級數(shù)的概念與性質.doc

第十一章 無窮級數(shù)教學內容目錄：18本章主要內容：常數(shù)項級數(shù)：無窮級數(shù)及其收斂與發(fā)散的定義，無窮級數(shù)的基本性質，級數(shù)收斂的必要條件，幾何級數(shù)，調和級數(shù)，P級數(shù)，正項級數(shù)的比較審斂法和比值審斂法，交錯級數(shù)，萊布尼茲定理，絕對收斂和條件收斂。 冪級數(shù)：冪級數(shù)概念，阿貝爾（Abel）定理，冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間，冪級數(shù)的四則運算，和的連續(xù)性、逐項積分與逐項微分。泰勒級數(shù)，函數(shù)展開為冪級數(shù)的唯一性，函數(shù)（ln(1+x)、(1+x)等）的冪級數(shù)展開式，冪級數(shù)在近似計算中的應用舉例，“歐拉（Euler）公式。 函數(shù)項級數(shù)：函數(shù)項級數(shù)的一般概念，收效域及和函數(shù)。教學目的與要求：1、理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)基本性質及收斂的必要條件。2、掌握幾何級數(shù)和P級數(shù)的收斂性。3、掌握正項級數(shù)的比較審斂法，掌握正項級數(shù)的比值審斂法。4、理解交錯級數(shù)的審斂法（萊布尼茲定理）。5、了解無窮級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系。6、了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。7、掌握比較簡單的冪級數(shù)收斂區(qū)間的求法（區(qū)間端點的收斂性可不作要求）。8、了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內的一些基本性質。9、了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。10、掌握應用ex,sinx,cox,en(1+x)和(1+x)u 的馬克勞林（Maclaurin）展開式將一些簡單的的函數(shù)間接展開成冪級數(shù)的方法。11、了解函數(shù)展開為傅里葉（Fourier）級數(shù)的狄利克雷（Dirchet）條件，會將定義在（-,）上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，并會將定義在（-,）上的函數(shù)展開為正弦或余弦級數(shù)。本章重點與難點：重點:正項級數(shù)的審斂法；將一些簡單的的函數(shù)間接展開成冪級數(shù)難點：應用逐項積分、逐項微分的性質求和函數(shù)、 本章計劃學時：16學時（2節(jié)習題課）教學手段：課堂講授、習題課、討論，同時結合多媒體教學推薦閱讀文獻：1.高等數(shù)學同步輔導(下) (第十一章) 主編同濟大學應用數(shù)學系 彭舟 航空工業(yè)出版社2.高等數(shù)學名師導學(下) (第十一章) 主編大學數(shù)學名師導學叢書編寫組 中國水利水電出版社3.高等數(shù)學雙博士課堂 (第十一章) 主編 北京大學數(shù)學科學學院 機械工業(yè)出版社 作業(yè)：習題111：2(2、4) 、3(2)、4(1、3、5)習題112：1(1、3、5)、2(2、4)、3(1、3、4)、4(1、3、5)、5(1、3、5)習題113：1(1、3、5、6、8)、2(1、3)習題114：1、2(2、3、5)、4、6習題117：1(1、3)、2(1)、4、6能力培養(yǎng)及措施: 通過精講多練,啟發(fā)式教學, 討論式教學,重點講授重點、難點，自學部分內容,課堂討論,結合習題課及多媒體教學培養(yǎng)學生的比較熟練的運算能力、邏輯推理的能力及抽象思維能力,推薦學生閱讀相關文獻培養(yǎng)學生自學能力.11-1 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質問題的提出計算半徑為圓的面積用內接正3邊形的面積逐步逼近圓面積：正六邊形面積，正十二邊形面積+ , 正形面積 +若內接正多邊形的邊數(shù)n無限增大，則和+的極限就是所要求的圓面積。這時和式中的項數(shù)無限增多，出現(xiàn)了無窮多個數(shù)量依次相加的數(shù)學式子。一、常數(shù)項級數(shù)的概念1.常數(shù)項級數(shù) 如果給定一個數(shù)列 , , , , ,則表達式 + (1)叫(常數(shù)項)無窮級數(shù)，簡稱(常數(shù)項)級數(shù)，記為即 =+ -一般項注1：怎樣理解級數(shù)中無窮多個數(shù)量相加呢？觀察有限項和的變化趨勢2.級數(shù)的部分和：前n項的和部分和數(shù)列: + +3.級數(shù)的收斂與發(fā)散 定義（斂散性） 如果級數(shù)的部分和數(shù)列有極限，即 則稱無窮級數(shù)收斂,極限為這級數(shù)的和,并寫成+如果數(shù)列沒有極限,則稱無窮級數(shù)發(fā)散.注2：若級數(shù)收斂，是和S的近似值， 叫做級數(shù)的余項,代替和S所產生的誤差是該余項的絕對值，即誤差是 。例1判別級數(shù)的收斂性. 解 所以級數(shù)收斂.，它的和是。例2 討論等比級數(shù)(幾何級數(shù)) ( 0,：級數(shù)的公比)的收斂性。分析：若 當時，級數(shù)收斂，其和當時,級數(shù)發(fā)散當時，級數(shù)發(fā)散。即：若 ，級數(shù)收斂；若，級數(shù)發(fā)散例3 討論調和級數(shù)的收斂性分析 因為 , 所以級數(shù)發(fā)散. 二、收斂級數(shù)的基本性質性質1 若級數(shù)收斂于和,則級數(shù)也收斂，且其和為.分析：設與的部分和分別為與 ,則 則收斂，和為由知，若無極限且,則也無極限結論：級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù)后，它的收斂性不會改變. 級數(shù)收斂； 級數(shù)發(fā)散性質2 若、分別收斂于、,則 也收斂，且其和為.分析：、：、 , 的部分和則收斂，且其和為注3：性質2也說成：兩收斂級數(shù)可以逐項相加減.性質3 在級數(shù)中去掉或加上有限項，不會改變級數(shù)的收斂性.分析：只需證明“在級數(shù)的前面部分去掉或加上有限項,不會改變級數(shù)的收斂性”,因為其他情形(即在級數(shù)中任意去掉、加上或改變有限項的情形)都可以看成在級數(shù)的前面先去掉有限項,然后再加上有限項的結果.將級數(shù)+的前k項去掉，得級數(shù)+新級數(shù)的部分和為=+=其中是原級數(shù)的前k+n項的和因是常數(shù)，故時，與或者同時有極限，或者同時沒有極限.類似地，可以證明在級數(shù)的前面加上有限項，不會改變級數(shù)的收斂性.性質4 如果級數(shù)收斂,則對這級數(shù)的項任意加括號后所成的級數(shù)仍然收斂,且其和不變.即加括弧后所成的級數(shù)收斂,且其和不變.注意 如果加括弧后所成的級數(shù)收斂,則不能斷定去括號后原來級數(shù)也收斂.例如,級數(shù)(1-1)+(1-1)+ 收斂于零,但級數(shù)1-1+1-1+ 是發(fā)散的.推論：如果加括弧后所成的級數(shù)發(fā)散,則原來級數(shù)也發(fā)散事實上，倘若原來級數(shù)收斂，則根據(jù)性質4知道，加括弧后的級數(shù)就應該收斂了.性質5(級數(shù)收斂的必要條件)若收斂,則分析 設的部分和為