(終3)芻議中考數(shù)學(xué)試卷中的“課題學(xué)習(xí)”.doc

芻議中考數(shù)學(xué)試卷中的“課題學(xué)習(xí)”南京市教學(xué)研究室 朱建明“課題學(xué)習(xí)”是全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準在“實踐與綜合應(yīng)用”課程領(lǐng)域設(shè)置的全新的課程內(nèi)容，主要幫助學(xué)生綜合運用已有的知識和經(jīng)驗，經(jīng)過自主探索和合作交流，解決與生活經(jīng)驗密切聯(lián)系的、具有一定挑戰(zhàn)性和綜合性的問題，以發(fā)展學(xué)生解決問題的能力，加深對“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”、“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容的理解，體會各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系“課題學(xué)習(xí)”在中考數(shù)學(xué)試卷中掛牌始于2004年，至2007年，全國各地的數(shù)學(xué)中考試卷中已出現(xiàn)了許多立意深、情景新和思維價值高的“課題學(xué)習(xí)”，下面以2007年全國各地的數(shù)學(xué)中考試題為例，談?wù)勚锌紨?shù)學(xué)試卷中的“課題學(xué)習(xí)”的新特點一、突出綜合中考數(shù)學(xué)試卷中的“課題學(xué)習(xí)”的綜合性主要體現(xiàn)在兩個方面，其一是知識內(nèi)容的綜合性，例如把“數(shù)與代數(shù)”與“空間與圖形”的內(nèi)容進行綜合；其二是學(xué)生在解決問題的過程中需要綜合運用數(shù)學(xué)知識、經(jīng)驗和方法進行求解例1（2007年湖北省孝感市中考試題）在我們學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)教科書中，有一個數(shù)學(xué)活動，其具體操作過程是：第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖1）；第二步：再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN（如圖2）圖2圖1（圖1） （圖2） 請解答以下問題：（1）如圖2，若延長MN交BC于P，BMP是什么三角形？請證明你的結(jié)論（2）在圖2中，若ABa，BCb，a、b滿足什么關(guān)系，才能在矩形紙片ABCD上剪出符合（1）中結(jié)論的三角形紙片BMP？（3）設(shè)矩形ABCD的邊AB=2，BC=4，并建立如圖3所示的直角坐標系設(shè)直線BM為ykx，當MBC60時，求k的值此時，將ABM沿BM折疊，點A是否落在EF上（E、F分別為AB、CD中點）？為什么？圖3評注：本題將“數(shù)與代數(shù)”與“空間與圖形”的知識內(nèi)容進行了綜合，不僅涉及三角形、四邊形知識，還涉及函數(shù)、方程和不等式的知識，綜合性強，思維價值高，需要學(xué)生在理解折疊紙片的基礎(chǔ)上，綜合運用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題，本題可以較好地考查學(xué)生探索研究新問題的能力二、呈現(xiàn)過程中考數(shù)學(xué)試卷中的“課題學(xué)習(xí)”能呈現(xiàn)整個“具體而微”的學(xué)習(xí)過程，有的問題的解決能使學(xué)生經(jīng)歷“問題情境建立模型求解解釋與應(yīng)用”的全過程，有的問題能體現(xiàn)研究問題的一般思維過程，如滲透猜想、合情推理到邏輯推理的過程雖然中考考場不可能復(fù)制“課題學(xué)習(xí)”的實踐過程，但試題的設(shè)計可以呈現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，表現(xiàn)為學(xué)生獨立地利用數(shù)學(xué)知識和其他相關(guān)知識分析問題和解決問題的過程，這個過程也是學(xué)生自主探索研究的過程，它是“課題學(xué)習(xí)”探究過程的微觀呈現(xiàn)ABFCDEP圖4例2（2007年江蘇省淮安市中考試題）某班研究性學(xué)習(xí)小組，到校外進行數(shù)學(xué)探究活動，發(fā)現(xiàn)一個如圖所示的支架PAB，于是他們利用手中已有的工具進行一系列操作，并得到了相關(guān)數(shù)據(jù)，從而可求得支架頂端P到地面的距離實驗工具：3米長的卷尺；鉛垂線(一端系著圓錐型鐵塊的細線)實驗步驟：第一步，量得支架底部A、B兩點之間的距離；第二步，在AP上取一點C，掛上鉛垂線CD，點D恰好落在直線AB上，量得CD和AD的長；第三步，在BP上取一點E，掛上鉛垂線EF，點F恰好落在直線AB上，量得EF和BF的長實驗數(shù)據(jù)：線段ABCDADEFBF長度(米)2.510.81.20.6問：（1）根據(jù)以上實驗數(shù)據(jù)，請你計算支架頂端P到地面的距離(精確到0.1米)；（2）假定你是該小組成員，請你用一句話談?wù)劚敬螌嵺`活動的感受評注：測量支架頂端到地面的距離與測量樹的高度或旗桿的高度本質(zhì)上是一樣的，它們是數(shù)學(xué)中經(jīng)典的“課題學(xué)習(xí)”，能使學(xué)生經(jīng)歷“問題情境建立模型求解解釋與應(yīng)用”的全過程，整個測量過程雖然不可能復(fù)制測量的實踐過程，但可以呈現(xiàn)學(xué)生“具體而微”的研究過程，這個過程需要學(xué)生從問題出發(fā)，理解操作步驟、自我尋找實施解決問題的方法、并不斷進行調(diào)整，進而求出問題的答案，本題突出了對學(xué)生解決問題過程考查以及解決問題的方法和經(jīng)驗的考查例3（2007年湖北省荊門市中考試題）1問題背景：某校九年級(1)班課題學(xué)習(xí)小組對家庭煤氣的使用量做了研究，其實驗過程和對數(shù)據(jù)的處理如下仔細觀察現(xiàn)在家庭使用的電子打火煤氣灶，發(fā)現(xiàn)當關(guān)著煤氣的時候，煤氣旋鈕（以下簡稱旋鈕)的位置為豎起方向，把這個位置定為0，煤氣開到最大時，位置為90（以0位置作起始邊，旋鈕和起始邊的夾角）在090之間平均分成五等分，代表不同的煤氣流量，它們分別是18，36，54，72，90，見圖5圖5 不同旋鈕位置示意圖位置燒開一壺水所需流量時間(分)煤氣量(m3)m3/分18190.130.006836160.120.007654130.140.010772120.150.012490100.170.0172在這些位置上分別以燒開一壺水(3.75升)為標準，記錄所需的時間和所用的煤氣量并根據(jù)旋鈕位置以及燒開一壺水所需時間(用t表示)、所用煤氣量(用v表示)，計算出不同旋鈕位置所代表的煤氣流量(用L表示)，L=v/t，數(shù)據(jù)見右表這樣為可以研究煤氣流量和燒開一壺水所需時間及用氣量之間的關(guān)系了2任務(wù)要求：（1）作圖：將下面圖6中的直方圖補充完整；在圖7中作出流量與時間的折線圖圖7 煤氣流量和燒開一壺水所需時間關(guān)系圖6 煤氣流量和燒開一壺水所需煤氣量關(guān)系圖（2）填空：從圖2可以看出，燒開一壺水所耗用的最少煤氣量為_m2，此時旋鈕位置在_從圖3可以看出，不考慮煤氣用量，燒開一壺水所用的最短時間為_分鐘，此時旋鈕位置在_（3）通過實驗，請你對上述結(jié)果(用煤氣燒水最省時和最省氣)作一個簡要的說明評注：本題的設(shè)計充分展現(xiàn)了研究實際問題的一般過程，這個過程也正是學(xué)生在試題的導(dǎo)引下完整地經(jīng)歷下列研究過程：問題的提出、設(shè)計實驗過程、觀察收集數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)、獲得有價值的結(jié)論，這也是學(xué)生自主研究過程，它是“課題學(xué)習(xí)”過程的微觀呈現(xiàn)另外本題還關(guān)注差異性，考查層次分明，能使不同水平的學(xué)生展示不同的探究水平和能力三、滲透方法滲透方法是中考數(shù)學(xué)試卷中的“課題學(xué)習(xí)”的一個重要特征，這里的方法不僅有研究問題的一般方法，例如從特殊到一般，從猜想、合情推理到邏輯推理驗證等，還有解決問題的常用方法，例如在解決問題過程中的模型選擇，歸納、類比的方法等例4（2007年江蘇省連云港市中考試題）如圖8，點C將線段AB分成兩部分，如果，那么稱點C為線段AB的黃金分割點某研究小組在進行課題學(xué)習(xí)時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1，S2，如果，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線（1）研究小組猜想：在ABC中，若點D為AB邊上的黃金分割點（如圖9），則直線CD是ABC的黃金分割線你認為對嗎？為什么？（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？（3）研究小組在進一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點C任作一條直線交AB于點E，再過點D作直線DFCE，交AC于點F，連接EF（如圖10），則直線EF也是ABC的黃金分割線請你說明理由A圖8ADB圖9CADB圖10CFEFCBDEA圖11（4）如圖11，點E是 ABCD的邊AB的黃金分割點，過點E作EFAD，交DC于點F，顯然直線EF是 ABCD的黃金分割線請你畫一條 ABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過 ABCD各邊黃金分割點評注：本題以新定義“黃金分割線”出發(fā)，滲透了研究問題一般方法：從猜想、合情推理到邏輯推理驗證，同時從簡單或特殊的情形入手，并將從簡單或特殊情形獲得的結(jié)論或研究方法遷移到較復(fù)雜的情形本題中，先要求學(xué)生研究三角形的黃金分割線，然后用類比的方法研究平行四邊形的黃金分割線，充分體現(xiàn)了“課題學(xué)習(xí)”的教育價值F圖12ABCEDHG（2ba）例5（2007年河北省中考試題）在圖12中，正方形ABCD的邊長為a，等腰直角三角形FAE的斜邊AE2b，且邊AD和AE在同一直線上操作示例：當2ba時，如圖13，在BA上選取點G，使BGb，連結(jié)FG和CG，裁掉FAG和CGB并分別拼接到FEH和CHD的位置構(gòu)成四邊形FGCH思考發(fā)現(xiàn)：小明在操作后發(fā)現(xiàn)：該剪拼方法就是先將FAG繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)90到FEH的位置，易知EH與AD在同一直線上連結(jié)CH，由剪拼方法可得DH=BG，故CHDCGB，從而又可將CGB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90到CHD的位置這樣，對于剪拼得到的四邊形FGCH（如圖14-1），過點F作FMAE于點M（圖略），利用SAS公理可判斷HFMCHD，易得FH=HC=GC=FG，F(xiàn)HC=90進而根據(jù)正方形的判定方法，可以判斷出四邊形FGCH是正方形實踐探究：（1）正方形FGCH的面積是 ；（用含a，b的式子表示）圖14FABCDE圖15FABCDE圖13FABC(E)D（2ba）（a2b2a）（ba）（2）類比圖12的剪拼方法，請你就圖13圖15的三種情形分別畫出剪拼成一個新正方形的示意圖F圖16ABCED（ba）聯(lián)想拓展：小明通過探究后發(fā)現(xiàn)：當ba時，此類圖形都能剪拼成正方形，且所選取的點G的位置在BA方向上隨著b的增大不斷上移當ba時，如圖16的圖形能否剪拼成一個正方形？若能，請你在圖中畫出剪拼的示意圖；若不能，簡要說明理由評注：本題也揭示了研究問題的重要方法：操作、思考發(fā)現(xiàn)、實踐探究、聯(lián)想拓展，而且本題也采用了類比的研究方法，將圖形割補的方法，使用在在某種屬性上相同或相似的其他圖形上，凸現(xiàn)了這種研究方法的重要價值四、體現(xiàn)開放中考數(shù)學(xué)試卷中的“課題學(xué)習(xí)”能使學(xué)生產(chǎn)生豐富多彩的研究體驗和個性化的創(chuàng)造性的表現(xiàn)，是考查學(xué)生創(chuàng)新意識的重要載體，所以活動過程或者結(jié)果常常具有開放性例6（2007年廣東省梅州市中考試題）梅林中學(xué)租用兩輛小汽車（設(shè)速度相同）同時送1名帶隊老師及7名九年級的學(xué)生到縣城參加數(shù)學(xué)競賽，每輛限坐4人（不包括司機）其中一輛小汽車在距離考場15km的地方出現(xiàn)故障，此時離截止進考場的時刻還有42分鐘，這時唯一可利用的交通工具是另一輛小汽車，且這輛車的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下車時間忽略不計）（1）若小汽車送4人到達考場，然后再回到出故障處接其他人，請你能過計算說明他們能否在截止進考場的時刻前到達考場；（2）假如你是帶隊的老師，請你設(shè)計一種運送方案，使他們能在截止進考場的時刻前到達考場，并通過計算說明方案的可行性評注：本題是方案設(shè)計型課題學(xué)習(xí)在設(shè)計一個運送考生的方案時，要有一定的預(yù)見性，但如何設(shè)計方案、如何通過計算說明和驗證方案的可行性都因人而異，具有較大的開放性，也體現(xiàn)了“課題學(xué)習(xí)”的個性化特征本題中典型的方案有：可以先將4人用車送到考場，另外4人同時步行前往考場，汽車到考場后返回到與另外4人的相遇處再載他們到考場；也可以8人同時出發(fā)，4人步行，先將4人用車送到離出發(fā)點的處，然后這4個人步行前往考場，車回去接應(yīng)后面的4人，使他們跟前面4人同時到達考場客觀地看，“課題學(xué)習(xí)”的教學(xué)現(xiàn)實不容樂觀，或重視不夠，或落實不夠，或操作失范，等等在這種情況下，在中考數(shù)學(xué)試卷中設(shè)