材料力學(xué)能量法PPT參考課件.ppt

材 中 1 一 外力功與應(yīng)變能 1 外力功W 載荷在其作用點(diǎn)位移上所作的功 1 常力作功 彈性固體的應(yīng)變能 材 中 2 對(duì)于一般彈性體 F D圖下方面積 2 靜載作功 靜載是指從零開(kāi)始逐漸地 緩慢地加載到彈性體上的載荷 靜載作功屬于變力作功 材 中 3 對(duì)于線彈性體 2 應(yīng)變能Ve 彈性體因變形而儲(chǔ)存的能量 稱為應(yīng)變能 由能量守恒定律 儲(chǔ)存在彈性體內(nèi)的應(yīng)變能Ve在數(shù)值上等于外力所作的功W 忽略能量損失 即Ve W F為廣義力 D為與力對(duì)應(yīng)的廣義位移 材 中 4 二 線彈性體的應(yīng)變能 1 軸向拉壓 FN為變量時(shí) 材 中 5 2 扭轉(zhuǎn) T為變量時(shí) 材 中 6 3 平面彎曲 橫力彎曲時(shí)忽略剪力對(duì)應(yīng)變能的影響 如矩形截面 當(dāng)l b 10時(shí) 剪力的應(yīng)變能只占彎矩應(yīng)變能的3 純彎曲 橫力彎曲M x 為變量 材 中 7 應(yīng)變能Ve是內(nèi)力 FN T M 的二次函數(shù) 應(yīng)變能一般不符合疊加原理 但若幾種載荷只在本身的變形上作功 而在其它載荷引起的變形上不作功 則應(yīng)變能可以疊加 材 中 8 一 能量法利用能量原理解決力學(xué)問(wèn)題的方法 可用來(lái)求解變形 靜不定 動(dòng)載荷 穩(wěn)定等問(wèn)題 第十章能量法 10 1概述 二 外力功與應(yīng)變能 1 外力功W 載荷在其作用點(diǎn)位移上所作的功 屬于變力作功 材 中 9 彈性體因載荷引起的變形而儲(chǔ)存的能量 2 應(yīng)變能 三 功能原理 條件 1 彈性體 線彈性 非線彈性 2 靜載荷 可忽略彈性體變形過(guò)程中的能量損失 原理 外力功全部轉(zhuǎn)化成彈性體的應(yīng)變能 Ve W 材 中 10 解 建立坐標(biāo)系 求外力功W和應(yīng)變能Ve 列彎矩方程M Fx 0 x l 僅僅只能求力作用點(diǎn)與力相對(duì)應(yīng)的位移 其它位移的求解有待進(jìn)一步研究功能原理 材 中 11 解 A點(diǎn)的位移等于 桿的變形Dl3 由功能原理有 1 由平衡方程和對(duì)稱條件有 2 3 2 3 代入 1 得 變形幾何方程 1 考慮物理方程得 2 3 代入上式并化簡(jiǎn)得得 幾何方程和物理方程的聯(lián)立 材 中 12 Fi為集中力 Di為該力作用點(diǎn)沿力方向的線位移 Fi為力偶 則Di為該力偶作用面內(nèi)沿力偶轉(zhuǎn)向的角位移 轉(zhuǎn)角 Di簡(jiǎn)稱為與力Fi 相 對(duì)應(yīng)的位移 10 2互等定理 Fi 廣義力 集中力 力偶 Di 廣義位移 線位移 角位移 一 外力功的計(jì)算 材 中 13 對(duì)于一般彈性體 F D圖下方面積 靜載是指從零開(kāi)始逐漸地 緩慢地加載到彈性體上的載荷 靜載作功屬于變力作功 外力功屬于靜載作功 對(duì)于線彈性體 F為廣義力 D為廣義位移 材 中 14 二 外力功與變形能的特點(diǎn) 如果外力功和變形能與加載順序有關(guān) 會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果 按一種順序加載 按另一種順序卸載 能量還能守恒么 反證法 材 中 15 先加F1后加F2 先加F2后加F1 不同加載次序外力功均相同 若按比例同時(shí)加載 外力同時(shí)達(dá)到最終值 即比例加載 外力功不變 材 中 16 注意 各載荷和位移都是指最終值 所以是常數(shù) 三 克拉貝依隆 Clapeyron 原理 線彈性體上 作用有載荷F1 F2 Fi Fn與外力方向相應(yīng)的位移為D1 D2 Di Dn由線彈性體的疊加原理 各位移是載荷的線性函數(shù) 材 中 17 設(shè)各外載荷有一增量 于是位移亦有一增量 載荷在位移增量上所作的元功為 dW F1 dD1 Fi dDi Fn dDn lF1d lD1 lFid lDi lFnd lDn F1D1 FiDi FnDn ldl 外力作的總功為 材 中 18 設(shè)各外載荷按相同的比例 從零開(kāi)始緩慢增加到最終值 即任一時(shí)刻各載荷的大小為 注意 帶星號(hào)上標(biāo)的載荷和位移都是中間值 所以是變數(shù) 隨著l的變化而變化 材 中 19 線彈性體的外力功或變形能等于每一外力與其對(duì)應(yīng)位移乘積之半的總和 圖示撓曲線為所有力共同作用下的撓曲線 各點(diǎn)位移都不是單個(gè)力引起的 是所有力共同作用下的位移 D1既有F1的作用 也有F2 Fi的作用 所以Clapeyron原理不符合疊加原理 材 中 20 材 中 21 組合變形 整個(gè)桿件的應(yīng)變能為 材 中 22 Dii和Dij第一個(gè)下標(biāo)i表示i點(diǎn)的位移 第二個(gè)下標(biāo)i和j分別表示是由i點(diǎn)和j點(diǎn)的力引起的位移 Dji和Djj亦可以類推得到 四 功的互等定理 線彈性體 材 中 23 先加Fi 后加Fj 外力功為 外力功W與加載順序無(wú)關(guān) 改變加載順序可得到相同的外力功 材 中 24 先加Fj 外力功為 后加Fi 先加Fi后加Fj外力功為 材 中 25 Clapeyron原理 外力功和變形能不符合疊加原理 材 中 26 線彈性體上甲力在乙力引起的位移上作的功 等于乙力在甲力引起的位移上作的功 一般地 第一組力在第二組力引起的相應(yīng)位移上所作的功 等于第二組力在第一組力引起的相應(yīng)位移上所作的功 材 中 27 抗彎剛度為EI的簡(jiǎn)支梁承受均布載荷q 已知其跨中撓度 如圖所示 試用功的互等定理求該梁承受跨中載荷F時(shí) 梁撓曲線與原始軸線所圍成的面積 解 設(shè)第一組力為F 梁上各點(diǎn)的撓度為w x 撓曲線與原始軸線圍成的面積 第二組力q作用時(shí) 它在梁跨中引起的撓度為wC 由功的互等定理 材 中 28 解 解除C處約束的工件可簡(jiǎn)化為懸臂梁 F FC作為第一組力 懸臂梁在C處加單位力1作為第二組力 第一組力在第二組力引起的位移上所作的功等于第二組力在第一組力引起的位移上所作的功為零 C為鉸支 材 中 29 解 第一種情況下 A處的約束力為FA1 第二種情況下 A處的約束力為FA 由功的互等定理有 材 中 30 若Fi Fj F 則Dij Dji 線彈性體上作用在j處的一個(gè)力引起i處的位移 等于它作用在i處引起j處的位移 五 位移互等定理 功的互等定理 解 沿桿件軸線加相同的一對(duì)力 下圖中 材 中 31 材 中 32 位移互等定理 單位力 若Fi Fj 1 無(wú)量綱 稱為單位力 材 中 33 位移互等定理 注意 功 位移 互等定理只適用于線彈性小變形體 作用在j處的單位力引起i處的位移 等于作用在i處的單位力引起j處的位移 材 中 34 材 中 35 關(guān)于互等定理 材 中 36 關(guān)于互等定理 功的互等 材 中 37 討論 百分表 懸臂梁受力如圖示 現(xiàn)用百分表測(cè)量梁在各處的撓度 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一實(shí)驗(yàn)方案 移動(dòng)百分表 固定百分表 關(guān)于互等定理 百分表固定在B處 移動(dòng)載荷 材 中 38 WC 顯然余功WC WC F 余能VC VC F F D圖上方面積 一 余功及余能 10 3余能定理與卡氏定理 定義與外力功及應(yīng)變能互補(bǔ)的余功及余能 余功和余能均為廣義載荷的函數(shù) 材 中 39 二 余能定理 設(shè)任意彈性體 可以是非線性彈性體 上作用廣義載荷F1 F2 Fi 對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位移為D1 D2 Di 無(wú)剛性位移 余能VC VC F1 F2 Fi 是載荷的函數(shù) 如果只有廣義載荷Fi有一個(gè)增量dFi 余功增量為dWC DidFi 材 中 40 余能增量為 dWC dVC 余能 Crotti Engesser 定理彈性體 線性和非線性 某載荷作用點(diǎn)處的位移 等于彈性體的余能對(duì)該載荷的一階偏導(dǎo)數(shù) 材 中 41 i為正 表示位移方向 轉(zhuǎn)向 和力Fi的方向 轉(zhuǎn)向 一致 反之 則相反 對(duì)線彈性體Ve VC 三 卡氏第二定理 意大利工程師 阿爾伯托 卡斯提格里安諾 AlbertoCastigliano 1847 1884 材 中 42 材 中 43 若只求某點(diǎn)處位移 該點(diǎn)處載荷在求約束力前必須與其它各處載荷用不同的符號(hào)區(qū)別 材 中 44 材 中 45 對(duì)線彈性桿系結(jié)構(gòu) 對(duì)線彈性結(jié)構(gòu) 卡氏定理的應(yīng)用 計(jì)算載荷作用點(diǎn)的位移 計(jì)算無(wú)載荷作用點(diǎn)的位移 此時(shí)需在所求點(diǎn)沿所求方向加一虛力 求導(dǎo)后再令虛力為零 計(jì)算兩點(diǎn)相對(duì)位移 可在此兩點(diǎn)分別加一等值反向共線力 求導(dǎo)后再令其為零 同樣可以計(jì)算角位移及相對(duì)角位移 材 中 46 軸線為水平面內(nèi)四分之一圓周的曲桿如圖所示 在自由端B作用豎直載荷F 設(shè)EI和GIp已知 試用卡氏定理求截面B在豎直方向的位移 解 在極坐標(biāo)系中截面mn上的彎矩和扭矩分別為 由卡氏定理 材 中 47 解 1 求A點(diǎn)撓度 梁的彎矩方程為M Fx 0 x l 材 中 48 在B處施加與所求撓度方向相同的力F1 彎矩方程為 M1 Fx 0 x l 2 材 中 49 說(shuō)明 結(jié)果為正 表明B點(diǎn)位移方向與虛力F1一致 即向下 虛力F1應(yīng)在彎矩求完偏導(dǎo)以后再令其為零 虛力的符號(hào)應(yīng)與其它力的符號(hào)有所區(qū)別 否則會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果 材 中 50 解 系統(tǒng)變形能 C截面的撓度 材 中 51 解 求A處撓度時(shí)令A(yù)處集中力qa F 其它不變 M x Fx qx2 2 qa2 彎矩對(duì)F求完偏導(dǎo)后 再用qa代回F 材 中 52 求A處轉(zhuǎn)角時(shí)令A(yù)處集中力偶qa2 M1 M x qax qx2 2 M1 材 中 53 用幾何法求解需作變形圖 借助幾何關(guān)系求位移 本題求鉛直位移 直接用卡氏定理求解較簡(jiǎn) 若求水平位移用卡氏定理較麻煩 可用莫爾定理求解較方便 解 由平衡方程求得兩桿的軸力分別為 對(duì)F求偏導(dǎo) 材 中 54 解 在截面B處附加力偶矩M并求支座約束力 列外伸梁各段的彎矩方程及其對(duì)M的偏導(dǎo)數(shù) AB段 CB段 求截面B的轉(zhuǎn)角根據(jù)卡氏定理 截面B的轉(zhuǎn)角為 材 中 55 AB段 CB段 材 中 56 解 求支座約束力 令D點(diǎn)的載荷為F1 這時(shí)支座約束力為 F1 列出剛架各段的彎矩方程及其對(duì)F1的偏導(dǎo)數(shù) AC段 CB段 DB段 計(jì)算D點(diǎn)撓度 材 中 57 解 在中間鉸B兩側(cè)虛設(shè)一對(duì)外力偶MB 各約束力如圖 AB段彎矩方程 CB段彎矩方程 材 中 58 由卡氏第二定理得 結(jié)果符號(hào)為正 說(shuō)明相對(duì)轉(zhuǎn)角D B的轉(zhuǎn)向與圖中虛加外力偶MB的轉(zhuǎn)向一致 若計(jì)算懸臂梁的轉(zhuǎn)角和撓度會(huì)更簡(jiǎn)單 材 中 59 解 張開(kāi)位移 求相對(duì)轉(zhuǎn)角q 虛加一對(duì)力偶M1 材 中 60 材 中 61 若僅求D1或D2又如何計(jì)算 材 中 62 解 求支座約束力由圖可知 A D點(diǎn)載荷同為F 為便于區(qū)分起見(jiàn) 令A(yù)點(diǎn)載荷為F1 D點(diǎn)載荷為F2 這時(shí)支座約束力為 列出剛架各段的彎矩方程及其對(duì)F1的偏導(dǎo)數(shù) 由于是求A點(diǎn)的水平位移 則應(yīng)該對(duì)該位移方向的力F1求偏導(dǎo)數(shù) 材 中 63 ED段 DC段 CB段 AB段 GA段 計(jì)算A點(diǎn)水平位移注意求完導(dǎo)后 可令F1 F2 F 根據(jù)卡氏定理A點(diǎn)水平位移為 材 中 64 如何消除消除不便之處 材 中 65 以彎矩為例 探討彎矩對(duì)某廣義力求偏導(dǎo)的含義 式中M x 是所有載荷共同作用下的彎矩方程 線彈性小變形情況下 內(nèi)力符合疊加原理 M x M F1 F2 Fi Fn M1 x Mi x Mn x 其中Mi x 是Fi單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)時(shí)引起的彎矩 對(duì)線彈性桿系結(jié)構(gòu) 材 中 66 其中是Fi 1 即i處單獨(dú)作用一個(gè)單位力時(shí)引起的彎矩 因?yàn)镸i x 是Fi單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)時(shí)引起的彎矩 于是 簡(jiǎn)記為 所以 材 中 67 是所求位移處單獨(dú)作用一個(gè)與位移對(duì)應(yīng)的單位力時(shí)引起的彎矩 莫爾積分 若K處無(wú)載荷作用 附加一個(gè)載荷FK 附加載荷后的彎矩 即無(wú)論所求位移處是否有載荷 只要在原結(jié)構(gòu)單獨(dú)加一個(gè)與所求位移對(duì)應(yīng)的單位力 單位力作用下求得的內(nèi)力方程便是原所有載荷作用下的內(nèi)力方程對(duì)廣義力的偏導(dǎo)數(shù) 材 中 68 一 虛位移D 約束允許的 滿足約束條件 滿足連續(xù)條件的 在平衡位置上增加的 不是唯一的 任意微小位移 10 4虛功原理 材 中 69 1 可以是與真實(shí)位移有關(guān)的位移 也可以與真實(shí)位移無(wú)關(guān) 虛位移 2 可以是真實(shí)位移的增量 3 可以是另外一個(gè)與之相關(guān)系統(tǒng)的真實(shí)位移 材 中 70 w1 x 可作為集中力作用下的虛位移 w2 x 也可作為分布載荷作用下的虛位移 總之 虛位移是指有可能發(fā)生的無(wú)限小位移 它與載荷無(wú)必然關(guān)系 因此 它不是唯一的 虛位移過(guò)程中 物體原有外力和內(nèi)力保持不變 虛位移 一詞 用以區(qū)別物體自身原有外力引起的真實(shí)位移 材 中 71 式中Di 是與Fi對(duì)應(yīng)的虛位移 二 虛功W 力在虛位移上所作的功 一般計(jì)算虛功是在一個(gè)平衡力系上給一個(gè)虛位移 這時(shí)各力作功是常力作功 因此 三 虛變形能Ve 彈性體在虛位移過(guò)程中增加的變形能 其數(shù)值等于內(nèi)力虛功 材 中 72 四 變形體虛功原理 處于平衡狀態(tài)的變形體在虛位移中 外力所作的虛功等于彈性體的虛變形能 材 中 73 變形體虛功原理 1 虛功原理與材料性能無(wú)關(guān) 適用線彈性 非線彈性材料 2 不要求結(jié)構(gòu)位移與力呈線性關(guān)系 也適用位移與力呈非線性的結(jié)構(gòu) 材 中 74 以梁為例證明功的互等定理 第二組力引起的變形作為第一組力的虛位移 第一組力引起的變形作為第二組力的虛位移 由虛功原理 材 中 75 得到功的互等定理 材 中 76 10 5單位載荷法與莫爾積分 一 單位載荷法 1 用途 計(jì)算任意點(diǎn)處位移 廣義 2 方法 利用虛功原理第一步構(gòu)造一虛力狀態(tài) 1 去掉結(jié)構(gòu)全部載荷 2 在結(jié)構(gòu)所求位移處施加一個(gè)對(duì)應(yīng)的單位力 無(wú)量綱 3 計(jì)算結(jié)構(gòu)只在此單位力作用下各截面的內(nèi)力 材 中 77 第二步取結(jié)構(gòu)原載荷作用下的實(shí)際位移狀態(tài)作為虛力狀態(tài)的虛位移 材 中 78 虛功原理 單位力引起的虛內(nèi)力 d Dl dq dj 真實(shí)載荷引起的微段變形 適用 線性 非線性結(jié)構(gòu) 材 中 79 對(duì)線彈性結(jié)構(gòu) 取微段dx計(jì)算 圖中FN M T為真實(shí)載荷引起的內(nèi)力 二 莫爾積分 Mohr1874 材 中 80 將真實(shí)載荷引起的變形代入上式 得 Mohr定理 式中積分稱為Mohr積分 計(jì)算Mohr積分步驟 1 計(jì)算原結(jié)構(gòu)在真實(shí)載荷作用下的內(nèi)力方程FN M T 2 計(jì)算原結(jié)構(gòu)只在沿所求位移方向加單位力 廣義 作用下的內(nèi)力方程 虛功原理 材 中 81 必須保證 分段一致 坐標(biāo)一致 內(nèi)力正負(fù)規(guī)定一致 計(jì)算Mohr積分步驟 3 計(jì)算Mohr積分 遍及全部桿件 剛架略FN FS 4 結(jié)果為正 位移方向與單位力相同 負(fù)則相反 計(jì)算A B兩點(diǎn)之間的相對(duì)位移 在A B兩點(diǎn)分別加一對(duì)共線反向單位力 材 中 82 3 加單位力并求單位力引起內(nèi)力方程 0 j 2p 4 求 AB 沿載荷方向分開(kāi) 2 求載荷引起的內(nèi)力方程 解 1 建立坐標(biāo)系 材 中 83 解 畫單位載荷圖 求內(nèi)力 求變形 對(duì)稱結(jié)構(gòu)承受對(duì)稱外力對(duì)稱軸處對(duì)稱位移不等于零 材 中 84 求轉(zhuǎn)角 重建坐標(biāo)系 如圖 對(duì)稱結(jié)構(gòu)承受對(duì)稱外力對(duì)稱軸處反對(duì)稱位移等于零 材 中 85 解 畫單位載荷圖 求內(nèi)力 材 中 86 求變形 材 中 87 解 1 計(jì)算A點(diǎn)的豎直位移 在A點(diǎn)加一豎直方向的單位力 列出各段的彎矩方程 AB段 BC段 用莫爾定理求wA 材 中 88 AB段 BC段 用莫爾定理求qB 在B截面加一單位力偶 列出各段的彎矩方程 材 中 89 求桿件在外力作用下內(nèi)力和單位載荷作用下的內(nèi)力 材 中 90 單位載荷法求桿BC的轉(zhuǎn)角 材 中 91 解 計(jì)算任意q處橫截面內(nèi)的內(nèi)力 彎矩Mz Mesinq 扭矩T Mecosq 在A處加向下的單位力計(jì)算同一截面的內(nèi)力 求A的鉛直位移 材 中 92 注意到 代入上式并化簡(jiǎn)得 所得結(jié)果為負(fù) 表明A處位移實(shí)際向上 材 中 93 解 在力F的垂直方向加單位力1 建立坐標(biāo) 求原載荷和單位載荷引起的彎矩 將彎矩代入莫爾積分得 材 中 94 用靜力學(xué)平衡方程不能求解出全部未知力 支座約束力和內(nèi)力 的結(jié)構(gòu) 統(tǒng)稱為靜不定結(jié)構(gòu) 也稱為超靜定結(jié)構(gòu) 在靜不定結(jié)構(gòu)中 超過(guò)維持靜力平衡所必須的約束稱為多余約束 多余約束相對(duì)應(yīng)的力稱為多余約束力 多余約束的數(shù)目稱為結(jié)構(gòu)的靜不定次數(shù) 靜不定結(jié)構(gòu) 材 中 95 靜不定問(wèn)題分類 分析方法 材 中 96 材 中 97 靜不定結(jié)構(gòu) 靜定結(jié)構(gòu) 幾何不變 相當(dāng)系統(tǒng) 完全等價(jià) 求靜不定問(wèn)題只需對(duì)其靜定的相當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算 解除不同的約束可得到不同的靜定基 無(wú)任何載荷作用的靜定結(jié)構(gòu) 材 中 98 解除多余約束的方式 平面問(wèn)題 去掉一個(gè)可動(dòng)鉸或切斷一根鏈桿 二力桿 相當(dāng)于解除一個(gè)約束 剛性聯(lián)接改為鉸聯(lián)接 相當(dāng)于解除一個(gè)約束 去掉一個(gè)單鉸 圓柱鉸或固定鉸 相當(dāng)于解除兩個(gè)約束 將剛性聯(lián)接處切斷 或去掉一個(gè)固定端 相當(dāng)于解除三個(gè)約束 解除約束后的靜定基必須是幾何不變的靜定結(jié)構(gòu) 材 中 99 一 卡氏定理求解靜不定結(jié)構(gòu) 相當(dāng)系統(tǒng) 靜不定結(jié)構(gòu) 承受載荷F1 F2 Fm的作用 承受原載荷F1 F2 Fm和多余約束力FR1 FR2 FRn的作用 應(yīng)變能是原載荷與多余約束力的函數(shù) Ve Ve F1 Fm FR1 FRn n為靜不定次數(shù) 10 6靜不定結(jié)構(gòu)的求解 材 中 100 相當(dāng)系統(tǒng)和原靜不定結(jié)構(gòu)的變形比較 建立變形協(xié)調(diào)方程 變形比較法 可求解全部未知力 進(jìn)而可求內(nèi)力 欲求靜不定結(jié)構(gòu)某點(diǎn)的位移 可在相當(dāng)系統(tǒng)上求解 材 中 101 解 1 求多余未知力 求內(nèi)力 將內(nèi)力對(duì)FC求偏導(dǎo) x 0 5l x 0 5l 取相當(dāng)系統(tǒng)如圖 材 中 102 變形協(xié)調(diào)方程 2 求B點(diǎn)處的撓度wB 求內(nèi)力方程 將內(nèi)力對(duì)F求偏導(dǎo)數(shù) 求偏導(dǎo)之后 卡氏定理求靜定結(jié)構(gòu)位移處的載荷與其它載荷要區(qū)別開(kāi) B處加單位力引起的彎矩 103 中南大學(xué)土木建筑學(xué)院 材料力學(xué) 材 中 104 求變形 求原靜不定結(jié)構(gòu)的變形是在其相當(dāng)系統(tǒng)上進(jìn)行的 材 中 105 解 1 選取相當(dāng)系統(tǒng) 并求出其它約束力 由平衡方程SMC 0 得 2 列出梁的內(nèi)力方程 AC段 BC段 材 中 106 3 計(jì)算系統(tǒng)應(yīng)變能求與多余約束力對(duì)應(yīng)的位移 根據(jù)卡氏定理 梁B處的撓度為 4 建立補(bǔ)充方程 求解多余約束力 因此 求出B處支座約束力后 其它支座約束力即可由靜力平衡方程求出 梁的內(nèi)力由截面法確定 若解除C處約束得到相當(dāng)系統(tǒng)也比較簡(jiǎn)單方便 由于B處有支座 梁的撓度應(yīng)為零 材 中 107 二 單位載荷法求解靜不定結(jié)構(gòu) 相當(dāng)系統(tǒng) 靜不定結(jié)構(gòu) 承受載荷F1 F2 Fm的作用 彎矩是原載荷與多余約束力的函數(shù) M M F1 Fm FR1 FRn n為靜不定次數(shù) 規(guī)定 承受原載荷F1 F2 Fm和多余約束力FR1 FR2 FRn的作用 材 中 108 實(shí)際是靜定基在解除約束處分別單獨(dú)作用一個(gè)廣義單位力時(shí)的彎矩 由于在解除約束處有力作用 單位載荷法實(shí)質(zhì)上與卡氏定理相同 但單位載荷法求某點(diǎn)位移時(shí)不需各載荷用不同符號(hào)區(qū)分開(kāi)來(lái) 材 中 109 解 選取相當(dāng)系統(tǒng) 并求相當(dāng)系統(tǒng)的內(nèi)力和靜定基加單位力時(shí)的內(nèi)力 求得 最大彎矩在A截面處 材 中 110 解 1 選取相當(dāng)系統(tǒng) 并求相當(dāng)系統(tǒng)的內(nèi)力和靜定基加單位力時(shí)的內(nèi)力 CB段 BA段 材 中 111 2 計(jì)算多余約束處相應(yīng)的變形位移 由莫爾定理 得 材 中 112 3 建立補(bǔ)充方程 確定多余約束力 由位移條件 可知C截面的豎直位移和水平位移都為零 因此 有 求解上列方程組 得 材 中 113 三 用力法求解靜不定結(jié)構(gòu) 解 判定多余約束力的數(shù)目 一個(gè) 選取并去除多余約束 代之多余約束力 列出變形協(xié)調(diào)方程 見(jiàn)圖 變形協(xié)調(diào)方程 材 中 114 用莫爾定理計(jì)算D1F和D1X1 由莫爾定理可得 圖a b c 求多余約束力 將上述結(jié)果代入變形協(xié)調(diào)方程得 材 中 115 求其它約束力 由平衡方程可求得A端約束力 其大小和方向見(jiàn)圖 作彎矩圖 見(jiàn)圖 求梁中點(diǎn)的撓度 選取基本靜定系作為計(jì)算對(duì)象 單位載荷如圖 用莫爾定理可得 材 中 116 注意 對(duì)于同一靜不定結(jié)構(gòu) 若選取不同的多余約束 則基本靜定系也不同 本題中若選固定端處的轉(zhuǎn)動(dòng)約束為多余約束 基本靜定系是如圖所示的簡(jiǎn)支梁 材 中 117 力法正則方程 上例中以未知力為未知量的變形協(xié)調(diào)方程可改寫成下式 變形協(xié)調(diào)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 即所謂的力法正則方程 X1 多余未知力 d11 靜定基上 X1 1時(shí)引起的1點(diǎn)沿X1方向的位移 D1F 靜定基上 由原載荷引起的與X1對(duì)應(yīng)的位移 材 中 118 二次靜不定 D1 與X1對(duì)應(yīng)的位移 1點(diǎn)水平線位移 由X1 X2和F共同作用引起 D2 與X2對(duì)應(yīng)的位移 2點(diǎn)豎直線位移 由X1 X2和F共同作用引起 材 中 119 對(duì)線彈性 小變形材料 上述位移均可用能量法計(jì)算 如單位載荷法 D11 D12 D1F 分別為X1 X2和F單獨(dú)作用于靜定基上引起的1點(diǎn)水平線位移 D21 D22 D2F 分別為X1 X2和F單獨(dú)作用于靜定基上引起的2點(diǎn)豎直線位移 材 中 120 將多余未知力分離出來(lái) 記Dij dijXjdij Xj 1引起靜定基的i點(diǎn)沿Xi方向的位移 可用莫爾定理計(jì)算 力法正則方程 材 中 121 對(duì)于靜不定次數(shù)為n的結(jié)構(gòu) 正則方程如下 由位移互等定理知 dij 影響系數(shù) 表示在靜定基上Xj 1時(shí)引起的在Xi作用點(diǎn)沿Xi方向的位移 DiF 自由項(xiàng) 表示在靜定基上 由原全部載荷 不包括多余未知力 引起的在Xi作用點(diǎn)沿Xi方向的位移 疊加法求位移 材 中 122 解 考慮懸臂梁AB 力法正則方程如下 負(fù)號(hào)表示此位移與梁上的X1方向相反 材 中 123 解 考慮折桿ABC及壓桿CD 解除C處約束代之以約束力 力法正則方程如下 解得 材 中 124 解 建立相當(dāng)系統(tǒng) 以桿CD為多余約束 假設(shè)將桿切斷 沒(méi)有去掉桿 該桿的軸力X1為多余約束力 相當(dāng)系統(tǒng)如圖所示 列力法正則方程 變形幾何條件為桿CD切口兩側(cè)截面的相對(duì)位移為零 正則方程為 計(jì)算系數(shù) 材 中 125 求桿內(nèi)力 結(jié)果為負(fù) 表明桿CD的軸力為壓力 材 中 126 材 中 127 解 解除C處約束 代之約束力 得相當(dāng)系統(tǒng) 正則方程為 代入正則方程解得 材 中 128 解 解除C處約束 代之約束力 得相當(dāng)系統(tǒng) 正則方程為 代入正則方程解得 材 中 129 解 剛架有兩個(gè)多余約束 選取并去除多余約束 代之多余約束力 得相當(dāng)系統(tǒng) 建立力法正則方程 用莫爾定理求得 計(jì)算系數(shù)dij和自由項(xiàng)DiF 材 中 130 求多余約束力 將上述結(jié)果代入力法正則方程可得 材 中 131 求其它支座約束力 由平衡方程求得其它支座約束力 全部表示于圖中 材 中 132 四 對(duì)稱與反對(duì)稱性質(zhì)的利用 結(jié)構(gòu)幾何尺寸 形狀 構(gòu)件材料及約束條件均對(duì)稱于某一軸 載荷對(duì)稱于對(duì)稱軸 結(jié)構(gòu)沿對(duì)稱軸對(duì)折 載荷的分布 大小和方向完全相同 材 中 133 載荷反對(duì)稱于對(duì)稱軸 結(jié)構(gòu)沿對(duì)稱軸對(duì)折 載荷的分布和大小相同 方向相反 材 中 134 桿件的內(nèi)力可分為對(duì)稱內(nèi)力和反對(duì)稱內(nèi)力 彎矩M和軸力FN是對(duì)稱內(nèi)力 剪力FS是反對(duì)稱內(nèi)力 材 中 135 對(duì)稱結(jié)構(gòu)在對(duì)稱載荷作用下 對(duì)稱軸處的反對(duì)稱內(nèi)力為零 結(jié)構(gòu)的內(nèi)力是對(duì)稱的 結(jié)構(gòu)的變形也是對(duì)稱的 對(duì)稱結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱載荷作用下 對(duì)稱軸處的對(duì)稱內(nèi)力為零 結(jié)構(gòu)的內(nèi)力是亦是反對(duì)稱的 結(jié)構(gòu)的變形也是反對(duì)稱的 材 中 136 材 中 137 如作用在對(duì)稱結(jié)構(gòu)上的載荷不是對(duì)稱的或反對(duì)稱的 則可把它分解為對(duì)稱的和反對(duì)稱的兩種載荷的疊加 分別求出對(duì)稱和反對(duì)稱兩種情況的解后 疊加起來(lái)即為原載荷作用時(shí)的解 材 中 138 解 框架承受反對(duì)稱載荷 并且有兩個(gè)對(duì)稱軸 對(duì)稱軸處的對(duì)稱內(nèi)力為零 反對(duì)稱內(nèi)力不為零 并且對(duì)稱軸處的對(duì)稱位移為零 反對(duì)稱位移不為