數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)教案設(shè)計(jì).doc

教案設(shè)計(jì)比賽設(shè)計(jì)稿姓名：黃枚青題目:問題2 （造橋選址問題）如圖13.4-6，A和B兩地在一條河的兩岸,現(xiàn)在要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短?(假定河的兩岸是平行的直線,橋要與河垂直.）圖13.4-6一、審題分析（一）題目背景 1.題材背景：本題出自新人教版八年級(jí)上冊(cè)13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題的問題2. 2.知識(shí)背景：(1)平移變換的相關(guān)知識(shí).(2)兩點(diǎn)之間，線段最短.3.方法背景：(1)會(huì)用平移的方法對(duì)一個(gè)圖形進(jìn)行變換. (2)會(huì)求直線上的點(diǎn)到直線外異側(cè)兩點(diǎn)的距離之和最小的問題. 4.思想背景：化歸思想.（二）學(xué)情分析 1.學(xué)生特點(diǎn)：學(xué)生已在課本第85頁(yè)的問題1學(xué)習(xí)了最短路徑問題，本題是對(duì)最短路徑問題的進(jìn)一步探究. 2.估計(jì)學(xué)生會(huì)遇到的困難和解決策略： （1）忽略條件“橋與河垂直” 策略：給學(xué)生機(jī)會(huì)犯錯(cuò)，直接連接AB分別交兩直線于M和N兩點(diǎn)，即為所求. 再引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題.（2）對(duì)橋的長(zhǎng)度固定不變的理解 策略：利用幾何畫板進(jìn)行探究，通過觀察數(shù)據(jù)的變化，可知?jiǎng)狱c(diǎn)N在移動(dòng)過程中，線段MN的長(zhǎng)度始終不變，再結(jié)合題中給的條件：“兩岸平行”和“橋與河垂直”進(jìn)一步理解.（3）如何確定線段MN的位置 策略：引導(dǎo)學(xué)生通過平移，將問題轉(zhuǎn)化為求直線上的點(diǎn)到直線外異側(cè)兩點(diǎn)的距離之和最小的問題.（4）如何證明線段MN的位置即為所求 策略：引導(dǎo)學(xué)生任取異于MN的線段GH,使GH,GH b,則利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行證明. （三）重、難點(diǎn)重點(diǎn)：探究利用平移性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短性質(zhì)解決最短路徑問題. 難點(diǎn)：1.如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 2.如何確定線段MN的位置3.如何證明線段MN的位置即為所求（四）教學(xué)方法 啟發(fā)式教學(xué)（五）分析題意 本題屬于最短路徑問題，學(xué)生比較陌生，對(duì)題目的理解難度比較大，首先引導(dǎo)學(xué)生通過多次讀題理解題意，已知A、B兩地在一條河的兩岸，且河的兩岸可以看成是平行的直線，則可畫出兩條平行的直線和b，點(diǎn)A和點(diǎn)B是定點(diǎn)，分別位于兩直線的兩側(cè).現(xiàn)在要建一座橋MN，要求橋與河垂直,即線段MN與直線,b垂直.所要求的問題是橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短，即線段位于何處時(shí)，可使AM+MN+NB最小，從而將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,如圖1所示.圖2圖1二、探究過程（一）探究線段MN的大致位置學(xué)生在自主探究時(shí)，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，容易想到連接AB分別交直線,b于M和N兩點(diǎn)，則線段MN即為所求.如圖2所示，引導(dǎo)學(xué)生思考此種作法是否可行，從而發(fā)現(xiàn)與題目中的條件“橋與河垂直”相矛盾.利用幾何畫板進(jìn)行探究，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在直線上來回移動(dòng)時(shí)，這三條線段的長(zhǎng)度之和在不斷跟著改變，而線段MN的長(zhǎng)度始終是不變的，故只需確定另外兩條線段的長(zhǎng)度之和最小即可.通過觀察具體數(shù)據(jù)的變化可知，點(diǎn)N在移動(dòng)過程中，AM+NB對(duì)應(yīng)的數(shù)值的變化情況，從而可以初步得到線段的大致位置.進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生思考如何確定線段MN的準(zhǔn)確位置（二）探究線段MN的準(zhǔn)確位置引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)前面學(xué)過的求直線上的點(diǎn)到直線異側(cè)兩點(diǎn)的距離之和最小問題，已知A、B兩個(gè)定點(diǎn)分別位于一條直線的兩側(cè)，要在直線上找到一點(diǎn)使得它到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和最小,根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接AB與直線l交于一點(diǎn)，即為所求.引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比本題，思考能否通過某種途徑將直線和直線b重合在一起，從而將“兩線兩點(diǎn)”問題轉(zhuǎn)化成“一線兩點(diǎn)”問題，學(xué)生會(huì)想到利用平移的方法，從而得到作圖思路.作圖步驟：（1）同時(shí)將直線和點(diǎn)A沿與河岸垂直的方向平移一個(gè)河寬.使直線與直線重合，點(diǎn)移動(dòng)到A（2）連接AB交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，連接AM則線段MN即為所求.（3）如圖3所示.從而得到最短路徑為：AMNB 圖3圖4(三)證明線段的位置即為所求引導(dǎo)學(xué)生在直線b上異于點(diǎn)N任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作,垂足為，連接A，B ，A，如圖4所示，則只需證明AM+ MN +NB AH+ HG +GB.由于橋的長(zhǎng)度不變，故MN= HG，從而只需證明AM +NB AH +GB.根據(jù)平移性質(zhì)可得AM=AN ，A= A，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為只需證明AN +NB A+ GB. 由圖可知，A+B= AB ，最終問題可轉(zhuǎn)化為只需證明ABA+ GB.學(xué)生很容易想到根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行證明，最終得到證明思路，證明過程如下：證明：在直線b上異于點(diǎn)N任取一點(diǎn),過點(diǎn)作,垂足為H，連接AH， NB，AG，則由平移性質(zhì)得AM= AN， AH=AGAM+NB= AN+NB= AB，AH+GB= A+GB 在 ABG中，根據(jù)三邊關(guān)系得：AB AG+GB AH+GB AM+NB 又HG= MN AH+GB+ HG AM+NB+MN從而證明線段MN的位置即為所求.故從A到B的最短路徑為：AMNB，線段MN即為所要建的橋的位置.（四）多種作圖方法學(xué)生在自主探究時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)以下的作圖方法：作法二：如圖5所示，同時(shí)將直線 b 和點(diǎn)B沿與河岸垂直的方向平移一個(gè)河寬.使直線與直線 重合，點(diǎn)B移動(dòng)到B ，連接BA交直線于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作b，垂足為N，則線段MN即為所求.作法三：如圖6所示，將點(diǎn)A沿與河岸垂直的方向平移一個(gè)河寬.點(diǎn)移動(dòng)到A，連接AB交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，連接AM，則線段MN即為所求.點(diǎn)評(píng)：作法三與作法一本質(zhì)上是相同的.圖6圖5作法歸納：明確平移的目的是使兩條直線重合在一起，從而將“兩線兩點(diǎn)”問題轉(zhuǎn)化成“一線兩點(diǎn)”問題，即轉(zhuǎn)化成求直線上的點(diǎn)到直線異側(cè)兩點(diǎn)的距離之和最小的問題.從而得到一般作法： 沿與河岸垂直的方向分別同時(shí)平移點(diǎn)A和直線，點(diǎn)B和直線b到某個(gè)位置，使直線和直線b重合,點(diǎn)移動(dòng)到A，點(diǎn)B移動(dòng)到B,則同樣也可以進(jìn)行求解，留給學(xué)有余力的同學(xué)課后繼續(xù)探究.三、運(yùn)用與鞏固變式 如圖是一長(zhǎng)方形公園，點(diǎn)A和點(diǎn)B是公園的前后門，圖中陰影部分是一片定寬的草坪?，F(xiàn)要從A修一條小路穿過草坪直通到B，要求穿過草坪的小路PQ與草坪垂直，請(qǐng)問小路PQ要如何修建才能使從A到B的路徑APQB最短？原題與變式對(duì)比：題目背景改變，作圖方法不變.設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用鞏固，進(jìn)一步熟悉作圖方法.四、解題反