A,B是海面上位于東西方向相距5(3+)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn).現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45,B點(diǎn)北偏西60的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào),位于B點(diǎn)南偏西 60且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救,其航行速度為30海里/小時(shí),該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間?解:由題意知AB=5(3+)海里,DBA=90-60=30,DAB=90-45=45,ADB=180-(45+30)=105.在DAB中,由正弦定理得,DB=(海里).又DBC=DBA+ABC=30+(90-60)=60,BC=20海里,在DBC中,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BDBCcosDBC=300+1 200-21020=900,CD=30(海里),則需要的時(shí)間t=1(小時(shí)).答:救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí).18.(2010陜西,理18)如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,E,F分別是AD,PC的中點(diǎn).(1)證明:PC平面BEF;(2)求平面BEF與平面BAP夾角的大小.解法一:(1)如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.AP=AB=2,BC=AD=2,四邊形ABCD是矩形,A,B,C,D,P的坐標(biāo)為A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).又E,F分別是AD,PC的中點(diǎn),E(0,0),F(1,1).=(2,2,-2),=(-1,1),=(1,0,1).=-2+4-2=0,=2+0-2=0., .PCBF,PCEF,BFEF=F.PC平面BEF.(2)由(1)知平面BEF的法向量n1=(2,2,-2),平面BAP的法向量n2=(0,2,0),n1n2=8.設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為,則cos=|cosn1,n2|=,=45.平面BEF與平面BAP的夾角為45.解法二:(1)連接PE,EC,在RtPAE和RtCDE中,PA=AB=CD,AE=DE,PE=CE,即PEC是等腰三角形.又F是PC的中點(diǎn),EFPC.又BP=BC,F是PC的中點(diǎn),BFPC.又BFEF=F,PC平面BEF.(2)PA平面ABCD,PABC.又ABCD是矩形,ABBC.BC平面BAP,BCPB.又由(1)知PC平面BEF,直線PC與BC的夾角即為平面BEF與平面BAP的夾角.在PBC中,PB=BC,PBC=90,PCB=45.平面BEF與平面BAP的夾角為45.19.(2010陜西,理19)為了解學(xué)生身高情況,某校以10%的比例對(duì)全校700名學(xué)生按性別進(jìn)行分層抽樣調(diào)查,測(cè)得身高情況的統(tǒng)計(jì)圖如下:(1)估計(jì)該校男生的人數(shù);(2)估計(jì)該校學(xué)生身高在170185 cm之間的概率;(3)從樣本中身高在165180 cm之間的女生中任選2人,求至少有1人身高在170180 cm之間的概率.解:(1)樣本中男生人數(shù)為40,由分層抽樣比例為10%估計(jì)全校男生人數(shù)為400.(2)由統(tǒng)計(jì)圖知,樣本中身高在170185 cm之間的學(xué)生有14+13+4+3+1=35人,樣本容量為70,所以樣本中學(xué)生身高在170185 cm之間的頻率f=0.5,故由f估計(jì)該校學(xué)生身高在170185 cm之間的概率p=0.5.(3)樣本中女生身高在165180 cm之間的人數(shù)為10,身高在170180 cm之間的人數(shù)為4.設(shè)A表示事件“從樣本中身高在165180 cm之間的女生中任取2人,至少有1人身高在170180 cm之間”.則P(A)=1-20.(2010陜西,理20)如圖,橢圓C:=1的頂點(diǎn)為A1,A2,B1,B2,焦點(diǎn)為F1,F2,|A1B1|=,SA1B1A2B2=2SB1F1B2F2. (1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)n是過(guò)原點(diǎn)的直線,l是與n垂直相交于P點(diǎn)、與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)的直線,|=1.是否存在上述直線l使=1成立?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)由|A1B1|=知a2+b2=7,由SA1B1A2B2=2SB1F1B2F2知a=2c,又b2=a2-c2,由解得a2=4,b2=3,故橢圓C的方程為.(2)設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),假設(shè)使=1成立的直線l存在,當(dāng)l不垂直于x軸時(shí),設(shè)l的方程為y=kx+m,由l與n垂直相交于P點(diǎn)且|=1得=1,即m2=k2+1.=1,|=1,即x1x2+y1y2=0.將y=kx+m代入橢圓方程,得(3+4k2)x2+8kmx+(4m2-12)=0,由求根公式可得x1+x2=,x1x2=.0=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2,將代入上式并化簡(jiǎn)得(1+k2)(4m2-12)-8k2m2+m2(3+4k2)=0,將m2=1+k2代入并化簡(jiǎn)得-5(k2+1)=0,矛盾.即此時(shí)直線l不存在.當(dāng)l垂直于x軸時(shí),滿足|=1的直線l的方程為x=1或x=-1,當(dāng)x=1時(shí),A,B,P的坐標(biāo)分別為(1,),(1,-),(1,0),=(0,-),=(0,-).=1.當(dāng)x=-1時(shí),同理可得1,矛盾.即此時(shí)直線l也不存在.綜上可知,使=1成立的直線l不存在.21.(2010陜西,理21)已知函數(shù)f(x)=,g(x)=alnx,aR.(1)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)相交,且在交點(diǎn)處有共同的切線,求a的值和該切線方程;(2)設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),當(dāng)h(x)存在最小值時(shí),求其最小值(a)的解析式;(3)對(duì)(2)中的(a)和任意的a0,b0,證明: ()解:(1)f(x)=,g(x)=(x0),由已知得解得a=,x=e2,兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為(e2,e),切線的斜率為k=f(e2)=.切線的方程為y-e=(x-e2).(2)由條件知h(x)=-alnx(x0),h(x)=.當(dāng)a0時(shí),令h(x)=0,解得x=4a2,當(dāng)0x4a2時(shí),h(x)4a2時(shí),h(x)0,h(