數(shù)學人教版八年級下冊平行四邊形的性質第二課時.doc

平行四邊形性質 第2課時1.理解并掌握平行四邊形對角線互相平分的性質.2.能綜合運用平行四邊形的性質解決平行四邊形的有關計算問題和簡單的證明題.在觀察、操作、推理、歸納的探索活動中,進一步培養(yǎng)學生的數(shù)學說理能力與習慣.通過小組合作探究學習,促進同學間的情感交流,體驗學習的樂趣,在自我評價中學會自我肯定,增強學習的自信心.【重點】平行四邊形對角線互相平分的性質,以及性質的應用.【難點】綜合運用平行四邊形的性質進行有關的論證和計算.【教師準備】教學中出示的教學插圖和例題.【學生準備】兩張方格紙,鉛筆,圖釘.導入一:一位飽經(jīng)滄桑的老人,經(jīng)過一輩子的辛勤勞動,到晚年的時候,終于擁有了一塊平行四邊形的土地,由于年邁體弱,他決定把這塊土地分給他的四個孩子,他是這樣分的:(如右圖所示)當四個孩子看到時,爭論不休,都認為自己的地少,同學們,你認為老人這樣分合理嗎?為什么?本節(jié)課,我們將繼續(xù)學習與平行四邊形的對角線有關的性質,你將會明白老人的分法是否合理.設計意圖把知識融入到故事情境中,提高學生的學習興趣.導入二:1.復習提問:(1)什么樣的四邊形是平行四邊形?(2)前面我們學習過平行四邊形的什么性質?學生自由說,教師根據(jù)學生回顧情況梳理知識.具有一般四邊形的性質(內角和是360).角:平行四邊形的對角相等,鄰角互補.邊:平行四邊形的對邊平行且相等.2.回顧思考:(1)平行四邊形ABCD中,A比B大20,則C的度數(shù)為()A.60B.80C.100D.120(2)平行四邊形ABCD的周長為40 cm,三角形ABC的周長為25 cm,則對角線AC的長為()A.5 cmB.15 cmC.6 cmD.16 cm(3)平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于O,則全等三角形的對數(shù)有.學生獨自思考,交流解答情況.教師適當點評.(1)C(2)A(3)4對畫出圖形,針對(3)小題學生的錯誤提問:為什么(3)小題中全等三角形的對數(shù)不是2對,而是4對呢?通過今天的學習,你會明白其中的原因.設計意圖以問題串形式回顧平行四邊形的概念和平行四邊形的性質,溫故知新.通過(1)(3)的問題串,反饋學生對平行四邊形的對邊、對角性質的理解和簡單應用.希望真實、客觀地反饋學生對上節(jié)“平行四邊形性質”的掌握情況,并有針對性地在本節(jié)補救強化.過渡語上節(jié)課我們研究了平行四邊形的邊和角的關系,平行四邊形中還有一種重要的線段,這就是對角線,平行四邊形對角線之間有什么關系呢?1.平行四邊形的對角線互相平分思路一【探究】請大家在方格紙上畫兩個全等的ABCD和HGFE,并連接對角線AC,BD和EG,HF,設它們分別交于點O.把這兩個平行四邊形放在一起,讓它們重合,在點O處釘一個圖釘,將ABCD繞點O旋轉180,觀察它還和HGFE重合嗎?你能從中看出前面所得到的平行四邊形的邊、角關系嗎?進一步,你還能發(fā)現(xiàn)平行四邊形的什么性質嗎?學生按照要求操作,圍繞問題討論,發(fā)現(xiàn):是否重合邊角對角線旋轉前ABCD和HGFE重合AB與GH,CD與EF互相重合;AD與HE,BC與GF互相重合ABC與HGF,ADC與HEF,BAD與GHE,BCD與GFE互相重合OA=OH,OC=OF,OB=OG,OD=OE旋轉后ABCD和HGFE仍然重合AB與FE,CD與HG互相重合;AD與FG,BC與EH互相重合ABC與HEF,ADC與HGF,BAD與GFE,BCD與GHE互相重合OA=OF,OC=OH,OB=OE,OD=OG結論GH=EF,EH=GFHGF=HEF,GFE=GHEOH=OF,OG=OE教師引導學生交流:旋轉后,ABCD與HGFE還是完全重合的.平行四邊形的對邊相等,對角也是相等的,對角線互相平分.過渡語上節(jié)課我們證明了平行四邊形的對邊相等,對角也相等.你能嘗試證明平行四邊形的對角線互相平分這一結論嗎?已知:如圖所示,平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O.求證:OA=OC,OB=OD.證明:四邊形ABCD是平行四邊形,AB=CD,ABDC,BAO=DCO,ABO=CDO,AOBCOD,OA=OC,OB=OD.你還有其他的證明方法嗎?與同伴交流.教師引導學生總結,并板書:平行四邊形的對角線互相平分.用符號語言表述為:平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,OA=OC,OB=OD.引導學生思考:平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于O,則全等三角形的對數(shù)有幾對?學生相互補充說出:AOB與COD,BOC與DOA,ABC與CDA,ABD與CDB分別全等,共有4對.設計意圖利用活動的形式,讓學生在活動中提煉出平行四邊形的對角線的性質,并加以驗證.思路二過渡語在上節(jié)課中,我們發(fā)現(xiàn)平行四邊形邊、角有特殊的關系,那么平行四邊形的對角線有怎樣的特殊關系呢?【探究】如圖所示,在ABCD中,連接對角線AC,BD,相交于點O,OB與OD有什么關系?OA與OC呢?學生畫圖,測量后填表,交流.OA=OC=關系為:OB=OD=關系為:學生思考、交流得出:平行四邊形的對角線互相平分.追問:互相平分如何理解?一生回答,其余補充.AC與BD互相平分,指AC平分BD,即OB=OD,BD平分AC,即OA=OC.(出示問題)已知ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,圖中有哪些三角形全等?哪些線段相等?請同學們用多種方法加以驗證.學生互相討論自己的思維,并交流不同的驗證思路.用“AAS”或“ASA”可以證明圖中共有四對三角形全等,分別是AOBCOD,BOCDOA,ABCCDA,ABDCDB.相等的線段有:OA=OC,OB=OD,AB=CD,AD=CB.師生歸納:平行四邊形的對角線互相平分.學生說出定理的題設和結論,用符號語言表述為:平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,OA=OC,OB=OD.教師提醒:定理的證明只是讓學生進一步理解定理,而在定理的運用時則沒必要這么麻煩,直接由四邊形是平行四邊形得出其對角線互相平分,這是證明線段相等的常用方法.設計意圖學生通過操作感知,輔以三角形全等知識的應用,發(fā)現(xiàn)、驗證了所要學習的內容,解決了重點,突破了難點.2.例題講解(補充)如圖所示,ABCD的對角線AC,BD相交于點O,EF過點O與AB,CD分別相交于點E,F.求證OE=OF,AE=CF,BE=DF.學生討論:由剛剛得出的結論“平行四邊形的對角線互相平分”,得到OA=OC,繼而得到AOECOF(AAS),從而得證.證明:在ABCD中,ABCD,1=2,3=4.又 OA=OC(平行四邊形的對角線互相平分), AOECOF(AAS).OE=OF,AE=CF(全等三角形對應邊相等).四邊形ABCD是平行四邊形, AB=CD(平行四邊形對邊相等). AB-AE=CD-CF,即 BE=FD.引申提問:若例1中的條件都不變,將EF轉動到如圖所示的位置,那么例1中的結論是否成立?若將EF向兩方延長,與平行四邊形的兩對邊的延長線分別相交(如圖和圖所示),例1中的結論是否成立?說明你的理由.分別由一名學生說說自己分析的結果,證明過程留在課后完成.(教材例2)如圖所示,在ABCD中,AB=10,AD=8,ACBC,求BC,CD,AC,OA的長,以及ABCD的面積.引導學生讀題,強調“底”是對應著高說的,平行四邊形中,任一邊都可以作為“底”,“底”確定后,高也就隨之確定了.學生共同分析:由平行四邊形的對邊相等,可得BC,CD的長,在RtABC中,由勾股定理可得AC的長.再由平行四邊形的對角線互相平分可求得OA的長,根據(jù)平行四邊形的面積計算公式:平行四邊形的面積=底高(高為此底上的高),可求得ABCD的面積.解:四邊形ABCD是平行四邊形,BC=AD=8,CD=AB=10.ACBC,ABC是直角三角形.根據(jù)勾股定理,AC=6.又OA=OC,OA=AC=3,SABCD=BCAC=86=48.師生共同完成解答過程,并說明用S表示面積時,常在它的下腳注上圖形標記,例如SABCD表示ABCD的面積.設計意圖本節(jié)課安排了兩個例題,例1是一道補充題,它是平行四邊形對角線的性質的直接運用,然后對例1進行了引申,可以根據(jù)學生的實際情況選講,并歸納結論:過平行四邊形對角線的交點作直線,交對邊或對邊的延長線,所得的對應線段相等.例1與后面的三個圖形是一組重要的基本圖形,熟悉本節(jié)的性質對解答復雜問題是很有幫助的.例2是教材第44頁的例2,這是復習、鞏固小學學過的平行四邊形面積的計算.這個例題比小學計算平行四邊形面積的題加深了一步,需要應用勾股定理,先求得平行四邊形一邊上的高,然后才能應用公式計算.在以后的解題中,還會遇到需要應用勾股定理來求高或底的問題,在教學中要注意使學生掌握其方法.知識拓展(1)利用平行四邊形的對角線互相平分可以解決對角線或邊的取值范圍問題,在解答時應聯(lián)系“三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”來解決.(2)若一條直線過平行四邊形的兩條對角線的交點,則這條直線被一組對邊所截線段以對角線的交點為中點,且這條直線平分該平行四邊形的面積.(3)在平行四邊形中,被對角線所分成的四個小三角形,相鄰兩個小三角形的周長之差等于鄰邊長之差.師生共同整理平行四邊形性質等知識.名稱平行四邊形圖形定義兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形性質邊角對角線平行四邊形的對邊平行;對邊相等對角相等;鄰角互補對角線互相平分平行四邊形性質 第2課時1.理解并掌握平行四邊形對角線互相平分的性質.2.能綜合運用平行四邊形的性質解決平行四邊形的有關計算問題和簡單的證明題.在觀察、操作、推理、歸納的探索活動中,進一步培養(yǎng)學生的數(shù)學說理能力與習慣.通過小組合作探究學習,促進同學間的情感交流,體驗學習的樂趣,在自我評價中學會自我肯定,增強學習的自信心.【重點】平行四邊形對角線互相平分的性質,以及性質的應用.【難點】綜合運用平行四邊形的性質進行有關的論證和計算.【教師準備】教學中出示的教學插圖和例題.【學生準備】兩張方格紙,鉛筆,圖釘.導入一:一位飽經(jīng)滄桑的老人,經(jīng)過一輩子的辛勤勞動,到晚年的時候,終于擁有了一塊平行四邊形的土地,由于年邁體弱,他決定把這塊土地分給他的四個孩子,他是這樣分的:(如右圖所示)當四個孩子看到時,爭論不休,都認為自己的地少,同學們,你認為老人這樣分合理嗎?為什么?本節(jié)課,我們將繼續(xù)學習與平行四邊形的對角線有關的性質,你將會明白老人的分法是否合理.設計意圖把知識融入到故事情境中,提高學生的學習興趣.導入二:1.復習提問:(1)什么樣的四邊形是平行四邊形?(2)前面我們學習過平行四邊形的什么性質?學生自由說,教師根據(jù)學生回顧情況梳理知識.具有一般四邊形的性質(內角和是360).角:平行四邊形的對角相等,鄰角互補.邊:平行四邊形的對邊平行且相等.2.回顧思考:(1)平行四邊形ABCD中,A比B大20,則C的度數(shù)為()A.60B.80C.100D.120(2)平行四邊形ABCD的周長為40 cm,三角形ABC的周長為25 cm,則對角線AC的長為()A.5 cmB.15 cmC.6 cmD.16 cm(3)平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于O,則全等三角形的對數(shù)有.學生獨自思考,交流解答情況.教師適當點評.(1)C(2)A(3)4對畫出圖形,針對(3)小題學生的錯誤提問:為什么(3)小題中全等三角形的對數(shù)不是2對,而是4對呢?通過今天的學習,你會明白其中的原因.設計意圖以問題串形式回顧平行四邊形的概念和平行四邊形的性質,溫故知新.通過(1)(3)的問題串,反饋學生對平行四邊形的對邊、對角性質的理解和簡單應用.希望真實、客觀地反饋學生對上節(jié)“平行四邊形性質”的掌握情況,并有針對性地在本節(jié)補救強化.過渡語上節(jié)課我們研究了平行四邊形的邊和角的關系,平行四邊形中還有一種重要的線段,這就是對角線,平行四邊形對角線之間有什么關系呢?1.平行四邊形的對角線互相平分思路一【探究】請大家在方格紙上畫兩個全等的ABCD和HGFE,并連接對角線AC,BD和EG,HF,設它們分別交于點O.把這兩個平行四邊形放在一起,讓它們重合,在點O處釘一個圖釘,將ABCD繞點O旋轉180,觀察它還和HGFE重合嗎?你能從中看出前面所得到的平行四邊形的邊、角關系嗎?進一步,你還能發(fā)現(xiàn)平行四邊形的什么性質嗎?學生按照要求操作,圍繞問題討論,發(fā)現(xiàn):是否重合邊角對角線旋轉前ABCD和HGFE重合AB與GH,CD與EF互相重合;AD與HE,BC與GF互相重合ABC與HGF,ADC與HEF,BAD與GHE,BCD與GFE互相重合OA=OH,OC=OF,OB=OG,OD=OE旋轉后ABCD和HGFE仍然重合AB與FE,CD與HG互相重合;AD與FG,BC與EH互相重合ABC與HEF,ADC與HGF,BAD與GFE,BCD與GHE互相重合OA=OF,OC=OH,OB=OE,OD=OG結論GH=EF,EH=GFHGF=HEF,GFE=GHEOH=OF,OG=OE教師引導學生交流:旋轉后,ABCD與HGFE還是完全重合的.平行四邊形的對邊相等,對角也是相等的,對角線互相平分.過渡語上節(jié)課我們證明了平行四邊形的對邊相等,對角也相等.你能嘗試證明平行四邊形的對角線互相平分這一結論嗎?已知:如圖所示,平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O.求證:OA=OC,OB=OD.證明:四邊形ABCD是平行四邊形,AB=CD,ABDC,BAO=DCO,ABO=CDO,AOBCOD,OA=OC,OB=OD.你還有其他的證明方法嗎?與同伴交流.教師引導學生總結,并板書:平行四邊形的對角線互相平分.用符號語言表述為:平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,OA=OC,OB=OD.引導學生思考:平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于O,則全等三角形的對數(shù)有幾對?學生相互補充說出:AOB與COD,BOC與DOA,ABC與CDA,ABD與CDB分別全等,共有4對.設計意圖利用活動的形式,讓學生在活動中提煉出平行四邊形的對角線的性質,并加以驗證.思路二過渡語在上節(jié)課中,我們發(fā)現(xiàn)平行四邊形邊、角有特殊的關系,那么平行四邊形的對角線有怎樣的特殊關系呢?【探究】如圖所示,在ABCD中,連接對角線AC,BD,相交于點O,OB與OD有什么關系?OA與OC呢?學生畫圖,測量后填表,交流.OA=OC=關系為:OB=OD=關系為:學生思考、交流得出:平行四邊形的對角線互相平分.追問:互相平分如何理解?一生回答,其余補充.AC與BD互相平分,指AC平分BD,即OB=OD,BD平分AC,即OA=OC.(出示問題)已知ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,圖中有哪些三角形全等?哪些線段相等?請同學們用多種方法加以驗證.學生互相討論自己的思維,并交流不同的驗證思路.用“AAS”或“ASA”可以證明圖中共有四對三角形全等,分別是AOBCOD,BOCDOA,ABCCDA,ABDCDB.相等的線段有:OA=OC,OB=OD,AB=CD,AD=CB.師生歸納:平行四邊形的對角線互相平分.學生說出定理的題設和結論,用符號語言表述為:平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,OA=OC,OB=OD.教師提醒:定理的證明只是讓學生進一步理解定理,而在定理的運用時則沒必要這么麻煩,直接由四邊形是平行四邊形得出其對角線互相平分,這是證明線段相等的常用方法.設計意圖學生通過操作感知,輔以三角形全等知識的應用,發(fā)現(xiàn)、驗證了所要學習的內容,解決了重點,突破了難點.2.例題講解(補充)如圖所示,ABCD的對角線AC,BD相交于點O,EF過點O與AB,CD分別相交于點E,F.求證OE=OF,AE=CF,BE=DF.學生討論:由剛剛得出的結論“平行四邊形的對角線互相平分”,得到OA=OC,繼而得到AOECOF(AAS),從而得證.證明:在ABCD中,ABCD,1=2,3=4.又 OA=OC(平行四邊形的對角線互相平分), AOECOF(AAS).OE=OF,AE=CF(全等三角形對應邊相等).四邊形ABCD是平行四邊形, AB=CD(平行四邊形對邊相等). AB-AE=CD-CF,即 BE=FD.引申提問:若例1中的條件都不變,將EF轉動到如圖所示的位置,那么例1中的結論是否成立?若將EF向兩方延長,與平行四邊形的兩對邊的延長線分別相交(如圖和圖所示),例1中的結論是否成立?說明你的理由.分別由一名學生說說自己分析的結果,證明過程留在課后完成.(教材例2)如圖所示,在ABCD中,AB=10,AD=8,ACBC,求BC,CD,AC,OA的長,以及ABCD的面積.引導學生讀題,強調“底”是對應著高說的,平行四邊形中,任一邊都可以作為“底”,“底”確定后,高也就隨之確定了.學生共同分析:由平行四邊形的對邊相等,可得BC,CD的長,在RtABC中,由勾股定理可得AC的長.再由平行四邊