數(shù)學(xué)分析教案(華東師大版)第十章定積分的應(yīng)用.docVIP

第十章 定積分的應(yīng)用 教學(xué)要求：1.理解微元法的思想，并能夠應(yīng)用微元法或定積分定義將某些幾何、物理等實(shí)際問題化成定積分；2.熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計(jì)算平面區(qū)域的面積、平面曲線的弧長，用截面面積計(jì)算體積、旋轉(zhuǎn)體的體積和它的側(cè)面積、變力作功等。教學(xué)重點(diǎn)：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計(jì)算平面區(qū)域的面積、平面曲線的弧長，用截面面積計(jì)算體積、旋轉(zhuǎn)體的體積和它的側(cè)面積、變力作功等教學(xué)時數(shù)：10學(xué)時 1 平面圖形的面積 （ 2 時 ） 教學(xué)要求：1.理解微元法的思想，并能夠應(yīng)用微元法或定積分定義將某些幾何、物理等實(shí)際問題化成定積分；2.熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計(jì)算平面區(qū)域的面積。教學(xué)重點(diǎn)：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計(jì)算平面區(qū)域的面積一、組織教學(xué)： 二、講授新課： （一）直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積 ： 1.簡單圖形： 型和 型平面圖形 .2.簡單圖形的面積 : 給出 型和 型平面圖形的面積公式. 對由曲線和 圍成的所謂“兩線型”圖形, 介紹面積計(jì)算步驟. 注意利用圖 形的幾何特征簡化計(jì)算. 例1 求由曲線 圍成的平面圖形的面積.例2 求由拋物線 與直線 所圍平面圖形的面積. （二）參數(shù)方程下曲邊梯形的面積公式： 設(shè)區(qū)間 上的曲邊梯形的曲邊由方程給出 . 又設(shè), 就有, 于是存在反函數(shù) . 由此得曲邊的顯式方程. ,亦即 .具體計(jì)算時常利用圖形的幾何特征 .例3 求由擺線 的一拱與 軸所圍平面圖形的面積. 例4 極坐標(biāo)下平面圖形的面積 : 推導(dǎo)由曲線 和射線所圍“曲邊扇形”的面積公式 . (簡介微元法 ，并用微元法推導(dǎo)公式 . 半徑為 , 頂角為 的扇形面積為 . ) 例5 求由雙紐線 所圍平面圖形的面積 . 解 或 . ( 可見圖形夾在過極點(diǎn), 傾角為 的兩條直線之間 ) . 以 代 方程不變, 圖形關(guān)于 軸對稱 ; 以 代 , 方程不變, 圖形關(guān)于 軸對稱 . 參閱P242 圖10-6因此 .三、小結(jié)： 2 由平行截面面積求體積 （ 2 時 ） 教學(xué)要求：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，用截面面積計(jì)算體積。教學(xué)重點(diǎn)：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，用截面面積計(jì)算體積（一）已知截面面積的立體的體積: 設(shè)立體之截面面積為 . 推導(dǎo)出該立體之體積 .祖暅原理: 夫冪勢即同 , 則積不容異 . ( 祖暅系祖沖之之子 齊梁時人 , 大約在五世紀(jì)下半葉到六世紀(jì)初 )例1 求由兩個圓柱面 和 所圍立體體積 . P244 例1 ( )例2 計(jì)算由橢球面 所圍立體 (橢球 )的體積 . 1 P244例2 ( )（二）旋轉(zhuǎn)體的體積: 定義旋轉(zhuǎn)體并推導(dǎo)出體積公式. . 例3 推導(dǎo)高為 , 底面半徑為 的正圓錐體體積公式.例4 求由曲線 和 所圍平面圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)所得立體體積.例5 求由圓 繞 軸一周所得旋轉(zhuǎn)體體積.( 1000 )例6 軸正半軸.繞軸旋轉(zhuǎn).求所得旋轉(zhuǎn)體體積. 3 曲線的弧長 ( 1 時 ) 教學(xué)要求：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計(jì)算平面曲線的弧長。教學(xué)重點(diǎn)：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計(jì)算平面曲線的弧長， （一） 弧長的定義: 定義曲線弧長的基本思想是局部以直代曲即用折線總長的極限定義弧長 . 可求長曲線 . （二） 弧長計(jì)算公式 : 光滑曲線的弧長. 設(shè)，又，和 在區(qū)間 上連續(xù)可導(dǎo)且 . 則上以 和 為端點(diǎn)的弧段的弧長為.為證明這一公式 , 先證以下不等式 : 對 ,有 , Ch 1 1 Ex 第5題 (P4) .其幾何意義是: 在以點(diǎn) 和 為頂點(diǎn)的三角形中,兩邊之差不超過第三邊 . 事實(shí)上， .為證求弧長公式, 在折線總長表達(dá)式中, 先用Lagrange中值定理, 然后對式插項(xiàng)進(jìn)行估計(jì) .如果曲線方程為極坐標(biāo)形式 連續(xù)可導(dǎo), 則可寫出其參數(shù)方程 . 于是 . 4 旋轉(zhuǎn)曲面的面積 ( 1 時 ) 教學(xué)要求：旋轉(zhuǎn)曲面的面積。教學(xué)重點(diǎn)：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計(jì)算旋轉(zhuǎn)曲面的面積 用微元法推出旋轉(zhuǎn)曲面的面積公式 :曲線方程為 時， ；曲線方程為 時，.例12 P254255例12. 5 定積分的物理應(yīng)用舉例 ( 2