隨機(jī)微分方程在物理學(xué)中的應(yīng)用.doc

內(nèi)蒙古科技大學(xué)本 科 畢 業(yè) 論 文論文題目： 隨機(jī)微分方程在物理學(xué)中的應(yīng)用 院 系： 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 專 業(yè)： 應(yīng)用物理 姓 名： vvv 學(xué) 號： 0700000069 指導(dǎo)教師： xxx 二零 一二 年 三 月摘要牛頓和萊布尼茲創(chuàng)建了微積分學(xué)，為了描述機(jī)械動力學(xué)、天文學(xué)等領(lǐng)域的物理現(xiàn)象，建立了確定性的微分方程。確定性的微分方程在實(shí)際問題中有大量的應(yīng)用。然而在研究實(shí)際物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型時(shí)，描述一個(gè)具體物理現(xiàn)象所用的一組數(shù)學(xué)方程不會是完全精確的。實(shí)際問題中不確定性因素大量存在且往往是問題的關(guān)鍵所在，不可忽視。由于二十世紀(jì)中葉大量的含有不確定性的實(shí)際問題的出現(xiàn)，以及對模型精確性要求和實(shí)際問題復(fù)雜性認(rèn)識的不斷提高，不確定性因素越來越多的被考慮到模型的建立中，這就在微分方程的基礎(chǔ)上引入了隨機(jī)因素，促使了隨機(jī)積分的構(gòu)建與發(fā)展，并在此基礎(chǔ)上建立了隨機(jī)微分方程的相關(guān)理論和方法。隨著科技的發(fā)展，隨機(jī)微分方程越來越廣泛地應(yīng)用于模型的建立和分析中。本文針對物理學(xué)中存在隨機(jī)性的特征，提取其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，利用數(shù)學(xué)方法和策略，建立相應(yīng)的隨機(jī)微分方程，分析其中數(shù)學(xué)特征和數(shù)學(xué)機(jī)理，推導(dǎo)相關(guān)的公式和性質(zhì)，通過分析來更好的理解物理學(xué)中的隨機(jī)性問題。 關(guān)鍵詞：隨機(jī)微分方程；布朗運(yùn)動；matlab模擬；Abstract. Newton and Leibniz created calculus, in order to describe the mechanical dynamics, astronomy and other fields of physics, the establishment of a deterministic differential equation. Deterministic differential equations large number of practical problems in application. However, the actual physical phenomena in the study mathematical model to describe the physical phenomenon of a specific set of mathematical equations used to not be completely accurate. Practical problems of uncertainties abound and often the crux of the problem can not be ignored. Since the mid-twentieth century, a lot of uncertainty with the actual problems, and the accuracy of the model and actual problems requires understanding the complexity of continuous improvement, more and more uncertainty to the model to be considered in This is the basis of the differential equations introduced random factor contributing to the construction and development of stochastic integral, and on this based on the theory of stochastic differential equations and methods.With the development of technology, more and more widely used in stochastic differential equation model and analysis. In this paper, the cha- racteristics of randomness exist in physics, mathematics extracted the es- sence, the use of mathematical methods and strategies, the establishment of the corresponding stochastic differential equations, mathematical char- acteristics and mathematical analysis in which the mechanism and nature of the formula is derived through the analysis to better Understanding of stochastic problems in physics. Key words: stochastic differential equations; Brownian motion; matlab simulation;目錄引言61隨機(jī)過程及隨機(jī)微分方程概述711隨機(jī)過程71.2隨機(jī)微分方程（SDE）71.3隨機(jī)微分方程分類81.3.1系數(shù)81.3.2初始值81.3.3移項(xiàng)101.4伊藤微分方程及伊藤微分法則111.4.1伊藤微分方程概述11142伊藤積分11143 伊藤過程111.4.4 引理及其應(yīng)用121.5隨機(jī)微分方程的研究意義132隨機(jī)微分方程的數(shù)值解132.1隨機(jī)微分方程的數(shù)值解132.1.1 SDE的解132.1.2 SDE的數(shù)值解143用隨機(jī)微分方程描述物理過程并提煉數(shù)學(xué)模型143.1布朗運(yùn)動143.1.1布朗運(yùn)動概述14312布朗運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型1532布朗運(yùn)動的隨機(jī)微分方程16321布朗運(yùn)動的微分形式164利用matlab數(shù)值模擬布朗運(yùn)動174.1matlab簡介174.1.1matlab特點(diǎn)174.2布朗運(yùn)動的模擬1843幾何布朗運(yùn)動的模擬18結(jié)論20參考文獻(xiàn)21致謝22引言本論文的主要內(nèi)容是隨機(jī)微分方程及其在物理學(xué)中的應(yīng)用，首先介紹了隨機(jī)過程和隨機(jī)微分方程，以及必要的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備知識，再通過對物理學(xué)中布朗運(yùn)動的背景分析，提煉數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出其微分方程，利用matlab模擬該過程，最后分析隨機(jī)微分方程的解及其研究意義。隨機(jī)微分方程越來越廣泛地應(yīng)用于模型的建立和分析中。本文針對物理學(xué)中存在隨機(jī)性的特征，提取其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，利用數(shù)學(xué)方法和策略，建立相應(yīng)的隨機(jī)微分方程，分析其中數(shù)學(xué)特征和數(shù)學(xué)機(jī)理，推導(dǎo)相關(guān)的公式和性質(zhì)，通過分析來更好的理解物理學(xué)中的隨機(jī)性問題。在本文中，對于理性概念的定義與命題的推導(dǎo)，并不探求數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性，而是通過剖析原始想法敘述其含義及可能的發(fā)展，讓讀者盡快的了解并掌握隨機(jī)微分方程的思想要領(lǐng)。同時(shí)也為想要進(jìn)一步學(xué)習(xí)提高的讀者提供了一個(gè)直觀的平臺。1隨機(jī)過程及隨機(jī)微分方程概述11隨機(jī)過程 隨機(jī)過程的理論研究起源于生產(chǎn)、科研中的實(shí)際需要，隨著人們對現(xiàn)象的認(rèn)識越來越深人，它已被廣泛地應(yīng)用于自然、社會科學(xué)的許多領(lǐng)域中，并在課題的研究和解決中起著重大的作用。大量的含有不確定性的實(shí)際問題的出現(xiàn)，促使了隨機(jī)積分的構(gòu)建與發(fā)展，并在此基礎(chǔ)上建立了隨機(jī)微分方程的相關(guān)理論和方法。二元函數(shù)是隨機(jī)過程，其中。如果,則稱該過程為離散時(shí)間過程；如果R,則稱連續(xù)時(shí)間過程。我們通常把連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程記作，0。有時(shí)我們用來表示。 對于固定的，比如，（，），0（或離散情形下的，）被稱作路徑或軌跡。 對于固定的，比如，集合（或者離散情況下的）是時(shí)刻該隨機(jī)過程的狀態(tài)集。就成了隨機(jī)變量。1.2隨機(jī)微分方程（SDE） 通常寫成微分形式： 有時(shí)也簡寫為： 被稱作漂移項(xiàng)，被稱作擴(kuò)散項(xiàng)。1.3隨機(jī)微分方程分類1.3.1系數(shù)方程 （公式3.1）等價(jià)于形式上該隨機(jī)微分方程組的解可寫為對一個(gè)模型而言，在工程上感興趣的是它的解的數(shù)值。對于公式3.1其中分別為： 1.3.2初始值定理：若連續(xù)，則方程（3.1）對于任何初始條件有唯一均方解。證明：方程（3.1）等價(jià)于積分方程。下用逐步逼近法來解這個(gè)積分方程。由關(guān)系式定義了一個(gè)隨機(jī)過程序列?？紤]五維閉區(qū)域。在D上連續(xù)因而有界，即存在常數(shù)M，在D上滿足，隨機(jī)積分有如下形式，因此，其中。又由在D上的連續(xù)性可知它們皆有界，所以存在常數(shù)在D上滿足所以有又有計(jì)算得知其中。從而推出同理最后有所以有 于是有，其中，即有序列為一致收斂的。所以唯一存在。1.3.3移項(xiàng)考慮X(t)和t的一個(gè)任意函數(shù)h(X,t),在X和t的任何有限區(qū)間上它的偏導(dǎo)數(shù)是聯(lián)合連續(xù)和有界的。如果用表示時(shí)間增量下的一個(gè)有限向前增量算子有：這時(shí)的泰勒級數(shù)展開為： (3.2)已證明,因此給定X下方程（3.2）的條件的期望為：再對上述方程求期望得：上式同時(shí)除以再令，交換微分與期望，便得常微分方程： （3.3）令，方程（3.3）就是對于的矩方程。當(dāng)，狀態(tài)變量，則，將附錄中的各參數(shù)代入方程（3.3）即可求出的矩方程。1.4伊藤微分方程及伊藤微分法則1.4.1伊藤微分方程概述伊藤微分方程是一類在控制論、濾波和通訊理論中有著重要作用的隨機(jī)微分方程，它的表述如下X(t)=fX(t)，t+GX(t)，tW(t)，t屬于t。，T，X(t。)=X。其中W(t)是m維矢量隨機(jī)過程，其分量是高斯白噪聲過程，Gx(t)，t是nxm矩陣函數(shù)，X。與W(t)獨(dú)立。f，G均為t。，T上布朗可測函數(shù)。若fX(t)，t為關(guān)于X的非線性函數(shù)，則稱其非線性伊藤隨機(jī)微分方程。首先研究這類隨機(jī)微分方程的是郎之萬，他在1908年研究粒子作布朗運(yùn)動時(shí)提出這類方程。從那時(shí)起這類微分方程的研究得到了迅速發(fā)展。這種方程描述了一切具有隨機(jī)擾動或輸入的系統(tǒng)。142伊藤積分 假設(shè)是關(guān)于布朗運(yùn)動生成的事件流適應(yīng)的隨機(jī)過程，滿足+.則X的積分定義為： 例如： = 143 伊藤過程 隨機(jī)過程可以寫成如下形式： 其中和是兩個(gè)適應(yīng)過程，且滿足 and 則被稱為過程1.4.4 引理及其應(yīng)用引理： 假設(shè)滿足SDE： 是X的函數(shù)，則 展開時(shí)，有下面的法則： 引理的應(yīng)用： 假設(shè)滿足SDE： 設(shè) = = = 則是布朗運(yùn)動，有 =1.5隨機(jī)微分方程的研究意義隨機(jī)過程的理論研究起源于生產(chǎn)、科研中的實(shí)際需要，其理論產(chǎn)生于二十世紀(jì)的初期。特別是三十年代柯爾莫哥洛夫奠定了概率論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之后，隨機(jī)過程理論得到了更快、更深刻的發(fā)展。隨著人們對現(xiàn)象的認(rèn)識越來越深人，它已被廣泛地應(yīng)用于自然、社會科學(xué)的許多領(lǐng)域中，并在課題的研究和解決中。在模擬、分析和預(yù)測物理和自然現(xiàn)象的性質(zhì)時(shí)，越來越強(qiáng)調(diào)使用概率方法。這是因?yàn)楹芏噙@類問題的表述中存在著復(fù)雜性、不確定性和未知因素，概率理論已被越來越多地用來研究科學(xué)和工程中的種種課題。許多物理上重要的問題是用確定性微分方程描述的，牛頓第二定律的數(shù)學(xué)描述就是一個(gè)典型的例子。當(dāng)考慮到各種隨機(jī)效應(yīng)時(shí)，包含隨機(jī)元素的微分方程，即隨機(jī)微分方程就起著重要的作用，它能解釋或者分析確定性微分方程無法解決的問題。2隨機(jī)微分方程的數(shù)值解2.1隨機(jī)微分方程的數(shù)值解2.1.1 SDE的解 全局Lipschitz條件：對于所有的和，存在常數(shù)K+使得 線性增長條件：對于所有的和，存在常數(shù)使得 則SDE存在唯一的、連續(xù)的強(qiáng)解使得： 2.1.2 SDE的數(shù)值解 并不是所有的SDE都能解出顯式解，更多的SDE只能通過迭代式求出數(shù)值解。求SDE數(shù)值解也就是模擬出解的路徑。 Euler格式： Milstein格式： 其中 ， 而是互相獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量。3用隨機(jī)微分方程描述物理過程并提煉數(shù)學(xué)模型3.1布朗運(yùn)動3.1.1布朗運(yùn)動概述英國物理學(xué)家Brown與1827年在顯微鏡下觀察液體中的花粉微粒，發(fā)現(xiàn)他們在極端不規(guī)則的運(yùn)動，以后的研究者發(fā)現(xiàn)了更多的類似現(xiàn)象，如空氣中的煙霧的擴(kuò)散等。直到19世紀(jì)末才知道其機(jī)理是，由于花粉、煙塵等微粒，受到大量液體分子或氣體分子的作用，所做的無規(guī)則碰撞而形成的。Einstein在1905年做了量化的討論，建立了物理模型。以后又經(jīng)過Ornstein和Uhlenbeck，以及Langevin等人的完善。Wiener在1918年對Brown運(yùn)動建立了用隨機(jī)過程的語言描述的嚴(yán)格數(shù)學(xué)模型。經(jīng)過數(shù)學(xué)家一個(gè)世紀(jì)的努力，到20世紀(jì)中葉，Brown運(yùn)動的數(shù)學(xué)理論已經(jīng)十分成熟而且具有極為廣泛的應(yīng)用。Brown運(yùn)動和Poisson過程自然地成為隨機(jī)過程的兩大支柱。作為隨機(jī)過程，Brown運(yùn)動的性質(zhì)最為特殊，作用也更為廣泛。312布朗運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型 Einstein將Brown發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象描述為一個(gè)隨機(jī)運(yùn)動的粒子在時(shí)間區(qū)間0,t上的隨機(jī)位移，因此，它是一組依賴與時(shí)間參數(shù)t的三維隨機(jī)向量，即它是一個(gè)三維的隨機(jī)過程。如果我們將粒子的出發(fā)位置取為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么。Einstein從物理的角度假定了這種粒子的運(yùn)動具有以下性質(zhì)： 粒子在空間的位移的3個(gè)一維分量是相互獨(dú)立的，且它是獨(dú)立增量過程，即在任意互不相交的區(qū)間上，其差都相互獨(dú)立。 運(yùn)動的統(tǒng)計(jì)規(guī)律對空間是對稱的。因而有。 在時(shí)間區(qū)間上的差的分布，與時(shí)間區(qū)間的起點(diǎn)s無關(guān)，并且其方差 =是t的連續(xù)函數(shù)。 由此我們求的分布密度表達(dá)式如下。 首先，由獨(dú)立增量性質(zhì)得到 =由于關(guān)于t連續(xù)，由微積分知道必有表達(dá)式 其中D是一個(gè)常數(shù)，是單位時(shí)間內(nèi)粒子平方位移的均值，稱之為擴(kuò)散常數(shù)。由分子運(yùn)動學(xué)Einstein得到了 其中R是由分子的特性所決定的一個(gè)普適常數(shù)，T是絕對溫度，N是Avogadro常數(shù)，f是摩擦系數(shù)，不妨設(shè)D=1. 對任意劃分 可以表示為n個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量之和： +（）+(). 具有正態(tài)密度即其分布密度為 從Einstein的物理模型可以抽象出以下的數(shù)學(xué)模型。 滿足以下條件的一個(gè)隨機(jī)過程稱為布朗運(yùn)動。 是獨(dú)立增量的過程，即對任意互不相交的區(qū)間上，相應(yīng)的增量都相互獨(dú)立。 對于任意，增量（分布不依賴s，稱為具有平穩(wěn)增量）； 對每一個(gè)固定的基本事件（樣本點(diǎn)）作為t的函數(shù)（稱為樣本軌道），是連續(xù)函數(shù)（微粒運(yùn)動的連續(xù)性）。 特別地，當(dāng)D=1時(shí)，我們稱之為標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動，一般就簡稱標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動為Brown運(yùn)動。32布朗運(yùn)動的隨機(jī)微分方程321布朗運(yùn)動的微分形式布朗運(yùn)動： 在給定初值的條件下，可以求出方程的解為: 幾何布朗運(yùn)動： 在給定初值的條件下，可以求出方程的解為: Vasicek過程: 時(shí)該過程有均值反轉(zhuǎn)的性質(zhì)。該過程也可以寫成： Cox-lngersoll-Ross過程: 當(dāng)時(shí)，該過程嚴(yán)格取正值。方程也可以寫成： 4利用matlab數(shù)值模擬布朗運(yùn)動4.1matlab簡介MALAB 譯于矩陣實(shí)驗(yàn)室MATrix LABoratory 是用來提供通往LINPACK 和EISPACK 矩陣軟件包接口的。后來， 它漸漸發(fā)展成了通用科技計(jì)算圖視交互系統(tǒng)和程序語言。MATLAB 的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣它的指令表達(dá)與數(shù)學(xué)工程中常用的習(xí)慣形式十分相似。比如，矩陣方程Ax=b， 在MATLAB 中被寫成A*x=b 而若要通過A,b求x ，那么只要寫x=Ab 即可，完全不需要對矩陣的乘法和求逆進(jìn)行編程。因此，用MATLAB 解算問題要比用C Fortran 等語言簡捷得多。MATLAB語言是當(dāng)前國際上自動控制領(lǐng)域的首選計(jì)算機(jī)語言，也是很多理工科專業(yè)最適合的計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)語言。MATLAB作為線性系統(tǒng)的一種分析和仿真工具，是理工科大學(xué)生應(yīng)該掌握的技術(shù)工具，它作為一種編程語言和可視化工具，可解決工程、科學(xué)計(jì)算和數(shù)學(xué)學(xué)科中許多問題。MATLAB是一種交互式的以矩陣為基礎(chǔ)的系統(tǒng)計(jì)算平臺,它用于科學(xué)和工程的計(jì)算與可視化。它的優(yōu)點(diǎn)在于快速開發(fā)計(jì)算方法，而不在于計(jì)算速度。4.1.1matlab特點(diǎn)1.高度適應(yīng)性、開放性：MATLAB的工具箱可以任意增減，任何人可以自己生成MATLAB工具箱。2可擴(kuò)充性： MATLAB的函數(shù)大多為ASCII文件，可以直接編輯、修改3.基于矩陣運(yùn)算的工作平臺。多版本：windows/unix/dos/Macintosh4.極多的工具箱。4.2布朗運(yùn)動的模擬 設(shè)定.對，做以下幾步： 產(chǎn)生 43幾何布朗運(yùn)動的模擬設(shè)定初始值為，對，做以下幾步： 產(chǎn)生 結(jié)論通過完成這篇論文，我們對隨機(jī)過程及隨機(jī)微分方程的形式有了初步的了解，通過隨機(jī)微分方程在布朗運(yùn)動上的應(yīng)用，可以清楚地了解布朗運(yùn)動的數(shù)學(xué)機(jī)理及運(yùn)動軌跡，使得對于物理過程的理解更加深刻。當(dāng)今，隨機(jī)微分方程越來越廣泛地應(yīng)用于模型的建立和分析中，本文針對物理學(xué)中存在隨機(jī)性的特征，提取其中