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4-1習題解答1、(1)是一階微分方程; (2)不是微分方程; (3)是一階微分方程; (4)是二階微分方程; (5)是一階微分方程; (6)是一階微分方程。2、(1)(B)是特解 (C)是通解;(2)(A)是特解 (B)是通解;(3)(A)是通解(B)是特解3、解:(1),又由,故滿足初始條件的特解為;(2),又由,故滿足初始條件的特解為。4、解:(1)由條件得;(2)設曲線為,則曲線上點處的法線斜率為,由條件知PQ中點的橫坐標為0,所以Q點的坐標為,從而有 注:4-2習題解答1、解:(1)由由給方程得即;(2)由所給方程得;(3)由所給方程得注:為任意常數(shù)(4)由所給方程得;2、解:(1)由所給方程得,又由,所以滿足初始條件的特解為:;(2)由所給方程得,又由初始條件,故滿足初始條件的特解為:;(3)由所給方程得又由初始條件,故滿足初始條件的特解為:;(4)由所給方程得,又由初始條件得 ,故滿足初始條件的特解為;(5)由原方程得,即,又由初始條件,故滿足初始條件的特解為。3、解:由條件得微分方程,又由初始條件,故所求曲線為。注:圖1(圖)4、解:由牛頓第二定律知,分離變量得,兩邊積分得,又由初始條件。5、解:(1)所給方程為齊次微分方程即,令,代入前式得:,所以原方程的解為:;(2)由所給方程得,令,代入前式得,故原方程的解為:;(3)由所給方程得,令,代入前式得;(4)由所給方程得,令,代入前式得。6、解:(1)令,代入原方程得,即,又由初始條件,故滿足初始條件的特解為:(2)由原方程得,令,代入原方程得,即,又由初始條件,故滿足初始條件的特解為:;(3)由原方程得,令,代入原方程得,又由初始條件,故滿足初始條件的特解為:(因為;即,但仍是原方程的一個滿足初始條件的特解);(4)由原方程得,令,代入原方程得,又由初始條件,故滿足初始條件的特解為:。7、解:(1)此方程為一階線性微分方程,其中,所以其通解為:;()此方程為一階線性微分方程,其中,所以其通解為:;()此方程為一階線性微分方程,其中,所以其通解為:;()此方程為一階線性微分方程,其中,所以其通解為:。、解:()此方程為一階線性微分方程,其中,所以其通解為:,又由初始條件,故滿足初始條件的特解為:;()此方程為一階線性微分方程,其中,所以其通解為:;又由初始條件,故滿足初始條件的特解為:;()此方程為一階線性微分方程,其中,所以其通解為:;又由初始條件,故滿足初始條件的特解為:;()此方程為一階線性微分方程,其中,所以其通解為:;又由初始條件,故滿足初始條件的特解為:。、解:如圖()因為,此方程為一階線性微分方程,其中,所以其通解為:。習題4-31解:(1)由所給方程得,所以即;(2)令,由原方程得,即,所以;(3)令,代入原方程得,即(4)令,代入原方程得,此為一階線性微分方程,故,即,所以原方程的通解為:(5)令,代入原方程得,此為一階線性微分方程,故,即,所以原方程的通解為:;(6)令,代入原方程得,分離變量得,所以原方程的通解為:。2、解:(1)令,代入原方程得,分離變量得,又由初始條件,故滿足初始條件的特解為:;(2)令,代入原方程得,分離變量得又由初始條件,故滿足初始條件的特解為:;(3)令,代入原方程得,分離變量得,又由初始條件,故滿足初始條件的特解為:。3、解:以對應的物體位置為原點,垂直向下的直線為的正軸,建立如右圖所示的坐標系,由題目條件得,當時,從而,所以,由得,從而,又,故,即,也就是說,整理得,因此,又由得,所求的物體下落的距離與時間的函數(shù)關系為。4-4習題1、解:(1)因為,且是特征方程的根,所以,所給方程的特解的待定形式為;(2)因為,且是特征方程的根,所以,所給方程的特解的待定形式為;(3)因為,且不是特征方程的根,所以,所給方程的特解的待定形式為;(4)因為,是特征方程的單根,是二次多項式,所以,所給方程的特解的待定形式為;(5)因為,是特征方程的二重根,是零次多項式,所以,所給方程的特解的待定形式為;(6)因為,不是特征方程的根,是二次多項式,所以,所給方程的特解的待定形式為;(7)由重疊定理,原方程的特解是方程和的特解的和。對于方程,因為,是特征方程的單根,是零次多項式,所以,其特解的待定形式為;對于方程,因為,是特征方程的單根,是一次多項式,所以,其特解的待定形式為;故方程的特解的待定形式為;(8)由重疊定理,原方程的特解是方程和的特解的和。對于方程,因為,且是特征方程的根,所以,其特解的待定形式為;對于方程,因為,且不是特征方程的根,所以,其特解的待定形式為;故方程的特解的待定形式為。2、解:(1)因為所給微分方程的導出組的特征方程為,特征根為,故導出組的通解為;又,是特征方程的單根,是一次多項式,所以,所給方程的特解的待定形式為,代入方程得到一個和的線性方程組,所以,故原方程的通解為;(2)因為所給微分方程的導出組的特征方程為,特征根為,故導出組的通解為;又,不是特征方程的根,所以,所給方程的特解的待定形式為,代入方程得到一個和的線性方程組,所以,故原方程的通解為;(3)因為所給微分方程的導出組的特征方程為,特征根為,故導出組的通解為;又,不是特征方程的根,是零次多項式,所以,所給方程的特解的待定形式為,代入方程得到,所以,故原方程的通解為;(4)因為所給微分方程的導出組的特征方程為,特征根為,故導出組的通解為;又,不是特征方程的根,是一次多項式,所以,所給方程的特解的待定形式為,代入方程得到一個和的線性方程組,所以,故原方程的通解為;(5)因為所給微分方程的導出組的特征方程為,特征根為,故導出組的通解為;又,是特征方程的根,所以,所給方程的特解的待定形式為,代入方程得到一個和的線性方程組,所以,故原方程的通解為;(6)因為所給微分方程的導出組的特征方程為,特征根為,故導出組的通解為;又,不是特征方程的根,是二次多項式,所以,所給方程的特解的待定形式為,代入方程得到一個和的線性方程組,所以,故原方程的通解為;(7)因為所給微分方程的導出組的特征方程為,特征根為,故導出組的通解為;又,不是特征方程的根,所以,所給方程的特解的待定形式為,代入方程得到,所以,故原方程的通解為;(8)因為方程的導出組的特征方程為,其特征根為,故導出組的通解為;由重疊定理,原方程的特解是方程和的特解的和。對于方程,因為,不是特征方程的根,所以,其特解的待定形式為,代入方程得;對于方程,因為,是特征方程的根,所以,其特解的待定形式為,代入方程得;故方程的通解為。3、解:因為所給微分方程的導出組的特征方程為,特征根為,故導出組的通解為;又不是特征方程的根,所以,所給方程的特解的待定形式為,代入方程得到一個和的線性方程組,所以,故原方程的通解為;將初始條件代入得,故滿足初始條件的特解為。、解:由原方程得,方程兩邊對求導得:,又將代入原方程得,故得一階線性微分方程,故其通解為又,所以,故;解法二:由原方程得,方程兩邊對求導得:,兩邊對再次求導得(此為不顯含未知函數(shù)的二階微分方程,也可看成二階線性常系數(shù)非齊次微分方程,求解可得上法相同答案)。5、解:由二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理可知,;又線性無關,故方程的導出組(*)的兩個線性無關的特解為,所以(*)的通解為,又是方程的一個特解,由解的結(jié)構(gòu)定理知,方程的通解為;將代入
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