數(shù)學人教版八年級上冊§11.2.1三角形的內(nèi)角（第一課時） 三角形內(nèi)角和定理.docx

教 學 設 計人教版八年級上冊數(shù)學課題：第十一章 三角形11.2.1三角形的內(nèi)角（第一課時）三角形內(nèi)角和定理一、 教材分析：三角形內(nèi)角和定理是三角形的重要內(nèi)容，也是“圖形與幾何”必備的知識基礎它從“角”的角度刻畫了三角形的特征三角形內(nèi)角和定理的探究體現(xiàn)了由實驗幾何到論證幾何的研究過程，同時也說明了證明的必要性三角形內(nèi)角和定理的證明以平行線、平角的相關知識為基礎定理的驗證方法剪圖、拼圖，不僅可以說明證明的必要性，而且也可以從中獲得添加輔助線的思路和方法由淺入深，循序漸進，引導學生觀察、實驗、猜測，驗證，逐步培養(yǎng)學生的邏輯推理能力定理的證明思路是得出三角形的三個內(nèi)角與組成平角的三個角分別相等學好它有助于學生理解三角形內(nèi)角之間的關系，也為今后掌握多邊形內(nèi)角和及其他實際問題打下基礎二、教學目標：（1）知識與技能：掌握“三角形內(nèi)角和定理”，探索并證明三角形內(nèi)角和定理，能運用三角形內(nèi)角和定理解決簡單問題.（2）過程與方法： 通過度量、折疊、剪拼等實驗操作，啟發(fā)學生通過添加輔助線的方法證明“三角形內(nèi)角和定理”，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.（3）情感態(tài)度與價值觀：激發(fā)學生動手實驗的學習興趣，在實驗的過程中能發(fā)現(xiàn)其中蘊含的輔助線，并能運用平行線的性質(zhì)證明“三角形內(nèi)角和定理” 通過理論證明讓學生體會用證明法說理的必要性，增強學生做事的嚴謹性，提高學生應用數(shù)學知識的能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力三、學習者特征分析：八年級學生思維正處在具體形象思維向抽象邏輯思維轉(zhuǎn)變的階段，也是由代數(shù)運算向幾何推理過渡的較好時期學生在小學初步認識了三角形，知道三角形的內(nèi)角和是180，在實際生活中也有所應用，而且學生已學過平行線的性質(zhì)與平角的定義本節(jié)課就是建立在這種基礎之上，通過度量、折疊、拼接、猜想、驗證等方法，通過觀察、比較、合作、探究，進而找到證明三角形內(nèi)角和定理的思路，引導學生應用所學知識正確地表達求解過程 學生對三角形內(nèi)角和的理解、證明方法及數(shù)學知識有本質(zhì)上的提升，為后續(xù)學習與三角形有關的知識做鋪墊，思想方法也會增多體會通過合情推理探索數(shù)學結(jié)論，運用演繹推理加以證明的過程四、教學策略：本節(jié)課結(jié)合八年級學生的理解能力、思維特征和依賴直觀圖形學習數(shù)學的年齡特征，采用多媒體輔助教學，將知識形象化、生動化、具體化，在教學中采用啟發(fā)式、師生互動式等方法，學生能通過度量或剪圖、拼圖等實驗進一步感知三角形的內(nèi)角和是180的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)操作實驗的局限性，進而了解證明的必要性；教師采用點撥的方法，啟發(fā)學生主動思考，嘗試用多種方法來證明這個結(jié)論，發(fā)現(xiàn)其中蘊含的輔助線，使整個課堂生動有趣，極大限度地培養(yǎng)了學生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、歸納問題的能力和一題多解，一題多法的創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學生遇到問題時初步具備獨立思考的能力，有合作交流的意識五、教學的重點和難點： 教學重點：探索并證明三角形內(nèi)角和定理，體會證明的必要性教學難點：如何添加輔助線證明三角形內(nèi)角和定理六、教學過程：教具準備：教具：三角板、多媒體演示臺 學具：三角形紙片、剪刀、三角板（一）探索并證明三角形內(nèi)角和定理【問題1】三角形有幾個內(nèi)角？【師生活動】學生回答：三角形有三個內(nèi)角【追問】三角形三個內(nèi)角在數(shù)量上有什么關系？【師生活動】學生回答：三角形的三個內(nèi)角的和等于【問題2】這個結(jié)論你們在小學時就已經(jīng)知道了，當時是通過什么方法發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論呢？【師生活動】學生回答：度量、剪拼、折疊，三種方法教師：今天我們這節(jié)課的學習目標是什么呢？學生：大聲朗讀1通過度量、折疊、剪拼的方法驗證定理；2探索并證明定理；3能靈活運用定理解決實際問題.教師：學習就是溫故知新的過程，今天這節(jié)課我們就利用手中的三角形紙片通過小組探究的形式重溫這個結(jié)論的驗證過程【師生活動】學生動手操作，各個小組通過度量、剪拼、折疊等不同方法得出結(jié)論【設計意圖】以問題引發(fā)思考設置懸念, 培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識，自然導入三角形內(nèi)角和的學習學生會提出度量、拼圖、折疊的方法，然后讓每個學生取出課前準備的三角形紙板，并將它的內(nèi)角剪下，試著拼拼看通過小組合作交流有幾種拼合方法最后教師總結(jié)出幾種拼圖方法 展示結(jié)果：各個小組的成果展示剪拼法：(1) (3) (5) (2) (4)（學生：展示拼圖，簡單介紹拼法）折疊法： 先將紙片三角形一角折向其對邊，使頂點落在對邊上，折線與對邊平行（圖1），然后把另處兩角相向?qū)φ?，使其頂點與已折角的頂點相嵌合（圖2）、（圖3），最后得到（圖4）所示的結(jié)果 B AC圖3圖2BCAACB圖1BAC圖4【師生活動】 學生：會提出度量時三個內(nèi)角和不都是180，因為測量會有誤差教師：利用幾何畫板演示三個內(nèi)角和是180引導學生總結(jié)拼圖方法，為了下一步證明定理提供思路 【設計意圖】 讓學生通過實驗操作，一方面發(fā)現(xiàn)實驗操作的局限性（視覺誤差、度量誤差，實驗有限性與三角形個數(shù)無限的矛盾），進而了解證明的必要性；另一方面從實驗的過程中受到啟發(fā)，為下一步證明三角形內(nèi)角和定理提供思路和方法有一些剪拼成的圖形雖然能拼成180，有驗證作用，但不容易形成證明思路（圖2、4）折疊的方法，教師也應給予說明，并指出以后學習了全等三角形及軸對稱等內(nèi)容，也可進行證明【師生活動】 教師：同學們的做法大致是將兩個角剪下來拼在第三個角的同側(cè)或異側(cè)在頂點處形成一個平角，也有的小組將三個角剪下，發(fā)現(xiàn)在任何地方都能拼成一個平角，初步驗證結(jié)論【問題3】通過度量、剪拼或折疊的方法驗證了手中的三角形紙片的內(nèi)角和是180度，但這些只是有限的幾個，而形狀不同的三角形有無數(shù)個，我們?nèi)绾蔚玫剿腥切蔚膬?nèi)角和是180度呢？【師生活動】學生小組交流，小組代表匯報結(jié)果然后匯報結(jié)果，最后達成共識 【設計意圖】讓學生發(fā)現(xiàn)實驗操作的局限性（誤差和實驗個數(shù)的有限性），進而了解證明的必要性；另一方面從實驗的過程中受到啟發(fā)，為下一步證明三角形內(nèi)角和定理提供思路和方法【追問1】我們通過實驗只能驗證結(jié)論，能使用結(jié)論嗎？【師生活動】學生回答：不能，只有通過證明才能使用結(jié)論【追問2】在圖(1)中，A 和B拼在C的右側(cè)，三個角合起來形成一個平角，應如何去證明呢？【師生活動】學生回答：需要添加輔助線【追問3】怎么添加？【師生活動】學生回答：過點C作AB的平行線.教師：數(shù)學中重要的結(jié)論都需要嚴格的邏輯推理證明其正確性在證明之前，先將圖形畫出來，寫出已知、求證學生：與老師互動寫出已知、求證教師：畫圖、板書已知：ABC求證：A+B+C=1800【設計意圖】讓學生體會添加輔助線的方法，獲得證明思路，感悟輔助線在幾何證明中的重要作用【追問4】參考圖(1)，你能寫出證明過程嗎？【師生活動】學生活動，教師板書，共同完成證明過程證法：證明:延長BC到D，過C作CEBA， A=1 (兩直線平行，內(nèi)錯角相等)B=2 (兩直線平行，同位角相等)又1+2+ACB=180（平角的定義）A+B+ACB=180（等量代換）這個結(jié)論正確，稱為三角形內(nèi)角和定理（老師板書，用彩色粉筆）【設計意圖】讓學生通過嚴格的邏輯推理證明“三角形三個內(nèi)角的和等于180”,感悟幾何證明的意義，體會幾何證明的規(guī)范性，所以第一種方法師生可以共同完成推理過程并注意強調(diào)命題證明的步驟【師生活動】在圖(2)(4)中，只能驗證定理，而不容易形成證明思路教師：通過幾何畫板驗證反例，說明問題【設計意圖】讓學生發(fā)現(xiàn)實驗的局限性（視覺誤差、度量誤差、實驗有限性與三角形無限性矛盾），進而了解證明的必要性【追問5】通過前面的研究，你還能找出其他證明方法嗎？【師生活動】學生小組探究，學生代表到黑板板書證明過程證法2:證明：過點A作AEBC B= 1 (兩直線平行,內(nèi)錯角相等)EAC + C =180(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補)BAC + 1+ C =180 BAC+ B + C=180 (等量代換)【設計意圖】引導學生觀察剪拼后的圖形中線與線的特殊位置,讓學生由感性認識，上升到理性認識用推理證明三角形內(nèi)角和定理 證法3：證明：過A作EFBC， B=2C=1 (兩直線平行,內(nèi)錯角相等) 又BAC+2+1 =180 (平角定義)BAC+B+C =180（等量代換）【設計意圖】啟發(fā)學生添加輔助線，利用平行線的性質(zhì)和平角的定義，鼓勵學生獨立思考，尋求證明方法滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想方法，在證明、3中引導學生把三角形三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化成平角；在證明2中，把三角形三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化成平行線下的同旁內(nèi)角，從而得到180【師生活動】教師：還有不同的證法嗎？學生：小組代表到黑板前講解思路教師：剛才有的小組將三角形三個角剪下，在任何地方都可以拼成平角因此在做輔助線的時候，可以過任意的點做對邊的平行線請看大屏幕教師：利用幾何畫板證明以上各題教師總結(jié)：同學們通過剪拼的方法不僅發(fā)現(xiàn)、驗證了三角形內(nèi)角和定理，而且通過做輔助線用幾種方法證明了定理，非常棒小組合作的很好，掌聲送給自己DCBA【設計意圖】鼓勵學生從不同角度思考問題，進一步體會作輔助線的方法，豐富學生的解題經(jīng)驗通過一題多解，初步體會思維的多向性，引導學生的個性化發(fā)展（二）三角形內(nèi)角和定理的應用例1 如圖在ABC中，BAC=40，B=75，AD是ABC的角平分線，求ADB的度數(shù) 【師生活動】教師引導學生分析解題思路，學生獨立完成解題過程，請學生板書 【設計意圖】引導學生運用三角形內(nèi)角和定理求相關角的度數(shù)，而且要求學生應用所學知識正確地表達求解過程. 例2 如圖，C島在A島的北偏東50方向，B島在A島的北偏東80 方向，C島在B島的北偏西40方向從B島看A、C兩島的視角ABC是多少度？從C島看A、B兩島的視角ACB是多少度？【師生活動】教師引導學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學中的三角形的角的問題，即求ABC中的內(nèi)角ABC、ACB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理， 鼓勵學生用多種方法完成解題過程，教師給予指正提出了兩個問題：1、請你結(jié)合圖形解釋一下題中的方位角有那幾個2、角ACB是哪個三角形的內(nèi)角？解：CABBADCAD805030由ADBE，可得BAD ABE 180所以ABE 180BAD1808010 0，ABC ABE EBC100406 0在ABC中ACB180ABC CAB 1806030 90答：從B島看A， C兩島的視角ABC是60，從C島看A，B兩島的視角ACB是90【設計意圖】通過例題的解析，讓學生體會分析問題的基本方法，利用三角形內(nèi)角和定理解決實際問題，提高學生的應用能力【追問】同學們還有其他方法嗎？【設計意圖】通過小組討論，讓學生各抒已見，暢所欲言，鼓勵學生傾聽他人的方法，從中獲益，增加了學生的合作探究精神，有意識地培養(yǎng)學生的說理能力，邏輯推理能力，增強了語言表達能力，培養(yǎng)學生的一題多思，一題多解的創(chuàng)新精神，讓學生體會數(shù)學輔助線的橋梁作用，在潛移默化中滲透了初中階段一個重要數(shù)學思想轉(zhuǎn)化思想，為學好初中數(shù)學打下堅實的基礎（三）達標測試1、在ABC中,A = 80,B =C , 則C = _2、已知三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1:3:5，則這三個內(nèi)角的度數(shù)分別為 _ _ _3、一個三角形中，最多有_個銳角，最少有_個銳角，最多有_個鈍角，最多有_個直角任意一個三角形中,最大的一個角的度數(shù)至少為_.4、從A處觀測C處的仰角CAD =30,從B處觀測C處時仰角CBD =45,從C處觀測A、B兩處時的視角ACB 是多少度？5、如圖，一種滑翔傘的形狀是左右對稱的四邊形ABCD，其中A =150, B = D= 40, 求C 的度數(shù).【師生活動】學生口答第1、2、3題，完成第4、5題2、已知三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1:3:5，求這三個內(nèi)角的度數(shù)解：設三個內(nèi)角度數(shù)分別為：x、3x、5x.列出方程 x+3x+5x=180解得： x=20答：三個內(nèi)角度數(shù)分別為20,60,100【設計意圖】第1題通過簡單的計算，使學生進一步熟悉三角形內(nèi)角和定理第2道題采取了客觀題的形式，難度中等，使學生掌握概念并能簡單運用，可以提高學生的說理能力，可挑選中等成績的學生起立回答便于了解學生掌握的總體情況第4、5題是讓學生運用定理解決簡單的實際問題（四）小結(jié)（1）本節(jié)課學習了哪些主要內(nèi)容？（2）為什么要用推理的方法證明“三角形的內(nèi)角和等于180”？（3）你是怎么找到三角形內(nèi)角和定理的證明思路的？【設計意圖】通過小結(jié)，使學生梳理本節(jié)課所學內(nèi)容，掌握本節(jié)課的核心三角形內(nèi)角和定理，進一步體會證明的必要性，感悟輔助線的添加方法和在幾何證明中的作用 （五）作業(yè)布置（1）基礎題：教科書習題11.2，第1,3,7題（2）選做題：教科書習題11.2，第8,9,11題七、板書設計：11.2.1三角形的內(nèi)角三角形的內(nèi)角和定理: 電子白板課件展示 已知： 求證： 圖形 圖形 圖形證明： 八、課后反思三角形內(nèi)角和定理的探究體現(xiàn)了由實驗幾何到論證幾何的研究過程，同時也說明了證明的必要性本節(jié)課通過創(chuàng)設“剪拼”情境，讓學生直觀感受“三角形三個內(nèi)角的和等于180O”，學生通過合作學習、探索規(guī)律對三角形內(nèi)角和的感性認識提升到理性認識的階段，進行理論證明通過實驗操作，學生一方面發(fā)現(xiàn)實驗操作的局限性（視覺誤差、度量誤差，實驗有限性與三角形個數(shù)無限的矛盾），進而了解證明的必要性；另一方面從實驗的過程中受到啟發(fā)，為下一步證明三角形內(nèi)角和定理提供思路和方法有一些剪拼成的圖形雖然能拼成180，有驗證作用，但不容易