初二奧數(shù)題及答案.doc

.初二數(shù)學奧數(shù)及答案 班級 姓名 學號 1、如圖，梯形ABCD中，ADBC，DEEC，EFAB交BC于點F，EFEC，連結DF。(1)試說明梯形ABCD是等腰梯形；(2)若AD1，BC3，DC，試判斷DCF的形狀；(3)在條件(2)下，射線BC上是否存在一點P，使PCD是等腰三角形，若存在，請直接寫出PB的長；若不存在，請說明理由。2、在邊長為6的菱形ABCD中，動點M從點A出發(fā)，沿ABC向終點C運動，連接DM交AC于點N.（1）如圖251，當點M在AB邊上時，連接BN.求證：ABNADN；若ABC = 60，AM = 4，求點M到AD的距離；（2）如圖252，若ABC = 90，記點M運動所經過的路程為x（6x12）試問：x為何值時，ADN為等腰三角形.3、對于點O、M，點M沿MO的方向運動到O左轉彎繼續(xù)運動到N，使OMON，且OMON，這一過程稱為M點關于O點完成一次“左轉彎運動”正方形ABCD和點P，P點關于A左轉彎運動到P1，P1關于B左轉彎運動到P2，P2關于C左轉彎運動到P3，P3關于D左轉彎運動到P4，P4關于A左轉彎運動到P5，（1）請你在圖中用直尺和圓規(guī)在圖中確定點P1的位置；（2）連接P1A、P1B，判斷 ABP1與ADP之間有怎樣的關系？并說明理由。(3)以D為原點、直線AD為軸建立直角坐標系，并且已知點B在第二象限，A、P兩點的坐標為（0，4）、（1，1），請你推斷：P4、P2009、P2010三點的坐標圖1圖24、如圖1和2，在2020的等距網格（每格的寬和高均是1個單位長）中，RtABC從點A與點M重合的位置開始，以每秒1個單位長的速度先向下平移，當BC邊與網的底部重合時，繼續(xù)同樣的速度向右平移，當點C與點P重合時，RtABC停止移動.設運動時間為x秒，QAC的面積為y.（1）如圖1，當RtABC向下平移到RtA1B1C1的位置時，請你在網格中畫出RtA1B1C1關于直線QN成軸對稱的圖形；（2）如圖2，在RtABC向下平移的過程中，請你求出y與x的函數(shù)關系式，并說明當x分別取何值時，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分別是多少？（3）在RtABC向右平移的過程中，請你說明當x取何值時，y取得最大值和最小值？最大值和最值分別是多少？為什么？5、如圖，ABC中，AB=AC，B、C的平分線交于O點，過O點作EFBC交AB、AC于E、F(1)圖中有幾個等腰三角形?猜想： EF與BE、CF之間有怎樣的關系，并說明理由(2)如圖，若ABAC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎?如果有，分別指出它們在第(1)問中EF與BE、CF間的關系還存在嗎?(3)如圖，若ABC中B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點作OEBC交AB于E，交AC于F這時圖中還有等腰三角形嗎?EF與BE、CF關系又如何?說明你的理由。6、已知，如圖，ABC中，BAC=90，AB=AC,D為AC上一點，且BDC=124，延長BA到點E，使AE=AD,BD的延長線交CE于點F，求E的度數(shù)。7、 如圖，正方形ABCD的對角線AC,BD交于點O，將一三角尺的直角頂點放在點O處，讓其繞點O旋轉，三角尺的直角邊與正方形ABCD的兩邊交于點E和F。通過觀察或測量OE,OF的長度，你發(fā)現(xiàn)了什么？試說明理由。 答案解析1、解：（1）證明：EF=EC，EFC=ECF， EFAB， B=EFC，B=ECF，梯形ABCD是等腰梯形；（2）DCF是等腰直角三角形， 證明：DE=EC，EF=EC，EF= CD，CDF是直角三角形（如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形），梯形ABCD是等腰梯形， CF= （BC-AD）=1， DC= ， 由勾股定理得：DF=1，DCF是等腰直角三角形；（3）共四種情況：PB=1，PB=2，PB=3-，PB=3+2、證明：（1）四邊形ABCD是菱形， AB=AD，1=2 又AN=AN， ABNADN解：作MHDA交DA的延長線于點H 由ADBC，得MAH=ABC=60在RtAMH中，MH=AMsin60=4sin60=2 點M到AD的距離為2 AH=2 DH=6+2=8（2）解：ABC=90， 菱形ABCD是正方形 CAD=45下面分三種情形： （）若ND=NA，則ADN=NAD=45此時，點M恰好與點B重合，得x=6；（）若DN=DA，則DNA=DAN=45 此時，點M恰好與點C重合，得x=12；（）若AN=AD=6，則1=2 ADBC， 1=4，又2=3，3=4 CM=CN AC=6 2 CM=CN=AC-AN=6 2-6故x=12-CM=12-（6 2-6）=18-6 2綜上所述：當x=6或12或18-6 2時，ADN是等腰三角形。3、解：（1）用直尺和圓規(guī)作圖，作圖痕跡清晰；（2）ABP1ADP，且ABP1可看成是由ADP繞點A順時針旋轉90而得理由如下：在ABP1和ADP中，由題意：AB=AD，AP=AP1，PAD=P1AB，ABP1ADP，又ABP1和ADP有公共頂點A，且PAP1=90，ABP1可看成是由ADP繞點A順時針旋轉90而得；（3）點P（1，1）關于點A（0，4）左轉彎運動到P1（-3，3），點P1（-3，3）關于點B（-4，4）左轉彎運動到點P2（-5，3），點P2（-5，3）關于點C（-4，0）左轉彎運動到點P3（-1，1），點P3（-1，1）關于點D（0，0）左轉彎運動到點P4（1，1），點P4（1，1）關于點A（0，4）左轉彎運動到點P5（-3，3），點P5與點P1重合，點P6與點P2重合，點P2009的坐標為（-3，3）點P2010的坐標為（-5，3）4、解：（1）如圖1，A2B2C2是A1B1C1關于直線QN成軸對稱的圖形；（2）當ABC以每秒1個單位長的速度向下平移x秒時（如圖2），則有：MA=x，MB=x+4，MQ=20，y=S梯形QMBC-SAMQ-SABC=4+20）（x+4）- 20x- 44=2x+40（0x16）由一次函數(shù)的性質可知：當x=0時，y取得最小值，且y最小=40，當x=16時，y取得最大值，且y最大=216+40=72；（3）解法一：當ABC繼續(xù)以每秒1個單位長的速度向右平移時，此時16x32，PB=20-（x-16）=36-x，PC=PB-4=32-x，y=S梯形BAQP-SCPQ-SABC= （4+20）（36-x）-20（32-x）- 44=-2x+104（16x32）由一次函數(shù)的性質可知：當x=32時，y取得最小值，且y最小=-232+104=40；當x=16時，y取得最大值，且y最大=-216+104=72解法二：在ABC自左向右平移的過程中，QAC在每一時刻的位置都對應著（2）中QAC某一時刻的位置，使得這樣的兩個三角形關于直線QN成軸對稱因此，根據(jù)軸對稱的性質，只需考查ABC在自上至下平移過程中QAC面積的變化情況，便可以知道ABC在自左向右平移過程中QAC面積的變化情況當x=16時，y取得最大值，且y最大=72，當x=32時，y取得最小值，且y最小=405、解：（1）圖中有5個等腰三角形，EF=BE+CF，BEOCFO，且這兩個三角形均為等腰三角形，可得EF=EO+FO=BE+CF；（2）還有兩個等腰三角形，為BEO、CFO，如下圖所示：EFBC，2=3，又1=2，1=3，BEO為等腰三角形，在CFO中，同理可證EF=BE+CF存在（3）有等腰三角形：BEO、CFO，此時EF=BE-CF，如下圖所示：OEBC，5=6，又4=5，4=6，BEO是等腰三角形，在CFO中，同理可證CFO是等腰三角形，此時EF=BE-CF，6、解：在ABD和ACE中，AB=AC，DAB=CAE=90AD=AE，ABD