2013年春季學(xué)期線性代數(shù)試卷A.doc

中國(guó)海洋大學(xué) 2013年春季學(xué)期 期末考試卷 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 線性代數(shù)試題A卷 共3頁(yè) 第 1 頁(yè)考試說(shuō)明：本課程為閉卷考試，滿分為：100 分. 題號(hào)一二三四五六總分得分符號(hào)說(shuō)明： 表示矩陣的秩，表示矩陣的伴隨矩陣，表示階單位矩陣，表示矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，是的元素的代數(shù)余子式.一、填空 （18分）1、2、設(shè)是3維列向量，記，若，則 ；3、設(shè)向量組（I）；（II）；（III）；（IV）若（I）、（II）的秩為2，(III)的秩為3，則(IV)的秩為 。4、設(shè)階方陣的一個(gè)特征值為，與其對(duì)應(yīng)的特征向量，則方陣的個(gè)元素之和為 ；5、若階矩陣的特征值為，則 ；授課教師命題教師或命題負(fù)責(zé)人簽字線性代數(shù)課題組院系負(fù)責(zé)人簽字年 月 日數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 線性代數(shù)試題(A卷) 共 3 頁(yè) 第 2 頁(yè)6、設(shè)均為階可逆矩陣，是階矩陣, 且，則 ；二、選擇題 （18分）1. 設(shè)為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第2列的加到第1列得，記，則（ D ）（A） (B) (C) （D）. 2. 設(shè)均為階矩陣,且，則必有（ ）；A或 B C或 D兩矩陣與中，至少有一個(gè)為奇異矩陣3. 維列向量組線性無(wú)關(guān)，則維列向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件為（ ）A向量組可由向量組線性表示B向量組可由向量組線性表示C向量組與向量組等價(jià)D矩陣（）與矩陣（）等價(jià)4. 設(shè)為矩陣，則線性方程組為有解的充分條件是（ ）A是行滿秩的 B是列滿秩的C的秩小于的行數(shù) D的秩小于的列數(shù)5. 與矩陣不相似的矩陣是( )A B C D6. 已知是某個(gè)齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則（ ）A線性無(wú)關(guān) B線性相關(guān)C線性相關(guān) D不是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系三、（24分）1.設(shè)3階矩陣的特征值為1，2，2，為3階單位矩陣,求. （4分）2. 設(shè)是的一組基，求到的過(guò)渡矩陣. （6分）3. 設(shè)為矩陣，為矩陣，若，求證：。（5分）4.設(shè)的伴隨矩陣且，求.（8分）四、（12分）1、設(shè)向量組,線性無(wú)關(guān)，試討論向量組, 的線性關(guān)系.（6分）2、已知均為階矩陣，且，證明.（6分） 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 線性代數(shù)試題(A卷) 共 3 頁(yè) 第 3 頁(yè)五、（15分）設(shè)，已知線性方程組有無(wú)窮多個(gè)解求：（1）；(2)的一般解.六、(15分) 設(shè)二次型.（I）求二次型的矩陣的所有特征值.(II）若二次型的規(guī)范形為，求的值.求正交變換，利用正交變換法將化為標(biāo)準(zhǔn)型. 已知，二次型 的秩為2. 注：.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求正交變換，利用正交變換法將化為標(biāo)準(zhǔn)型.設(shè)為3階方陣，將的第1行加到第2行得矩陣，再交換的第2列與第3 列得單位矩陣，記,則（ B ） (A) (B) (C) (D)設(shè)矩陣，矩陣滿足，其中是的伴隨矩陣，求矩陣； 4階行列式 的值等于（ ） A B C D 計(jì)算已知齊次線性方程組有非零解，則與滿足( )；A或 B或 C D計(jì)算設(shè)是階矩陣，是線性無(wú)關(guān)的維列向量組，是階可逆矩陣，且，則可取為（ ）A BC D設(shè)都是階方陣，且可逆下列各式中，不對(duì)的是（ ）A BCD設(shè)是3階方陣，且，為的伴隨矩陣，求設(shè)是矩陣的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，則線性無(wú)關(guān)的充要條件是（ B ）A B C D(2011)設(shè)3維向量組，不能由，線性標(biāo)出。求：()求；()將，由，線性表出.(2010) 設(shè)，正交矩陣使得為對(duì)角矩陣，若的第1列為,求，(2009) 設(shè)二次型.（I）求二次型的矩陣的所有特征值.(II）若二次型的規(guī)范形為，求的值.求正交變換，利用正交變換法將化為標(biāo)準(zhǔn)型.（15分）設(shè)，已知線性方程組有無(wú)窮多個(gè)解求：（1）；(2)的一般解.設(shè)3維向量組，不能由，線性標(biāo)出。求：()求；()將，由，線性表出.已知為三階實(shí)矩陣，且，求：() 求的特征值與特征向量；() 求設(shè)，已知線性方程組存在2個(gè)不同的解（）求，（）求方程組的通解設(shè)二次型.（）求二次型的矩陣的所有特征值.（）若二次型的規(guī)范形為，求的值.（6）設(shè)則在實(shí)數(shù)域上域與合同的矩陣為（ ）（A）. （B）.（21）2006（本題滿分13分）設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣的各行元素之和均為3，向量是線性方程組的兩個(gè)解。（）求的特征值與特征向量；（）求正交矩陣和對(duì)角矩陣,使得；（）求及，其中為3階單位矩陣。（C）.