數(shù)學北師大版八年級下冊圖形的旋轉.doc

2 圖形的旋轉通過具體實例認識旋轉,理解旋轉前后兩個圖形對應點到旋轉中心的距離相等,對應點與旋轉中心的連線所成的角彼此相等的性質.經歷對生活中與旋轉現(xiàn)象有關的圖形進行觀察、分析、欣賞以及動手操作、畫圖等過程,掌握有關畫圖的操作技能,發(fā)展初步的審美能力,增強對圖形欣賞的意識.引導學生用數(shù)學的眼光看待有關問題,發(fā)展學生的數(shù)學觀,學到活生生的數(shù)學.【重點】類比平移與旋轉的異同,掌握旋轉的定義和基本性質,并利用數(shù)學知識解釋生活中的旋轉現(xiàn)象.【難點】探索旋轉的性質,并應用旋轉的性質解決相關問題.第課時1.能說出旋轉的意義,知道什么是旋轉角、什么是旋轉中心,知道旋轉前后兩個圖形的形狀和大小不變.2.理解并能說出旋轉的性質,即旋轉前后兩個圖形中,對應點到旋轉中心的距離相等,任意一組對應點與旋轉中心的連線所成的角都等于旋轉角;對應線段相等,對應角相等.3.能夠運用旋轉的意義和旋轉的性質分析判斷一些簡單的旋轉現(xiàn)象.1.體驗生活中的旋轉現(xiàn)象.2.經歷觀察、分析、欣賞等過程,初步培養(yǎng)學生的審美情感,增強對圖形的欣賞意識.培養(yǎng)學生合作學習、探索學習的意識,追求成功的精神,增強學生自我價值感.【重點】1.認識旋轉在現(xiàn)實生活中的廣泛應用.2.探索和理解旋轉的基本性質.【難點】利用旋轉的基本性質解決相關的問題.【教師準備】實際生活中的旋轉圖片.【學生準備】作圖工具.導入一:(演示俄羅斯方塊游戲)構成游戲的模塊均是由一個小正方形平移變換而來的,通過學生的觀察,發(fā)現(xiàn)除了平移運動之外還有旋轉運動.引導學生列舉出一些具有旋轉現(xiàn)象的生活實例,引出課題:圖形的旋轉.設計意圖由游戲入手,讓學生既感到親切,又從中得到數(shù)學知識,予教育于游戲中,學生易于接受.導入二:請同學們嘗試用自己的語言來描述以下場景.設計意圖用數(shù)學語言描述生活中的數(shù)學,借此引入旋轉的概念.一、建立旋轉的概念過渡語研究生活中的數(shù)學問題,往往都是從建立數(shù)學概念開始的.你能從剛才的情景中領會旋轉及其相關概念嗎?思路一 (1)請同學們嘗試用自己的語言來描述以下場景.如圖所示,在同一平面內,點A繞著定點O旋轉某一角度得到點B; 如圖所示,在同一平面內,線段AB繞著定點O旋轉某一角度得到線段CD; 如圖所示,在同一平面內,三角形ABC繞著定點O旋轉某一角度得到三角形DEF. 觀察了上面圖形的運動,引導學生歸納圖形旋轉的概念.在平面內,將一個圖形繞一個定點按某個方向轉動一個角度,這樣的圖形運動稱為旋轉,這個定點稱為旋轉中心,轉動的角稱為旋轉角.旋轉不改變圖形的形狀和大小(2)情景問題:請同學們觀察上圖,點A,線段AB,ABC分別轉到了什么位置?請找出上圖中其他的對應點、對應線段、對應角,并指出旋轉中心和旋轉角度. 設計意圖點明圖形旋轉中對應點、對應線段及對應角的概念;讓學生及時鞏固并理解旋轉及其相關概念,并為下面探究旋轉的性質做好準備.思路二向學生展示有關的圖片:(1)時鐘上的秒針在不停地轉動;(并介紹順時針方向和逆時針方向)(2)大風車的轉動;(3)飛速轉動的電風扇葉片;(4)汽車上的刮水器;(5)由平面圖形轉動而產生的奇妙圖案.【師生活動】上面現(xiàn)象中,有一個共同的特點,請同學們找出來.【學生活動】都是繞著一個定點按某個方向轉動.總結出旋轉的概念:在平面內,將一個圖形繞一個定點按某個方向轉動一個角度,這樣的圖形運動稱為旋轉,這個定點稱為旋轉中心,轉動的角稱為旋轉角.旋轉不改變圖形的形狀和大小舉例:如圖所示,ABC繞點O按順時針方向旋轉一個角度,得到DEF,點A,B,C分別旋轉到了點D,E,F.點A與點D是一組對應點,線段AB與線段DE是一組對應線段,BAC與EDF是一組對應角.在這一旋轉過程中,點O是旋轉中心,AOD,BOE,COF都是旋轉角.二、探究旋轉的性質如圖(1)所示,兩張透明紙上的四邊形ABCD和四邊形EFGH完全重合,在紙上選取旋轉中心O,并將其固定.把其中一張紙片繞點O旋轉一定角度.(如圖(2)所示).(1)觀察圖(2)的兩個四邊形,你能發(fā)現(xiàn)有哪些相等的線段和相等的角?(2)連接AO,BO,CO,DO,EO,FO,GO,HO,你又能發(fā)現(xiàn)有哪些相等的線段和相等的角?(3)在圖(2)中再取一些對應點,畫出它們與旋轉中心所連成的線段,你又能發(fā)現(xiàn)什么?改變透明紙上所畫圖形的形狀,再試一試,并與同伴交流.【學生活動】小組合作交流,在探究過程中發(fā)現(xiàn)旋轉的性質.【教師點評】旋轉的性質: 一個圖形和它經過旋轉所得的圖形中,對應點到旋轉中心的距離相等,任意一組對應點與旋轉中心的連線所成的角都等于旋轉角;對應線段相等,對應角相等.三、例題講解(補充例題)應用旋轉的概念解決問題.(這一環(huán)節(jié)讓學生進行問題的研究與解答,培養(yǎng)應用數(shù)學知識的意識及解決數(shù)學問題的能力.)(1)如圖所示,ABO繞點O旋轉得到CDO,則:點B的對應點是點;線段OB的對應線段是線段;線段AB的對應線段是線段;A的對應角是;B的對應角是;旋轉中心是點;旋轉角是.答案:DODCDCDOAOC或BOD設計意圖及時鞏固新知,使每個學生都有收獲;感受成功的喜悅,肯定探索活動的意義.(2) 如圖所示,如果正方形CDEF與正方形ABCD是一邊重合的兩個正方形,那么正方形CDEF能否看成是由正方形ABCD旋轉得到的?如果能,請指出旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度及對應點.解:正方形CDEF能看成是由正方形ABCD旋轉得到的.答案不唯一:如旋轉中心點為C,旋轉方向為逆時針,旋轉角度為90度,則點C和C,F和D,E和A,D和B分別為對應點.(3) 如圖所示,香港特別行政區(qū)區(qū)旗中央的紫荊花圖案由5個相同的花瓣組成,它是由其中的一瓣花經過幾次旋轉得到的?旋轉角AOB等于多少度?你知道COD等于多少度嗎? 解:它是由一瓣花經過4次旋轉得到的,旋轉角AOB為72度,COD等于72度.設計意圖加深對旋轉概念的理解,及時鞏固新知識,對于第(2)題要注重引導學生多角度分析解決,第(3)題求AOB的度數(shù),學生根據(jù)五等分周角容易得到,而學生在求COD的度數(shù)時,正好用到旋轉的性質.【想一想】在下圖的四個三角形中,哪個不能由ABC經過平移或旋轉得到?分析:首先從平移考慮:圖(1)可由ABC平移得到;圖(2)、圖(3)、圖(4)不能通過ABC平移得到;其次從旋轉角度考慮:無論ABC以哪個點為旋轉中心,都無法得到圖(2),圖(3)、圖(4)可以由ABC經過旋轉得到.綜合分析,只有圖(2)無法通過ABC平移或旋轉得到.知識拓展旋轉對稱圖形.“旋轉對稱圖形?沒聽說過!”是的,你可能沒聽說過,但你一定聽說過軸對稱圖形.所謂軸對稱圖形,就是沿著某條直線折疊后,直線兩旁的部分能夠互相重合的圖形,這樣的圖形我們知道很多,剪紙“紅雙喜”就是一個典型的例子.隨便拿一個軸對稱圖形,放到桌子上,你一定可以將它翻轉過來,而得到的圖形和原來一模一樣,別人根本看不出你已經翻轉了這個圖形.這就是圖形的軸對稱性.那么,是否有圖形經過旋轉后還和原來的圖形一模一樣呢?還是從我們熟悉的圖形入手吧.將一個正方形紙片放在桌上,你一定能旋轉該紙片,得到的圖形和原來的一模一樣,別人根本看不出你已經旋轉了這張紙片.這就是旋轉對稱圖形.顯然正方形是旋轉對稱圖形,繞著它的對角線交點(中心)旋轉90的整倍數(shù)后能與自身重合(如圖所示).一般地,如果把一個圖形繞著某一點旋轉一定角度(小于360)后,能夠與原來的圖形重合,那么這個圖形叫做旋轉對稱圖形,這個點叫做它的對稱中心.【反思】正方形是旋轉對稱圖形,其他正多邊形是否也具有這個性質呢?做一個正三角形的紙片,試著旋轉這個紙片使得它和原來重合,看看旋轉中心是哪個、旋轉角等于多少?不難得出旋轉中心是正三角形的中心,旋轉角等于120的倍數(shù).(如圖所示)實際上,不難發(fā)現(xiàn),正五邊形繞中心旋轉72的整數(shù)倍后與原圖形重合;正六邊形繞中心旋轉60的整數(shù)倍后與原圖形重合;正八邊形繞中心旋轉45的整數(shù)倍后與原圖形重合;正n邊形繞中心旋轉的整數(shù)倍后與原圖形重合.圓繞圓心旋轉任意角度與原圖形重合.【舉一反三】1.判斷下列命題的真假.(在相應的括號內填上“真”或“假”)(1)兩腰相等的梯形是旋轉對稱圖形,它有一個旋轉角為180.(假)(2)長方形是旋轉對稱圖形,它有一個旋轉角為180.(真)2.下列圖形中是旋轉對稱圖形,且有一個旋轉角為120的是.(寫出所有正確結論的序號)正三角形;正方形;正六邊形;正八邊形.3.寫出兩個多邊形,它們都是旋轉對稱圖形,都有一個旋轉角為72.答案不唯一,如正五邊形和正十邊形.旋轉的定義:在平面內,將一個圖形繞一個定點按某個方向轉動一個角度,這樣的圖形運動稱為旋轉,這個點稱為旋轉中心,轉動的角稱為旋轉角.旋轉不改變圖形的形狀和大小.旋轉的性質:對應點到旋轉中心的距離相等,任意一組對應點與旋轉中心的連線所成的角都等于旋轉角;對應線段相等,對應角相等.1.如圖所示,如果把鐘表的指針看做四邊形AOBC,它繞O點旋轉得到四邊形DOEF.在這個旋轉過程中: (1)旋轉中心是什么? (2)經過旋轉,點A,B分別移動到什么位置?(3)旋轉角是什么?(4)AO與DO的長有什么關系?BO與EO呢?(5)AOD與BOE有什么數(shù)量關系?解:(1)旋轉中心是點O.(2)經過旋轉,點A,B分別移動到點D和E.(3)旋轉角是AOD或BOE.(4)AO與DO的長相等,BO與EO的長相等.(5)AOD=BOE.2.如圖所示,正方形ABCD中,E是AD上一點,將CDE逆時針旋轉后得到CBM.如果連接EM,那么CEM是怎樣的三角形?解:由旋轉的性質可得:CE=CM,ECM=DCB=90,所以CEM是等腰直角三角形.3.如圖所示,P是等邊三角形ABC內的一點,把ABP通過旋轉分別得到CBQ和ACR.(1)分別指出旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度?(2)ACR是否可以直接通過CBQ旋轉得到?解:(1)ABP繞點A逆時針旋轉60得到ACR,ABP繞點B順時針旋轉60得到CBQ.(2) ACR可以直接通過CBQ旋轉得到.第1課時一、建立旋轉的概念二、探究旋轉的性質三、例題講解一、教材作業(yè)【必做題】教材第77頁隨堂練習的1,2題.【選做題】教材第77頁習題3.4的1,2題.二、課后作業(yè)【基礎鞏固】1.平面圖形的旋轉一般情況下改變圖形的()A.位置B.大小C.形狀D.性質2.9點鐘時,鐘表的時針和分針之間的夾角是()A.30B.45C.60D.903.將正方形ABCD旋轉到正方形ABCD的位置,下列結論錯誤的是()A.AB=ABB.ABABC.A=AD.ABCABC4.如圖所示,請仔細觀察A,B,C,D四個圖案,其中能通過E圖案旋轉得到的是()5.如圖所示,把菱形ABOC(四條邊都相等)繞點O順時針旋轉得到菱形DFOE,則下列角中,不是旋轉角的為()A.BOFB.AODC.COED.AOF【能力提升】6.鐘表上的指針隨時間的變化而移動,這可以看做是數(shù)學上的.7.ABC繞一點旋轉到ABC,則ABC和ABC的關系是.8.鐘表的時針經過20分鐘,旋轉了度.9.圖形的旋轉只改變圖形的,而不改變圖形的.10.等邊三角形至少要旋轉度才能與自身重合.11.下圖中的兩個正方形的邊長相等,請你指出可以通過繞點O旋轉而相互得到的圖形并說明旋轉的角度.(寫出三對即可)【拓展探究】12.(2015佛山中考)如圖所示,ABC的三個頂點都在方格紙的格點上,其中點A的坐標是(-1,0).現(xiàn)將ABC繞點A順時針旋轉90,則旋轉后點C的坐標是.13.如圖所示,邊長為4的正方形ABCD繞點D逆時針旋轉30后能與四邊形ABCD重合.(1)旋轉中心是哪一點?(2)四邊形ABCD是怎樣的圖形?面積是多少?(3)求CDC和CDA的度數(shù).(4)連接AA,求DAA的度數(shù).【答案與解析】1.A2.D(解析:9點鐘時,鐘表的時針和分針之間有3個格,每個30,故夾角是90.)3.B(解析:由旋轉的性質可知,對應邊相等但不一定平行.)4.C(解析:把E圖案繞著圖形的中心逆時針旋轉120可以得到圖案C.)5.D(解析:點A和點F不是對應點,所以AOF不是旋轉角.)6.旋轉(解析:鐘表上的指針是繞著鐘表的中心轉動的.)7.全等(解析:旋轉前后的圖形形狀和大小不變,是全等圖形.)8.10(解析:時針每小時旋轉30度.)9.位置形狀和大小(解析:由圖形旋轉的定義可知.)10.120(解析:等邊三角形的三邊相等,每個頂點和三角形的中心的連線的夾角為120,故等邊三角形至少要旋轉120度才能與自身重合.)11.解: 答案不唯一,如OAE和OBF,OEB和OFC,OAB和OBC,它們旋轉的角度都是90.12.(2,1)(解析:如圖所示,旋轉后點C的對應點C1坐標是(2,1).)13.解:(1)旋轉中心是點D.(2)四邊形ABCD是由正方形ABCD(其面積為16)旋轉得來的,旋轉不改變圖形的形狀和大小,所以四邊形ABCD是正方形,其面積為16.(3)因為C與C是對應點,而對應點與旋轉中心連線所成的角等于旋轉角,由題意知圖形繞點D旋轉30,所以CDC=30.又因為四邊形ABCD是正方形,所以CDA=90,所以CDA=CDA-CDC=60.(4)根據(jù)旋轉的特征,對應點到旋轉中心的距離相