第十三章　“軸對稱”簡介.doc

第十三章“軸對稱”簡介八年級上冊第13章是“軸對稱”，主要包括軸對稱和等腰三角形的有關(guān)內(nèi)容。本章共安排了三個小節(jié)和兩個選學內(nèi)容，教學時間約需13課時，具體分配如下（僅供參考）：131 軸對稱 3課時132 作軸對稱圖形 3課時133 等腰三角形 5課時13. 4課題學習 2課時 數(shù)學活動小結(jié) 2課時一、教科書內(nèi)容和課程學習目標（一）本章知識結(jié)構(gòu)框圖本章知識結(jié)構(gòu)如下圖所示：（二）教科書內(nèi)容本章的主要內(nèi)容是從生活中的圖形入手，學習軸對稱及其基本性質(zhì)，欣賞、體驗軸對稱在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用。在此基礎(chǔ)上，利用軸對稱，探索等腰三角形的性質(zhì)，學習它的判定方法，并進一步學習等邊三角形。軸對稱是現(xiàn)實生活中廣泛存在的一種現(xiàn)象，是密切數(shù)學與現(xiàn)實聯(lián)系的重要內(nèi)容。在本章第1小節(jié)“軸對稱”中，教科書立足于學生的生活經(jīng)驗和數(shù)學活動經(jīng)歷，從觀察現(xiàn)實生活中的對稱現(xiàn)象開始，引出軸對稱圖形和圖形的軸對稱的概念，從整體上概括出軸對稱的特征。結(jié)合探索對稱點的關(guān)系，歸納得出對應(yīng)點連線被對稱軸垂直平分的性質(zhì)，并結(jié)合這一性質(zhì)的得出，討論了垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理。接下來，在第2小節(jié)“作軸對稱圖形”中，通過作軸對稱圖形、簡單的圖案設(shè)計、確定最短路線等活動，讓學生進一步體會軸對稱的應(yīng)用價值和豐富內(nèi)涵。用坐標表示軸對稱，從數(shù)量關(guān)系的角度刻畫了軸對稱。教科書從觀察和實驗入手，歸納得出坐標平面上一個點關(guān)于x軸或y軸對稱的點的坐標的規(guī)律，并進一步探討了如何利用這種規(guī)律在平面直角坐標系中作出一個圖形關(guān)于x軸或y軸對稱的圖形。等腰三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性質(zhì)外，還有許多特殊的性質(zhì)。由于它的這些特殊性質(zhì)，使它比一般三角形應(yīng)用更廣泛。而等腰三角形的許多特殊性質(zhì)，又都和它是軸對稱圖形有關(guān)，這也是教科書把這部分內(nèi)容安排在本章的一個重要原因。在本章第3小節(jié)“等腰三角形”中，利用等腰三角形的軸對稱性，得出了“等邊對等角”“三線合一”等性質(zhì)，并進一步討論了等腰三角形的判定方法以及等邊三角形的性質(zhì)與判定方法的內(nèi)容。在本章，軸對稱的性質(zhì)是本章的重點，軸對稱的應(yīng)用，利用軸對稱設(shè)計圖案，用坐標表示軸對稱等都是圍繞這一性質(zhì)進行的。另外，等腰三角形的性質(zhì)和判定也是本章的重點，它們是證明線段和角相等的重要根據(jù)，應(yīng)用也比較廣泛。按照整套教科書對于推理證明的安排，在“全等三角形”已經(jīng)要求讓學生會用符號表示推理（證明）的基礎(chǔ)上，對于一些圖形的性質(zhì)（如線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰（邊）三角形的性質(zhì)與判定等），仍是要求學生證明。由于學生剛開始接觸用符號表示推理，雖然教科書控制了證明難度，但是相對于上一章，推理的依據(jù)多了，圖形、題目的復雜程度也增加了，因此會使一些學生感到無處下手，這是本章教學的一個難點，要注意幫助學生克服這一難點。（三）課程學習目標1通過具體實例認識軸對稱、軸對稱圖形，探索軸對稱的基本性質(zhì)，理解對應(yīng)點連線被對稱軸垂直平分的性質(zhì)；2探索簡單圖形之間的軸對稱關(guān)系，能夠按照要求作出簡單圖形經(jīng)過一次或兩次軸對稱后的圖形；認識和欣賞軸對稱在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，能利用軸對稱進行簡單的圖案設(shè)計；3了解線段垂直平分線的概念，探索并掌握其性質(zhì)；了解等腰三角形、等邊三角的有關(guān)概念，探索并掌握它們的性質(zhì)以及判定方法；4能初步應(yīng)用本章所學的知識解釋生活中的現(xiàn)象及解決簡單的實際問題，在觀察、操作、想象、論證、交流的過程中，發(fā)展空間觀念，激發(fā)學習空間與圖形的興趣。二、本章編寫特點1有機的整合“圖形與幾何”領(lǐng)域的相關(guān)內(nèi)容，利用變換研究圖形的性質(zhì)在以往的教科書中，等腰三角形的有關(guān)內(nèi)容一般安排于介紹三角形的內(nèi)容之中，利用三角形的全等研究等腰三角形的性質(zhì)和判定。在本套教科書中，等腰三角形的有關(guān)內(nèi)容安排在了“軸對稱”一章，學生學完了軸對稱的相關(guān)性質(zhì)之后，利用軸對稱的有關(guān)知識研究等腰三角形的性質(zhì)，再利用三角形的全等的知識給以證明，這是本章編排上的一個特點。等腰三角形是一個很好的軸對稱圖形，它的許多性質(zhì)都與它是軸對稱圖形有關(guān)。利用它的軸對稱性，不僅有助于發(fā)現(xiàn)等腰三角形的一些性質(zhì)，而且也能為利用三角形全等的知識證明一些性質(zhì)提供思路，在教科書的編寫中，充分重視了這一點。例如，教科書引出等腰三角形概念時，不是直接給出定義，而是直接通過一個“探究”欄目，讓學生自己剪出一個三角形。這個剪三角形的過程，就是利用軸對稱得到一個等腰三角形的過程。這個過程還保留下了中間折疊的痕跡，它就是等腰三角形的對稱軸。接下來教科書安排的“思考”欄目是前面“探究”的繼續(xù)，受剪出等腰三角形的過程的啟發(fā)，學生很容易想到它是一個軸對稱圖形，折痕就是它的對稱軸。通過找出其中重合的線段和重合的角利用軸對稱變換的性質(zhì)，可以很容易的引導學生得出等腰三角形的兩個性質(zhì)：“等邊對等角”以及“三線合一”。在進一步證明這兩個性質(zhì)的過程中，關(guān)鍵是要添加輔助線，而有了前面的“探究”“思考”的鋪墊，如何添加這個輔助線也就是水到渠成的了。再如，利用等腰三角形的軸對稱性，可以發(fā)現(xiàn)等腰三角形中許多相等的線段或角，如兩底角平分線、兩腰的中線、兩腰的高等。教科書也安排了這樣一個“數(shù)學活動”，讓學生利用等腰三角形的軸對稱性去發(fā)現(xiàn)一些等腰三角形中的相等的線段和角，利用圖形的運動研究圖形的性質(zhì)。等腰三角形是一種軸對稱圖形，教科書將等腰三角形的相關(guān)內(nèi)容安排在軸對稱之后，就是要利用軸對稱研究等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)，并進一步利用三角形的全等證明這些性質(zhì)。將圖形的運動與圖形的認識、圖形的證明有機整合，利用運動研究圖形，得到圖形的性質(zhì)，再通過推理證明這些結(jié)論。2注意聯(lián)系實際人們生活在三維空間，豐富多彩的圖形世界給“圖形與幾何”的學習提供了大量真實的素材。本章的內(nèi)容具有豐富的實際背景，在現(xiàn)實世界中也有著廣泛的應(yīng)用，因此在教學中要注意聯(lián)系實際，從實際出發(fā)引入概念，并將所學知識應(yīng)用到實際生活中。例如，軸對稱現(xiàn)象在生活中是很常見的，教科書選用了從天安門到故宮的鳥瞰圖作為章頭圖，在第1節(jié)的開頭，也舉出了如自然景觀、分子結(jié)構(gòu)、建筑物、藝術(shù)作品、日常生活用品、窗花等實際例子，讓學生感受對稱現(xiàn)象的無處不在，通過觀察這些圖形，引出軸對稱的概念。在實際教學中，可以結(jié)合當?shù)貙嶋H選擇一些軸對稱圖形的例子，這些素材不僅應(yīng)包括人們所習慣的標準幾何圖形，更應(yīng)包括豐富多彩的現(xiàn)實世界中的二、三維圖形，使學生欣賞現(xiàn)實世界中與軸對稱有關(guān)的圖案，并能夠從中發(fā)現(xiàn)軸對稱的特征。除了注意從實際例子引出軸對稱內(nèi)容的學習以外，教科書也給出了一些應(yīng)用軸對稱的例子，如利用軸對稱的觀點來解釋現(xiàn)實生活中的有關(guān)現(xiàn)象、簡單的利用軸對稱設(shè)計圖案、利用軸對稱解決一些有關(guān)最大、最小的選址問題等等，教科書也注意體現(xiàn)所學知識的應(yīng)用，體現(xiàn)一個具體抽象具體的過程。3注意讓學生經(jīng)歷觀察、實驗、歸納、論證的過程在內(nèi)容處理上，教科書加強了實驗幾何的成分，將實驗幾何與論證幾何有機結(jié)合。論證幾何在培養(yǎng)人的邏輯思維能力方面起著重要作用，而實驗幾何則是發(fā)現(xiàn)幾何命題和定理的有效工具，在培養(yǎng)人的直覺思維和創(chuàng)造性思維方面起著重大的作用。對于本章中的一些概念、性質(zhì)、公理和定理，教科書大多是通過“留空”、設(shè)問、設(shè)置“思考”“探究”“歸納”以及“數(shù)學活動”等欄目，讓學生通過畫圖、折紙、剪紙、度量或做試驗等活動，探索發(fā)現(xiàn)幾何結(jié)論，經(jīng)歷知識的“再發(fā)現(xiàn)”過程，在探究活動的過程中發(fā)展創(chuàng)新思維能力，改變學生的學習方式在發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，再經(jīng)過推理證明這些結(jié)論，使得推理證明成為學生觀察、實驗、探究得出結(jié)論的自然延續(xù)，使圖形的認識與圖形的證明有機整合。例如，對于等腰三角形“等邊對等角”“三線合一”的性質(zhì)的得出，教科書通過設(shè)置一個“探究”“思考”欄目，讓學生剪出等腰三角形，并進一步利用軸對稱的性質(zhì)思考其中相等的線段和相等的角，進而發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)。接下來，從上面的操作過程啟發(fā)，通過做出等腰三角形的對稱軸，得到兩個全等的三角形，從而利用三角形的全等證明等腰三角形的這兩個性質(zhì)。這種處理，將實驗幾何與論證幾何有機的整合在一起，使學生經(jīng)歷了一個觀察、實驗、探究、歸納、推理、證明的認識圖形的全過程，把推理證明作為學生觀察、實驗、探究得出結(jié)論之后的自然延續(xù)，完成好由實驗幾何到論證幾何的過渡。三、幾個值得關(guān)注的問題1注意知識間的聯(lián)系本章的內(nèi)容較多，課程標準“圖形與幾何”領(lǐng)域中圖形的性質(zhì)、圖形的運動、圖形與坐標各個部分的內(nèi)容在本章都有涉及，教學時要注意把握各個部分內(nèi)容之間的聯(lián)系，有機的整合各個部分的內(nèi)容。本章從認識軸對稱圖形開始，又進一步介紹了兩個圖形關(guān)于某條直線對稱（兩個圖形成軸對稱），要注意這兩個概念間的區(qū)別：軸對稱圖形指的是一個圖形沿對稱軸折疊后這個圖形的兩部分能完全重合，說的是一個具有特殊形狀的圖形，而兩個圖形成軸對稱指的是兩個圖形之間的位置關(guān)系，這兩個圖形沿對稱軸折疊后能夠重合。它們的聯(lián)系：定義中都有一條直線，都要沿這條直線折疊重合；如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分，這兩個圖形就是關(guān)于這條直線成軸對稱，反過來，如果把兩個成軸對稱的圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形。從運動的角度來看，成軸對稱的兩個圖形的任何一個可以看作由另一個圖形經(jīng)過軸對稱得到，一個軸對稱圖形由它的一部分為基礎(chǔ)，經(jīng)過軸對稱拓展而成。另外，教科書還安排了用坐標表示軸對稱的內(nèi)容，從數(shù)的角度刻畫軸對稱的內(nèi)容。包括關(guān)于坐標軸對稱的點或圖形的坐標的變化以及由點或圖形坐標的變化引起點或圖形軸對稱的內(nèi)容。這里的關(guān)鍵是要讓學生感受圖形軸對稱之后點的坐標的變化，把“形”和“數(shù)”緊密的結(jié)合在一起，把坐標思想和圖形變換的思想聯(lián)系起來。2滿足學生多樣化的學習需求，為學生提供個性化學習的時間和空間本章內(nèi)容中有許多需要發(fā)揮學生想象和個性的活動，如欣賞軸對稱圖案，利用軸對稱進行圖案設(shè)計，探究對稱軸是與坐標軸平行（垂直）時軸對稱的坐標特點，發(fā)現(xiàn)等腰三角形中相等的線段等等，這些內(nèi)容都為學生個性化的學習提供了空間。教學時應(yīng)有意識地滿足學生多樣化的學習需求真正為學生提供個性化學習的時間和空間。例如，對于利用軸對稱設(shè)計圖案，不同學生可能會有不同的創(chuàng)意，也會有不同的操作方法（如折疊、剪紙、扎眼、計算機等）完成自己的創(chuàng)意，教師應(yīng)該鼓勵學生大膽想象、大膽嘗試，不能用唯一的標準判斷全體學生的成果，要把關(guān)注點放在活動中的數(shù)學層面上，看學生是否真正理解了軸對稱變換的特點。3注意推理證明的教學對于推理證明的要求，教科書是按“說點兒理”“說理”“簡單推理”“用符號表示推理”等分層次安排的。在這一章，不僅要求學生通過觀察、實驗、探究得出一些有關(guān)圖形的結(jié)論，還要求學生對這些結(jié)論進行證明，使推理證明成為學生探究得出結(jié)論的自然延續(xù)，進一步體會證明的必要性。學過等腰三角形后，推理的依據(jù)逐漸多了，題目的復雜程度也增加了，因此，如何尋找證明的思路也成為本章教學的一個難點。教學時，要克服這一難點，關(guān)鍵是要加強證明題前分析的教學，幫助學生學會分析證題思路，找出證明的途徑。因為學過的定理多了，從已知出發(fā)可以有多種途徑選擇，分析問題時要結(jié)合結(jié)論一起考慮，采用“兩頭湊”，教學時可向?qū)W生介紹這種方法。另外，以前學生證明問題時，主要考慮利用全等三角形，也總習慣于找全等三角形。雖然涉及利用等腰三角形性質(zhì)的問題都可以利用全等三角形來解決，但要注意糾正這種不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢?？山Y(jié)合具體問題讓學生自己分析，尋找證明方法。對于可以直接利用等腰三角形性質(zhì)、判定，垂直平分線的性質(zhì)的問題，應(yīng)當讓學生選擇簡便方法。在與等腰三角形有關(guān)的一些命題的證明過程中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線。雖然“三線和一”，但添加輔助線時，有時作那條線都可以，有時不同的做法引起解決問題的復雜程度也不同，需要具體問題具體分析，這一點要注意。3重視現(xiàn)代信息技術(shù)工具的應(yīng)用信息技術(shù)工具的使用能為學生的數(shù)學學習和發(fā)展提供豐富多彩的教育環(huán)境和有力的學習工具。利用信息技術(shù)工具，可以很方便地制作圖形，可以很方便地讓圖形動起來。許多計算機軟件還具有測量功能，這也有利于我們在圖形的運動變化的