高等量子力學(xué) 第二章 算符.ppt

2算符 2 1定義 主要內(nèi)容 2 2算符的代數(shù)運(yùn)算 2 3作用于左矢的算符 2 4厄米算符和幺正算符 2 5投影算符 算符是矢量空間中又一重要概念 在這一節(jié)里 我們?cè)谟沂缚臻g中引入算符 并從左右矢空間的對(duì)應(yīng)關(guān)系去討論算符及其性質(zhì) 這些性質(zhì)很容易回到單一空間的表示方法中去 2 1定義 在算符的定義中 被算符A作用的右矢全體 稱(chēng)為A的定義域 得出的右矢全體稱(chēng)為值域 二者可以不同 也可以部分或完全重合 通常算符的定義域與值域都是整個(gè)空間 一個(gè)算符A 其定義域是一個(gè)矢量空間 而又滿足下列條件的 稱(chēng)為線性算符 2 1 滿足下列二條件的 稱(chēng)為反線性算符 2 2 其中a是任意常數(shù) 在量子力學(xué)中出現(xiàn)的算符 絕大多數(shù)都是線性算符 下面我們只討論線性算符 算符對(duì)其定義域中每一個(gè)右矢作用 都應(yīng)有確定的結(jié)果 定義一個(gè)具體的算符應(yīng)當(dāng)規(guī)定其定義域 并指出它對(duì)其定義域中每一個(gè)矢量作用的結(jié)果 而確定一個(gè)具體的線性算符 只須規(guī)定它對(duì)其定義域中的一組線性無(wú)關(guān)的右矢 例如一組基矢 中每個(gè)右矢的作用結(jié)果即可 線性算符的定義域 可以是整個(gè)右矢空間本身 也可以是它的一個(gè)子空間 可以證明 線性算符具有下列性質(zhì) 1 線性算符的值域也是右矢空間 大空間本身或其子空間 2 若定義域是有限維的空間 則值域空間的維數(shù)等于或小于定義域空間的維數(shù) 3 在定義域中 那些受A的作用得到零矢量的右矢全體 也構(gòu)成一個(gè)右矢空間 定義域的子空間 復(fù)數(shù)對(duì)右矢的數(shù)乘 可以看成算符對(duì)右矢的作用 每一個(gè)復(fù)數(shù)都可以看成一個(gè)算符 其定義域和值域均為全空間 其中兩個(gè)特殊的算符 這時(shí)我們記作 則說(shuō)這兩個(gè)算符是可對(duì)易的 或稱(chēng)為兩個(gè)算符對(duì)易 定義 2 2 經(jīng)常使用的幾個(gè)對(duì)易關(guān)系 由上述定義可知 除交換律不一定成立外 算符之間服從一般的加 減 乘和冪次的代數(shù)運(yùn)算法則 等等 可以用算符和復(fù)數(shù)構(gòu)成一個(gè)多項(xiàng)式作為算符的函數(shù) 甚至可以構(gòu)成無(wú)窮級(jí)數(shù) 我們不去仔細(xì)考察由此引起的數(shù)學(xué)問(wèn)題 例如可以寫(xiě) 2 3 注意上式是算符的指數(shù)函數(shù)的定義式 在此定義下 關(guān)系式 不是所有的算符都有逆 一個(gè)算符A有逆的條件如下 定理設(shè)A是一個(gè)定義域和值域都在全空間的線性算符 若有另外兩個(gè)線性算符B和C存在 滿足 AB 1 CA 1 2 4 則算符A有逆 而且 證明 我們證明這樣的A滿足有逆條件 1 和 2 定理證畢 2 2算符的代數(shù)運(yùn)算 在量子力學(xué)中 經(jīng)常出現(xiàn)不可對(duì)易線性算符的代數(shù)運(yùn)算 在這一小節(jié)里 我們舉幾個(gè)較復(fù)雜的運(yùn)算例子 并且用代數(shù)方法證明兩個(gè)常用的算符等式 2 9 和 2 14 兩式 2 5 例1 證明 2 8 證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)n 1時(shí)上式為 原式成立 下面我們從原式出發(fā) 推出用n 1代替n的同樣形式的式子 將原式從左方用A作用 得 在上式右邊第二個(gè)取和式中 取j i 1 得 將此式的求和傀標(biāo)j再改成i 即可與第一和式相加 于是得 這是與原式完全相同的形式 只是原來(lái)的n成為n 1 這說(shuō)明原式若對(duì)n成立 對(duì)n 1亦成立 由于我們已經(jīng)證明原式對(duì)n 1成立 因此 原式對(duì)任何整數(shù)n都成立 證畢 例2 證明 2 9 這是量子力學(xué)中常用的一個(gè)公式 是一個(gè)真正的無(wú)窮級(jí)數(shù) 證明 利用 2 8 式 有 為證明 2 9 式可取 這時(shí) 例5 證明Glauber公式 2 14 證明 令 令 2 3作用于左矢的算符 我們?cè)谟沂缚臻g中定義了算符A 2 17 注意我們對(duì)左矢采用相反的寫(xiě)法 即算符向左作用于左矢 右矢空間 左矢空間 2 19 2 20 將 2 20 式用于右矢空間的算符B 2 21 現(xiàn)在有了左矢和右矢兩個(gè)互為對(duì)偶的空間 而算符是兩個(gè)空間公用的 算符向右可以作用于右矢 向左可以作用于左矢 算符的這種既能向左 又能向右作用的性質(zhì) 是對(duì)偶空間優(yōu)于單一空間的主要之點(diǎn) 證明 定理的必要性是明顯的 我們證明其充分性 2 22 2 23 定理證畢 第6節(jié) 最后 簡(jiǎn)單的提一下單一空間的情況 由于單一空間是右矢空間的復(fù)制品 除了內(nèi)積的說(shuō)法稍加改變以外 單一空間的事情與右矢空間的事情完全一樣 但這里伴算符的引入是在左右矢兩空間進(jìn)行的 在單一空間情況下 要作一點(diǎn)改變 2 24 單一空間的伴算符 2 4厄米算符和幺正算符 一 厄米算符 若算符滿足 則稱(chēng) 為厄米算符或自伴算符 證明 因此 二 等距算符和幺正算符 定理以下三個(gè)命題是等價(jià)的 1 2 3 下面的定理指出了等距算符的主要性質(zhì) 證明 我們依次證明前一條是后一條的充分條件 這就是 2 已知有 從而有 于是得 這就是 1 證畢 幺正算符是滿足以下條件的算符 2 26 幺正算符一定是等距算符 因此有上面定理中指出的性質(zhì) 幺正算符在討論兩組基矢的關(guān)系時(shí)起重要作用 下面給出兩條有關(guān)的定理 證明 證明一組矢量是基矢 只須證明它是正交歸一化的 并且是完全的即可 首先有 由此得 2 27 2 28 三 幺正變換 從幺正算符的性質(zhì)可知 幺正變換不改變矢量的模 也不改變兩矢量的內(nèi)積 從而不改變正交關(guān)系 因此一組基矢經(jīng)過(guò)幺正變換之后仍是這個(gè)空間的基矢 從這一點(diǎn)來(lái)看 在物理上有時(shí)稱(chēng)矢量的幺正變換為矢量 在多維空間中 的轉(zhuǎn)動(dòng) 現(xiàn)在 用幺正算符對(duì)空間中全部矢量進(jìn)行幺正變換 2 29 2 30 2 29 和 2 30 兩式就是矢量與算符的幺正變換 由此可以看出 一個(gè)包含矢量和算符的關(guān)系式 經(jīng)過(guò)幺正變換之后其形式不變 2 5投影算符 2 31 它作用在任意右矢上得 投影算符的性質(zhì) 1 投影算符是線性算符 2 投影算符是厄米算符 右方確實(shí)是實(shí)數(shù) 對(duì)于其它投影算符也可以同樣證明 3 投影算符的重要性是它的冪等性 即 4 完全性 我們也可以討論投向整個(gè)空間的投影 這時(shí)投影算符是 右邊取和是對(duì)所有基矢 這個(gè)投影算符