材料力學能量法PPT參考課件.ppt

材 中 1 一 外力功與應變能 1 外力功W 載荷在其作用點位移上所作的功 1 常力作功 彈性固體的應變能 材 中 2 對于一般彈性體 F D圖下方面積 2 靜載作功 靜載是指從零開始逐漸地 緩慢地加載到彈性體上的載荷 靜載作功屬于變力作功 材 中 3 對于線彈性體 2 應變能Ve 彈性體因變形而儲存的能量 稱為應變能 由能量守恒定律 儲存在彈性體內的應變能Ve在數(shù)值上等于外力所作的功W 忽略能量損失 即Ve W F為廣義力 D為與力對應的廣義位移 材 中 4 二 線彈性體的應變能 1 軸向拉壓 FN為變量時 材 中 5 2 扭轉 T為變量時 材 中 6 3 平面彎曲 橫力彎曲時忽略剪力對應變能的影響 如矩形截面 當l b 10時 剪力的應變能只占彎矩應變能的3 純彎曲 橫力彎曲M x 為變量 材 中 7 應變能Ve是內力 FN T M 的二次函數(shù) 應變能一般不符合疊加原理 但若幾種載荷只在本身的變形上作功 而在其它載荷引起的變形上不作功 則應變能可以疊加 材 中 8 一 能量法利用能量原理解決力學問題的方法 可用來求解變形 靜不定 動載荷 穩(wěn)定等問題 第十章能量法 10 1概述 二 外力功與應變能 1 外力功W 載荷在其作用點位移上所作的功 屬于變力作功 材 中 9 彈性體因載荷引起的變形而儲存的能量 2 應變能 三 功能原理 條件 1 彈性體 線彈性 非線彈性 2 靜載荷 可忽略彈性體變形過程中的能量損失 原理 外力功全部轉化成彈性體的應變能 Ve W 材 中 10 解 建立坐標系 求外力功W和應變能Ve 列彎矩方程M Fx 0 x l 僅僅只能求力作用點與力相對應的位移 其它位移的求解有待進一步研究功能原理 材 中 11 解 A點的位移等于 桿的變形Dl3 由功能原理有 1 由平衡方程和對稱條件有 2 3 2 3 代入 1 得 變形幾何方程 1 考慮物理方程得 2 3 代入上式并化簡得得 幾何方程和物理方程的聯(lián)立 材 中 12 Fi為集中力 Di為該力作用點沿力方向的線位移 Fi為力偶 則Di為該力偶作用面內沿力偶轉向的角位移 轉角 Di簡稱為與力Fi 相 對應的位移 10 2互等定理 Fi 廣義力 集中力 力偶 Di 廣義位移 線位移 角位移 一 外力功的計算 材 中 13 對于一般彈性體 F D圖下方面積 靜載是指從零開始逐漸地 緩慢地加載到彈性體上的載荷 靜載作功屬于變力作功 外力功屬于靜載作功 對于線彈性體 F為廣義力 D為廣義位移 材 中 14 二 外力功與變形能的特點 如果外力功和變形能與加載順序有關 會出現(xiàn)什么結果 按一種順序加載 按另一種順序卸載 能量還能守恒么 反證法 材 中 15 先加F1后加F2 先加F2后加F1 不同加載次序外力功均相同 若按比例同時加載 外力同時達到最終值 即比例加載 外力功不變 材 中 16 注意 各載荷和位移都是指最終值 所以是常數(shù) 三 克拉貝依隆 Clapeyron 原理 線彈性體上 作用有載荷F1 F2 Fi Fn與外力方向相應的位移為D1 D2 Di Dn由線彈性體的疊加原理 各位移是載荷的線性函數(shù) 材 中 17 設各外載荷有一增量 于是位移亦有一增量 載荷在位移增量上所作的元功為 dW F1 dD1 Fi dDi Fn dDn lF1d lD1 lFid lDi lFnd lDn F1D1 FiDi FnDn ldl 外力作的總功為 材 中 18 設各外載荷按相同的比例 從零開始緩慢增加到最終值 即任一時刻各載荷的大小為 注意 帶星號上標的載荷和位移都是中間值 所以是變數(shù) 隨著l的變化而變化 材 中 19 線彈性體的外力功或變形能等于每一外力與其對應位移乘積之半的總和 圖示撓曲線為所有力共同作用下的撓曲線 各點位移都不是單個力引起的 是所有力共同作用下的位移 D1既有F1的作用 也有F2 Fi的作用 所以Clapeyron原理不符合疊加原理 材 中 20 材 中 21 組合變形 整個桿件的應變能為 材 中 22 Dii和Dij第一個下標i表示i點的位移 第二個下標i和j分別表示是由i點和j點的力引起的位移 Dji和Djj亦可以類推得到 四 功的互等定理 線彈性體 材 中 23 先加Fi 后加Fj 外力功為 外力功W與加載順序無關 改變加載順序可得到相同的外力功 材 中 24 先加Fj 外力功為 后加Fi 先加Fi后加Fj外力功為 材 中 25 Clapeyron原理 外力功和變形能不符合疊加原理 材 中 26 線彈性體上甲力在乙力引起的位移上作的功 等于乙力在甲力引起的位移上作的功 一般地 第一組力在第二組力引起的相應位移上所作的功 等于第二組力在第一組力引起的相應位移上所作的功 材 中 27 抗彎剛度為EI的簡支梁承受均布載荷q 已知其跨中撓度 如圖所示 試用功的互等定理求該梁承受跨中載荷F時 梁撓曲線與原始軸線所圍成的面積 解 設第一組力為F 梁上各點的撓度為w x 撓曲線與原始軸線圍成的面積 第二組力q作用時 它在梁跨中引起的撓度為wC 由功的互等定理 材 中 28 解 解除C處約束的工件可簡化為懸臂梁 F FC作為第一組力 懸臂梁在C處加單位力1作為第二組力 第一組力在第二組力引起的位移上所作的功等于第二組力在第一組力引起的位移上所作的功為零 C為鉸支 材 中 29 解 第一種情況下 A處的約束力為FA1 第二種情況下 A處的約束力為FA 由功的互等定理有 材 中 30 若Fi Fj F 則Dij Dji 線彈性體上作用在j處的一個力引起i處的位移 等于它作用在i處引起j處的位移 五 位移互等定理 功的互等定理 解 沿桿件軸線加相同的一對力 下圖中 材 中 31 材 中 32 位移互等定理 單位力 若Fi Fj 1 無量綱 稱為單位力 材 中 33 位移互等定理 注意 功 位移 互等定理只適用于線彈性小變形體 作用在j處的單位力引起i處的位移 等于作用在i處的單位力引起j處的位移 材 中 34 材 中 35 關于互等定理 材 中 36 關于互等定理 功的互等 材 中 37 討論 百分表 懸臂梁受力如圖示 現(xiàn)用百分表測量梁在各處的撓度 請設計一實驗方案 移動百分表 固定百分表 關于互等定理 百分表固定在B處 移動載荷 材 中 38 WC 顯然余功WC WC F 余能VC VC F F D圖上方面積 一 余功及余能 10 3余能定理與卡氏定理 定義與外力功及應變能互補的余功及余能 余功和余能均為廣義載荷的函數(shù) 材 中 39 二 余能定理 設任意彈性體 可以是非線性彈性體 上作用廣義載荷F1 F2 Fi 對應點的位移為D1 D2 Di 無剛性位移 余能VC VC F1 F2 Fi 是載荷的函數(shù) 如果只有廣義載荷Fi有一個增量dFi 余功增量為dWC DidFi 材 中 40 余能增量為 dWC dVC 余能 Crotti Engesser 定理彈性體 線性和非線性 某載荷作用點處的位移 等于彈性體的余能對該載荷的一階偏導數(shù) 材 中 41 i為正 表示位移方向 轉向 和力Fi的方向 轉向 一致 反之 則相反 對線彈性體Ve VC 三 卡氏第二定理 意大利工程師 阿爾伯托 卡斯提格里安諾 AlbertoCastigliano 1847 1884 材 中 42 材 中 43 若只求某點處位移 該點處載荷在求約束力前必須與其它各處載荷用不同的符號區(qū)別 材 中 44 材 中 45 對線彈性桿系結構 對線彈性結構 卡氏定理的應用 計算載荷作用點的位移 計算無載荷作用點的位移 此時需在所求點沿所求方向加一虛力 求導后再令虛力為零 計算兩點相對位移 可在此兩點分別加一等值反向共線力 求導后再令其為零 同樣可以計算角位移及相對角位移 材 中 46 軸線為水平面內四分之一圓周的曲桿如圖所示 在自由端B作用豎直載荷F 設EI和GIp已知 試用卡氏定理求截面B在豎直方向的位移 解 在極坐標系中截面mn上的彎矩和扭矩分別為 由卡氏定理 材 中 47 解 1 求A點撓度 梁的彎矩方程為M Fx 0 x l 材 中 48 在B處施加與所求撓度方向相同的力F1 彎矩方程為 M1 Fx 0 x l 2 材 中 49 說明 結果為正 表明B點位移方向與虛力F1一致 即向下 虛力F1應在彎矩求完偏導以后再令其為零 虛力的符號應與其它力的符號有所區(qū)別 否則會得出錯誤的結果 材 中 50 解 系統(tǒng)變形能 C截面的撓度 材 中 51 解 求A處撓度時令A處集中力qa F 其它不變 M x Fx qx2 2 qa2 彎矩對F求完偏導后 再用qa代回F 材 中 52 求A處轉角時令A處集中力偶qa2 M1 M x qax qx2 2 M1 材 中 53 用幾何法求解需作變形圖 借助幾何關系求位移 本題求鉛直位移 直接用卡氏定理求解較簡 若求水平位移用卡氏定理較麻煩 可用莫爾定理求解較方便 解 由平衡方程求得兩桿的軸力分別為 對F求偏導 材 中 54 解 在截面B處附加力偶矩M并求支座約束力 列外伸梁各段的彎矩方程及其對M的偏導數(shù) AB段 CB段 求截面B的轉角根據(jù)卡氏定理 截面B的轉角為 材 中 55 AB段 CB段 材 中 56 解 求支座約束力 令D點的載荷為F1 這時支座約束力為 F1 列出剛架各段的彎矩方程及其對F1的偏導數(shù) AC段 CB段 DB段 計算D點撓度 材 中 57 解 在中間鉸B兩側虛設一對外力偶MB 各約束力如圖 AB段彎矩方程 CB段彎矩方程 材 中 58 由卡氏第二定理得 結果符號為正 說明相對轉角D B的轉向與圖中虛加外力偶MB的轉向一致 若計算懸臂梁的轉角和撓度會更簡單 材 中 59 解 張開位移 求相對轉角q 虛加一對力偶M1 材 中 60 材 中 61 若僅求D1或D2又如何計算 材 中 62 解 求支座約束力由圖可知 A D點載荷同為F 為便于區(qū)分起見 令A點載荷為F1 D點載荷為F2 這時支座約束力為 列出剛架各段的彎矩方程及其對F1的偏導數(shù) 由于是求A點的水平位移 則應該對該位移方向的力F1求偏導數(shù) 材 中 63 ED段 DC段 CB段 AB段 GA段 計算A點水平位移注意求完導后 可令F1 F2 F 根據(jù)卡氏定理A點水平位移為 材 中 64 如何消除消除不便之處 材 中 65 以彎矩為例 探討彎矩對某廣義力求偏導的含義 式中M x 是所有載荷共同作用下的彎矩方程 線彈性小變形情況下 內力符合疊加原理 M x M F1 F2 Fi Fn M1 x Mi x Mn x 其中Mi x 是Fi單獨作用于結構時引起的彎矩 對線彈性桿系結構 材 中 66 其中是Fi 1 即i處單獨作用一個單位力時引起的彎矩 因為Mi x 是Fi單獨作用于結構時引起的彎矩 于是 簡記為 所以 材 中 67 是所求位移處單獨作用一個與位移對應的單位力時引起的彎矩 莫爾積分 若K處無載荷作用 附加一個載荷FK 附加載荷后的彎矩 即無論所求位移處是否有載荷 只要在原結構單獨加一個與所求位移對應的單位力 單位力作用下求得的內力方程便是原所有載荷作用下的內力方程對廣義力的偏導數(shù) 材 中 68 一 虛位移D 約束允許的 滿足約束條件 滿足連續(xù)條件的 在平衡位置上增加的 不是唯一的 任意微小位移 10 4虛功原理 材 中 69 1 可以是與真實位移有關的位移 也可以與真實位移無關 虛位移 2 可以是真實位移的增量 3 可以是另外一個與之相關系統(tǒng)的真實位移 材 中 70 w1 x 可作為集中力作用下的虛位移 w2 x 也可作為分布載荷作用下的虛位移 總之 虛位移是指有可能發(fā)生的無限小位移 它與載荷無必然關系 因此 它不是唯一的 虛位移過程中 物體原有外力和內力保持不變 虛位移 一詞 用以區(qū)別物體自身原有外力引起的真實位移 材 中 71 式中Di 是與Fi對應的虛位移 二 虛功W 力在虛位移上所作的功 一般計算虛功是在一個平衡力系上給一個虛位移 這時各力作功是常力作功 因此 三 虛變形能Ve 彈性體在虛位移過程中增加的變形能 其數(shù)值等于內力虛功 材 中 72 四 變形體虛功原理 處于平衡狀態(tài)的變形體在虛位移中 外力所作的虛功等于彈性體的虛變形能 材 中 73 變形體虛功原理 1 虛功原理與材料性能無關 適用線彈性 非線彈性材料 2 不要求結構位移與力呈線性關系 也適用位移與力呈非線性的結構 材 中 74 以梁為例證明功的互等定理 第二組力引起的變形作為第一組力的虛位移 第一組力引起的變形作為第二組力的虛位移 由虛功原理 材 中 75 得到功的互等定理 材 中 76 10 5單位載荷法與莫爾積分 一 單位載荷法 1 用途 計算任意點處位移 廣義 2 方法 利用虛功原理第一步構造一虛力狀態(tài) 1 去掉結構全部載荷 2 在結構所求位移處施加一個對應的單位力 無量綱 3 計算結構只在此單位力作用下各截面的內力 材 中 77 第二步取結構原載荷作用下的實際位移狀態(tài)作為虛力狀態(tài)的虛位移 材 中 78 虛功原理 單位力引起的虛內力 d Dl dq dj 真實載荷引起的微段變形 適用 線性 非線性結構 材 中 79 對線彈性結構 取微段dx計算 圖中FN M T為真實載荷引起的內力 二 莫爾積分 Mohr1874 材 中 80 將真實載荷引起的變形代入上式 得 Mohr定理 式中積分稱為Mohr積分 計算Mohr積分步驟 1 計算原結構在真實載荷作用下的內力方程FN M T 2 計算原結構只在沿所求位移方向加單位力 廣義 作用下的內力方程 虛功原理 材 中 81 必須保證 分段一致 坐標一致 內力正負規(guī)定一致 計算Mohr積分步驟 3 計算Mohr積分 遍及全部桿件 剛架略FN FS 4 結果為正 位移方向與單位力相同 負則相反 計算A B兩點之間的相對位移 在A B兩點分別加一對共線反向單位力 材 中 82 3 加單位力并求單位力引起內力方程 0 j 2p 4 求 AB 沿載荷方向分開 2 求載荷引起的內力方程 解 1 建立坐標系 材 中 83 解 畫單位載荷圖 求內力 求變形 對稱結構承受對稱外力對稱軸處對稱位移不等于零 材 中 84 求轉角 重建坐標系 如圖 對稱結構承受對稱外力對稱軸處反對稱位移等于零 材 中 85 解 畫單位載荷圖 求內力 材 中 86 求變形 材 中 87 解 1 計算A點的豎直位移 在A點加一豎直方向的單位力 列出各段的彎矩方程 AB段 BC段 用莫爾定理求wA 材 中 88 AB段 BC段 用莫爾定理求qB 在B截面加一單位力偶 列出各段的彎矩方程 材 中 89 求桿件在外力作用下內力和單位載荷作用下的內力 材 中 90 單位載荷法求桿BC的轉角 材 中 91 解 計算任意q處橫截面內的內力 彎矩Mz Mesinq 扭矩T Mecosq 在A處加向下的單位力計算同一截面的內力 求A的鉛直位移 材 中 92 注意到 代入上式并化簡得 所得結果為負 表明A處位移實際向上 材 中 93 解 在力F的垂直方向加單位力1 建立坐標 求原載荷和單位載荷引起的彎矩 將彎矩代入莫爾積分得 材 中 94 用靜力學平衡方程不能求解出全部未知力 支座約束力和內力 的結構 統(tǒng)稱為靜不定結構 也稱為超靜定結構 在靜不定結構中 超過維持靜力平衡所必須的約束稱為多余約束 多余約束相對應的力稱為多余約束力 多余約束的數(shù)目稱為結構的靜不定次數(shù) 靜不定結構 材 中 95 靜不定問題分類 分析方法 材 中 96 材 中 97 靜不定結構 靜定結構 幾何不變 相當系統(tǒng) 完全等價 求靜不定問題只需對其靜定的相當系統(tǒng)進行計算 解除不同的約束可得到不同的靜定基 無任何載荷作用的靜定結構 材 中 98 解除多余約束的方式 平面問題 去掉一個可動鉸或切斷一根鏈桿 二力桿 相當于解除一個約束 剛性聯(lián)接改為鉸聯(lián)接 相當于解除一個約束 去掉一個單鉸 圓柱鉸或固定鉸 相當于解除兩個約束 將剛性聯(lián)接處切斷 或去掉一個固定端 相當于解除三個約束 解除約束后的靜定基必須是幾何不變的靜定結構 材 中 99 一 卡氏定理求解靜不定結構 相當系統(tǒng) 靜不定結構 承受載荷F1 F2 Fm的作用 承受原載荷F1 F2 Fm和多余約束力FR1 FR2 FRn的作用 應變能是原載荷與多余約束力的函數(shù) Ve Ve F1 Fm FR1 FRn n為靜不定次數(shù) 10 6靜不定結構的求解 材 中 100 相當系統(tǒng)和原靜不定結構的變形比較 建立變形協(xié)調方程 變形比較法 可求解全部未知力 進而可求內力 欲求靜不定結構某點的位移 可在相當系統(tǒng)上求解 材 中 101 解 1 求多余未知力 求內力 將內力對FC求偏導 x 0 5l x 0 5l 取相當系統(tǒng)如圖 材 中 102 變形協(xié)調方程 2 求B點處的撓度wB 求內力方程 將內力對F求偏導數(shù) 求偏導之后 卡氏定理求靜定結構位移處的載荷與其它載荷要區(qū)別開 B處加單位力引起的彎矩 103 中南大學土木建筑學院 材料力學 材 中 104 求變形 求原靜不定結構的變形是在其相當系統(tǒng)上進行的 材 中 105 解 1 選取相當系統(tǒng) 并求出其它約束力 由平衡方程SMC 0 得 2 列出梁的內力方程 AC段 BC段 材 中 106 3 計算系統(tǒng)應變能求與多余約束力對應的位移 根據(jù)卡氏定理 梁B處的撓度為 4 建立補充方程 求解多余約束力 因此 求出B處支座約束力后 其它支座約束力即可由靜力平衡方程求出 梁的內力由截面法確定 若解除C處約束得到相當系統(tǒng)也比較簡單方便 由于B處有支座 梁的撓度應為零 材 中 107 二 單位載荷法求解靜不定結構 相當系統(tǒng) 靜不定結構 承受載荷F1 F2 Fm的作用 彎矩是原載荷與多余約束力的函數(shù) M M F1 Fm FR1 FRn n為靜不定次數(shù) 規(guī)定 承受原載荷F1 F2 Fm和多余約束力FR1 FR2 FRn的作用 材 中 108 實際是靜定基在解除約束處分別單獨作用一個廣義單位力時的彎矩 由于在解除約束處有力作用 單位載荷法實質上與卡氏定理相同 但單位載荷法求某點位移時不需各載荷用不同符號區(qū)分開來 材 中 109 解 選取相當系統(tǒng) 并求相當系統(tǒng)的內力和靜定基加單位力時的內力 求得 最大彎矩在A截面處 材 中 110 解 1 選取相當系統(tǒng) 并求相當系統(tǒng)的內力和靜定基加單位力時的內力 CB段 BA段 材 中 111 2 計算多余約束處相應的變形位移 由莫爾定理 得 材 中 112 3 建立補充方程 確定多余約束力 由位移條件 可知C截面的豎直位移和水平位移都為零 因此 有 求解上列方程組 得 材 中 113 三 用力法求解靜不定結構 解 判定多余約束力的數(shù)目 一個 選取并去除多余約束 代之多余約束力 列出變形協(xié)調方程 見圖 變形協(xié)調方程 材 中 114 用莫爾定理計算D1F和D1X1 由莫爾定理可得 圖a b c 求多余約束力 將上述結果代入變形協(xié)調方程得 材 中 115 求其它約束力 由平衡方程可求得A端約束力 其大小和方向見圖 作彎矩圖 見圖 求梁中點的撓度 選取基本靜定系作為計算對象 單位載荷如圖 用莫爾定理可得 材 中 116 注意 對于同一靜不定結構 若選取不同的多余約束 則基本靜定系也不同 本題中若選固定端處的轉動約束為多余約束 基本靜定系是如圖所示的簡支梁 材 中 117 力法正則方程 上例中以未知力為未知量的變形協(xié)調方程可改寫成下式 變形協(xié)調方程的標準形式 即所謂的力法正則方程 X1 多余未知力 d11 靜定基上 X1 1時引起的1點沿X1方向的位移 D1F 靜定基上 由原載荷引起的與X1對應的位移 材 中 118 二次靜不定 D1 與X1對應的位移 1點水平線位移 由X1 X2和F共同作用引起 D2 與X2對應的位移 2點豎直線位移 由X1 X2和F共同作用引起 材 中 119 對線彈性 小變形材料 上述位移均可用能量法計算 如單位載荷法 D11 D12 D1F 分別為X1 X2和F單獨作用于靜定基上引起的1點水平線位移 D21 D22 D2F 分別為X1 X2和F單獨作用于靜定基上引起的2點豎直線位移 材 中 120 將多余未知力分離出來 記Dij dijXjdij Xj 1引起靜定基的i點沿Xi方向的位移 可用莫爾定理計算 力法正則方程 材 中 121 對于靜不定次數(shù)為n的結構 正則方程如下 由位移互等定理知 dij 影響系數(shù) 表示在靜定基上Xj 1時引起的在Xi作用點沿Xi方向的位移 DiF 自由項 表示在靜定基上 由原全部載荷 不包括多余未知力 引起的在Xi作用點沿Xi方向的位移 疊加法求位移 材 中 122 解 考慮懸臂梁AB 力法正則方程如下 負號表示此位移與梁上的X1方向相反 材 中 123 解 考慮折桿ABC及壓桿CD 解除C處約束代之以約束力 力法正則方程如下 解得 材 中 124 解 建立相當系統(tǒng) 以桿CD為多余約束 假設將桿切斷 沒有去掉桿 該桿的軸力X1為多余約束力 相當系統(tǒng)如圖所示 列力法正則方程 變形幾何條件為桿CD切口兩側截面的相對位移為零 正則方程為 計算系數(shù) 材 中 125 求桿內力 結果為負 表明桿CD的軸力為壓力 材 中 126 材 中 127 解 解除C處約束 代之約束力 得相當系統(tǒng) 正則方程為 代入正則方程解得 材 中 128 解 解除C處約束 代之約束力 得相當系統(tǒng) 正則方程為 代入正則方程解得 材 中 129 解 剛架有兩個多余約束 選取并去除多余約束 代之多余約束力 得相當系統(tǒng) 建立力法正則方程 用莫爾定理求得 計算系數(shù)dij和自由項DiF 材 中 130 求多余約束力 將上述結果代入力法正則方程可得 材 中 131 求其它支座約束力 由平衡方程求得其它支座約束力 全部表示于圖中 材 中 132 四 對稱與反對稱性質的利用 結構幾何尺寸 形狀 構件材料及約束條件均對稱于某一軸 載荷對稱于對稱軸 結構沿對稱軸對折 載荷的分布 大小和方向完全相同 材 中 133 載荷反對稱于對稱軸 結構沿對稱軸對折 載荷的分布和大小相同 方向相反 材 中 134 桿件的內力可分為對稱內力和反對稱內力 彎矩M和軸力FN是對稱內力 剪力FS是反對稱內力 材 中 135 對稱結構在對稱載荷作用下 對稱軸處的反對稱內力為零 結構的內力是對稱的 結構的變形也是對稱的 對稱結構在反對稱載荷作用下 對稱軸處的對稱內力為零 結構的內力是亦是反對稱的 結構的變形也是反對稱的 材 中 136 材 中 137 如作用在對稱結構上的載荷不是對稱的或反對稱的 則可把它分解為對稱的和反對稱的兩種載荷的疊加 分別求出對稱和反對稱兩種情況的解后 疊加起來即為原載荷作用時的解 材 中 138 解 框架承受反對稱載荷 并且有兩個對稱軸 對稱軸處的對稱內力為零 反對稱內力不為零 并且對稱軸處的對稱位移為零 反對稱位移不為