二次函數(shù)最值問題總結(jié).doc

.二次函數(shù)的最值問題二次函數(shù)是初中函數(shù)的主要內(nèi)容，也是高中學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)在初中階段大家已經(jīng)知道：二次函數(shù)在自變量取任意實數(shù)時的最值情況(當時，函數(shù)在處取得最小值，無最大值；當時，函數(shù)在處取得最大值，無最小值本節(jié)我們將在這個基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)當自變量在某個范圍內(nèi)取值時，函數(shù)的最值問題同時還將學(xué)習(xí)二次函數(shù)的最值問題在實際生活中的簡單應(yīng)用二次函數(shù)求最值（一般范圍類）例1當時，求函數(shù)的最大值和最小值分析：作出函數(shù)在所給范圍的及其對稱軸的草圖，觀察圖象的最高點和最低點，由此得到函數(shù)的最大值、最小值及函數(shù)取到最值時相應(yīng)自變量的值 解：作出函數(shù)的圖象當時，當時，例2當時，求函數(shù)的最大值和最小值解：作出函數(shù)的圖象當時，當時，由上述兩例可以看到，二次函數(shù)在自變量的給定范圍內(nèi)，對應(yīng)的圖象是拋物線上的一段那么最高點的縱坐標即為函數(shù)的最大值，最低點的縱坐標即為函數(shù)的最小值根據(jù)二次函數(shù)對稱軸的位置，函數(shù)在所給自變量的范圍的圖象形狀各異下面給出一些常見情況：例3當時，求函數(shù)的取值范圍解：作出函數(shù)在內(nèi)的圖象可以看出：當時，無最大值所以，當時，函數(shù)的取值范圍是例4當時，求函數(shù)的最小值(其中為常數(shù))分析：由于所給的范圍隨著的變化而變化，所以需要比較對稱軸與其范圍的相對位置解：函數(shù)的對稱軸為畫出其草圖(1) 當對稱軸在所給范圍左側(cè)即時：當時，；(2) 當對稱軸在所給范圍之間即時：當時，；(3) 當對稱軸在所給范圍右側(cè)即時：當時，綜上所述：在實際生活中，我們也會遇到一些與二次函數(shù)有關(guān)的問題：二次函數(shù)求最值(經(jīng)濟類問題)例1為了擴大內(nèi)需，讓惠于農(nóng)民，豐富農(nóng)民的業(yè)余生活，鼓勵送彩電下鄉(xiāng)，國家決定對購買彩電的農(nóng)戶實行政府補貼規(guī)定每購買一臺彩電，政府補貼若干元，經(jīng)調(diào)查某商場銷售彩電臺數(shù)（臺）與補貼款額（元）之間大致滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系隨著補貼款額的不斷增大，銷售量也不斷增加，但每臺彩電的收益（元）會相應(yīng)降低且與之間也大致滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系（1）在政府未出臺補貼措施前，該商場銷售彩電的總收益額為多少元？（2）在政府補貼政策實施后，分別求出該商場銷售彩電臺數(shù)和每臺家電的收益與政府補貼款額之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）要使該商場銷售彩電的總收益（元）最大，政府應(yīng)將每臺補貼款額定為多少？并求出總收益的最大值分析：（1）政府未出臺補貼措施前，商場銷售彩電臺數(shù)為800臺，每臺彩電的收益為200元；（2）利用兩個圖像中提供的點的坐標求各自的解析式；（3）商場銷售彩電的總收益商場銷售彩電臺數(shù)每臺家電的收益，將（2）中的關(guān)系式代入得到二次函數(shù)，再求二次函數(shù)的最大值.解：（1）該商場銷售家電的總收益為（元）；（2）依題意可設(shè)，有，解得所以，（3），政府應(yīng)將每臺補貼款額定為100元，總收益有最大值，其最大值為元說明：本題中有兩個函數(shù)圖像，在解題時要結(jié)合起來思考，不可顧此失彼. 例2凱里市某大型酒店有包房100間，在每天晚餐營業(yè)時間，每間包房收包房費100元時，包房便可全部租出；若每間包房收費提高20元，則減少10間包房租出，若每間包房收費再提高20元，則再減少10間包房租出，以每次提高20元的這種方法變化下去.（1）設(shè)每間包房收費提高x（元），則每間包房的收入為y1（元），但會減少y2間包房租出，請分別寫出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式.（2）為了投資少而利潤大，每間包房提高x（元）后，設(shè)酒店老板每天晚餐包房總收入為y（元），請寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，求出每間包房每天晚餐應(yīng)提高多少元可獲得最大包房費收入，并說明理由.分析：（1）提價后每間包房的收入原每間包房收包房費+每間包房收包房提高費，包房減少數(shù)每間包房收包房提高費數(shù)量的一半；（2）酒店老板每天晚餐包房總收入提價后每間包房的收入每天包房租出的數(shù)量，得到二次函數(shù)后再求y取得最大值時x的值.解：（1），；（2）y，因為提價前包房費總收入為100100=10000，當x=50時，可獲最大包房收入11250元，因為1125010000又因為每次提價為20元，所以每間包房晚餐應(yīng)提高40元或60元.說明：本題的答案有兩個，但從“投資少而利潤大”的角度來看，因盡量少租出包房，所以每間包房晚餐應(yīng)提高60元應(yīng)該更好.例3某水產(chǎn)品養(yǎng)殖企業(yè)為指導(dǎo)該企業(yè)某種水產(chǎn)品的養(yǎng)殖和銷售，對歷年市場行情和水產(chǎn)品養(yǎng)殖情況進行了調(diào)查調(diào)查發(fā)現(xiàn)這種水產(chǎn)品的每千克售價（元）與銷售月份（月）滿足關(guān)系式，而其每千克成本（元）與銷售月份（月）滿足的函數(shù)關(guān)系如圖所示2524y2（元）x（月）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 O（1）試確定的值；（2）求出這種水產(chǎn)品每千克的利潤（元）與銷售月份（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）“五一”之前，幾月份出售這種水產(chǎn)品每千克的利潤最大？最大利潤是多少？分析：（1）將點（3，25），（4，24）代入求b、c的值；（2）y-；（3）將（2）中的二次函數(shù)配方為頂點式，再利用二次函數(shù)的增減性，在滿足“五一”之前的前提下求最大值. 解：（1）由題意：，解得；（2）；（3） .，拋物線開口向下在對稱軸左側(cè)隨的增大而增大由題意，所以在4月份出售這種水產(chǎn)品每千克的利潤最大最大利潤（元）說明：本題在x6，即6月份時取得最大值，但題目要求在“五一”之前，所以要將二次函數(shù)配方為頂點式，利用二次函數(shù)的增減性來求解.例4.某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量(件)與每件的銷售價(元)滿足一次函數(shù)(1) 寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤與每件銷售價之間的函數(shù)關(guān)系式；(2) 若商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件商品的售價定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？解：(1) 由已知得每件商品的銷售利潤為元，那么件的銷售利潤為，又(2) 由(1)知對稱軸為，位于的范圍內(nèi)，另拋物線開口向下當時，當每件商品的售價定為42元時每天有最大銷售利潤，最大銷售利潤為432元二次函數(shù)求最值(面積最值問題)例1.在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A出發(fā)，沿AB邊向點B以1cms的速度移動，同時點Q從點B出發(fā)沿BC邊向點C以2cms的速度移動，如果P、Q兩點同時出發(fā)，分別到達B、C兩點后就停止移動（1）運動第t秒時，PBQ的面積y(cm)是多少？（2）此時五邊形APQCD的面積是S(cm)，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍（3）t為何值時s最小，最小值時多少？答案：例2.小明的家門前有一塊空地，空地外有一面長10米的圍墻，為了美化生活環(huán)境，小明的爸爸準備靠墻修建一個矩形花圃，他買回了32米長的不銹鋼管準備作為花圃的圍欄，為了澆花和賞花的方便，準備在花圃的中間再圍出一條寬為一米的通道及在左右花圃各放一個1米寬的門（木質(zhì)）花圃的長與寬如何設(shè)計才能使花圃的面積最大？解：設(shè)花圃的寬為米，面積為平方米則長為：(米)則： ，與的二次函數(shù)的頂點不在自變量的范圍內(nèi)，而當內(nèi)，隨的增大而減小，當時，(平方米)答：可設(shè)計成寬米，長10米的矩形花圃，這樣的花圃面積最大例3.已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1試在AB上求一點P，使矩形PNDM有最大面積 解：設(shè)矩形PNDM的邊DN=x，NP=y，則矩形PNDM的面積S=xy（2x4）易知CN=4-x，EM=4-y過點B作BHPN于點H則有AFBBHP，即，此二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為x=5，當x5時，函數(shù)值隨的增大而增大，對于來說，當x=4時，【評析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識有機的結(jié)合在一起，能很好考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力同時，也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間例4.某人定制了一批地磚，每塊地磚（如圖(1)所示）是邊長為0.4米的正方形ABCD，點E、F分別在邊BC和CD上，CFE、ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成CFE、ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格依次為30元、20元、10元，若將此種地磚按圖(2)所示的形式鋪設(shè)，且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH(1)判斷圖(2)中四邊形EFGH是何形狀，并說明理由；(2)E、F在什么位置時，定制這批地磚所需的材料費用最??？解：(1) 四邊形EFGH是正方形圖(2)可以看作是由四塊圖(1)所示地磚繞C點按順(逆)時針方向旋轉(zhuǎn)90后得到的，故CE=CF =CGCEF是等腰直角三角形因此四邊形EFGH是正方形 (2)設(shè)CE=x, 則BE=0.4x，每塊地磚的費用為y元那么：y=x3