PI值計(jì)算方法1.doc

計(jì)算圓周率的一些公式 -|waruqi 發(fā)表于 2005-12-8 9:24:00 Machin公式 這個(gè)公式由英國(guó)天文學(xué)教授John Machin于1706年發(fā)現(xiàn)。他利用這個(gè)公式計(jì)算到了100位的圓周率。Machin公式每計(jì)算一項(xiàng)可以得到1.4位的十進(jìn)制精度。因?yàn)樗挠?jì)算過(guò)程中被乘數(shù)和被除數(shù)都不大于長(zhǎng)整數(shù)，所以可以很容易地在計(jì)算機(jī)上編程實(shí)現(xiàn)。還有很多類似于Machin公式的反正切公式:pi/4=arctg(1/2)+arctg(1/5)+ arctg(1/8) 1844.達(dá)塞利 = arctg(1/2)+ arctg(1/3) =2 arctg(1/3)+ arctg(1/7) =12 arctg(1/18)+8 arctg(1/57)-5 arctg(1/239)在所有這些公式中，Machin公式似乎是最快的了。雖然如此，如果要計(jì)算更多的位數(shù)，比如幾千萬(wàn)位，Machin公式就力不從心了。下面介紹的算法，在PC機(jī)上計(jì)算大約一天時(shí)間，就可以得到圓周率的過(guò)億位的精度。這些算法用程序?qū)崿F(xiàn)起來(lái)比較復(fù)雜。因?yàn)橛?jì)算過(guò)程中涉及兩個(gè)大數(shù)的乘除運(yùn)算，要用FFT(Fast Fourier Transform)算法。FFT可以將兩個(gè)大數(shù)的乘除運(yùn)算時(shí)間由O(n2)縮短為O(nlog(n)。（FFT算法不在此文講訴）Ramanujan公式 1914年，印度數(shù)學(xué)家Srinivasa Ramanujan在他的論文里發(fā)表了一系列共14條圓周率的計(jì)算公式，這是其中之一。這個(gè)公式每計(jì)算一項(xiàng)可以得到8位的十進(jìn)制精度。1985年Gosper用這個(gè)公式計(jì)算到了圓周率的17,500,000位。 1989年，David & Gregory Chudnovsky兄弟將Ramanujan公式改良成為： 這個(gè)公式被稱為Chudnovsky公式，每計(jì)算一項(xiàng)可以得到15位的十進(jìn)制精度。1994年Chudnovsky兄弟利用這個(gè)公式計(jì)算到了4,044,000,000位。Chudnovsky公式的另一個(gè)更方便于計(jì)算機(jī)編程的形式是： AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法 Gauss-Legendre公式： 初值： 重復(fù)計(jì)算： 最后計(jì)算： 這個(gè)公式每迭代一次將得到雙倍的十進(jìn)制精度，比如要計(jì)算100萬(wàn)位，迭代20次就夠了。1999年9月Takahashi和Kanada用這個(gè)算法計(jì)算到了圓周率的206,158,430,000位，創(chuàng)出新的世界紀(jì)錄。 Borwein四次迭代式： 初值： 重復(fù)計(jì)算： 最后計(jì)算： 這個(gè)公式由Jonathan Borwein和Peter Borwein于1985年發(fā)表，它四次收斂于圓周率。Bailey-Borwein-Plouffe算法 這個(gè)公式簡(jiǎn)稱BBP公式，由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同發(fā)表。它打破了傳統(tǒng)的圓周率的算法，可以計(jì)算圓周率的任意第n位，而不用計(jì)算前面的n-1位。這為圓周率的分布式計(jì)算提供了可行性。1997年，F(xiàn)abrice Bellard找到了一個(gè)比BBP快40的公式： （此上文為轉(zhuǎn)載并改編）計(jì)算pi的另一些公式:1、 作家勃朗爵士（1620-1684）4/pi=(3*3*5*5*7*7*9*9*)/(2*4*4*6*6*8*8*10*.,.)并由數(shù)學(xué)家瓦利斯于1655年變換為連分?jǐn)?shù)：4/pi=1+ 122+ 322+ 522+2、pi=3+ 1 7+ 1 15+ 1 1+ 1 292+.=3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,.(南巴特.1770)由此得近似數(shù)：3/1，22/7，33/106，355/113，1039932/33102，104348/33215，.3、司徒.1833pi/2=1- 1 3- 2*31- 1*2 3- 4*5 1- 3*4 3-4、pi=2+1/3*(2+2/5*(2+3/7*(2+ （2+k/(2k+1)*(2+.)）).).(當(dāng)k=2799時(shí)可精確到800位)5、pi/6=1/2+1/2*1/(3*23)+(1*3)/(2*4)*(1/(5*25)+6、e(pi*i)+1=0 (歐拉公式，也稱世界上最杰出的公式)7、4/pi=1+ 1 3+ 4 5+ 9 7+.8、1+(1/2)2+(1/3)2+(1/4)2+.(1/n)2=pi2/69、1+(1/2)4+(1/3)4+(1/4)4+.(1/n)4=pi4/9010、1+(1/2)6+(1/3)6+(1/4)6+.(1/n)6=pi6/94511、1+(1/2)8+(1/3)8+(1/4)8+.(1/n)8=pi8/945012、1+(1/2)10+(1/3)10+(1/4)10+.(1/n)10=pi10/93555投針試驗(yàn)-計(jì)算的最為稀奇的方法之一 -|waruqi 發(fā)表于 2005-12-8 18:39:00 計(jì)算的最為稀奇的方法之一，要數(shù)18世紀(jì)法國(guó)的博物學(xué)家C蒲豐和他的投針實(shí)驗(yàn)：在一個(gè)平面上，用尺畫一組相距為d的平行線；一根長(zhǎng)度小于d的針，扔到畫了線的平面上；如果針與線相交，則該次扔出被認(rèn)為是有利的，否則則是不利的蒲豐驚奇地發(fā)現(xiàn)：有利的扔出與不利的扔出兩者次數(shù)的比，是一個(gè)包含的表示式如果針的長(zhǎng)度等于d，那么有利扔出的概率為2/扔的次數(shù)越多，由此能求出越為精確的的值公元1901年，意大利數(shù)學(xué)