三視圖體積習(xí)題精選.doc

三視圖 習(xí)題精選1填出下列幾何體的三視圖2三種視圖都相同的幾何體有_、_3有兩種視圖相同的幾何體有_、_4請(qǐng)你畫了下圖中兩個(gè)幾何體的三種視圖5請(qǐng)你根據(jù)下圖給出的俯視圖，畫出棱柱的主視圖和左視圖6畫出下圖中幾何體的三種視圖7下列視圖中，可能是棱柱的三視圖的是（ ）8根據(jù)三視圖，填寫幾何體的名稱（1）幾何體是_（2）（1）（2）幾何體是_（3）幾何體是_（3）（4）（4）幾何體是_（5）幾何體是_（5）9一物體的三視圖如下圖所示，試畫出它的草圖10如圖所示，桌上放著一個(gè)杯子和一本書，則下列三個(gè)視圖從左到右依次是_視圖，_視圖和_視圖12將一個(gè)乒乓球，一個(gè)羽毛球和一個(gè)圓盤如下圖所示放在一起，你能畫出它的三種視圖嗎？13如圖，根據(jù)主視圖和俯視圖找出物體14請(qǐng)畫出圖中所示棱柱的三視圖多面體和旋轉(zhuǎn)體一、考綱要求1.理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓臺(tái)、球及其有關(guān)概念和性質(zhì).2.掌握直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)和圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積公式(球缺體積公 式不要求記住)，并能運(yùn)用這些公式進(jìn)行計(jì)算.3.了解多面體和旋轉(zhuǎn)體的概念，能正確畫出直棱柱、正棱住、正棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的 直觀圖.4.對(duì)于截面問題，只要求會(huì)解決與幾種特殊的截面(棱柱、棱錐、棱臺(tái)的對(duì)角面，棱柱的直 截面，圓柱、圓錐、圓臺(tái)的軸截面和平行于底面的截面，球的截面)以及已給出圖形或它的 全部頂點(diǎn)的其他截面的有關(guān)問題.二、知識(shí)結(jié)構(gòu)1.幾種常凸多面體間的關(guān)系2.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的基本概念和主要性質(zhì)名稱棱柱直棱柱正棱柱圖 形定 義有兩個(gè)面互相平行，而其余每相鄰兩個(gè)面的交線都互相平行的多面體側(cè)棱垂直于底面的棱柱底面是正多邊形的直棱柱側(cè)棱平行且相等平行且相等平行且相等側(cè)面的形狀平行四邊形矩形全等的矩形對(duì)角面的形狀平行四邊形矩形矩形平行于底面的截面的形狀與底面全等的多邊形與底面全等的多邊形與底面全等的正多邊形名稱棱錐正棱錐棱臺(tái)正棱臺(tái)圖形定義有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的多面體底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的射影是底面和截面之間的部分用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分由正棱錐截得的棱臺(tái)側(cè)棱相交于一點(diǎn)但不一定相等相交于一點(diǎn)且相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)相等且延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面的形狀三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形對(duì)角面的形狀三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形狀與底面相似的多邊形與底面相似的正多邊形與底面相似的多邊形與底面相似的正多邊形其他性質(zhì)高過底面中心；側(cè)棱與底面、側(cè)面與底面、相鄰兩側(cè)面所成角都相等兩底中心連線即高；側(cè)棱與底面、側(cè)面與底面、相鄰兩側(cè)面所成角都相等3.幾種特殊四棱柱的特殊性質(zhì)名稱特殊性質(zhì)平行六面體底面和側(cè)面都是平行四邊行；四條對(duì)角線交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分直平行六面體側(cè)棱垂直于底面，各側(cè)面都是矩形；四條對(duì)角線交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分長(zhǎng)方體底面和側(cè)面都是矩形；四條對(duì)角線相等，交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分正方體棱長(zhǎng)都相等，各面都是正方形四條對(duì)角線相等，交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分4.面積和體積公式下表中S表示面積，c、c分別表示上、下底面周長(zhǎng)，h表斜高，h表示斜高，l表示側(cè)棱長(zhǎng) .名稱側(cè)面積(S側(cè))全面積(S全)體 積(V)棱柱棱柱直截面周長(zhǎng)lS側(cè)+2S底S底h=S直截面h直棱柱chS底h棱錐棱錐各側(cè)面積之和S側(cè)+S底S底h正棱錐ch棱臺(tái)棱臺(tái)各側(cè)面面積之和S側(cè)+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱臺(tái) (c+c)h5.正四面體的性質(zhì) 設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則這個(gè)正四面體的(1)全面積 S全=a2；(2)體積 V=a3；(3)對(duì)棱中點(diǎn)連線段的長(zhǎng) d=a；(4)相鄰兩面所成的二面角 =arccos(5)外接球半徑 R=a；(6)內(nèi)切球半徑 r=a.(7)正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值(等于正四面體的高).直角四面體的性質(zhì) 有一個(gè)三面角的各個(gè)面角都是直角的四面體叫做直角四面體.直角四面 體有下列性質(zhì)：如圖，在直角四面體AOCB中，AOB=BOC=COA=90，OA=a,OB=b,OC=c.則 不含直角的底面ABC是銳角三角形；直角頂點(diǎn)O在底面上的射影H是ABC的垂心；體積 V=abc；底面ABC=；S2ABC=SBHCSABC；S2BOC=S2AOB+S2AOC=S2ABC=+; 外切球半徑 R=；內(nèi)切球半徑 r=6.旋轉(zhuǎn)體 圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的公式(1)面積和體積公式圓柱圓錐圓臺(tái)球S側(cè)2rlrl(r1+r2)lS全2r(l+r)r(l+r)(r1+r2)l+(r21+r22)4R2Vr2h(即r2l)r2hh(r21+r1r2+r22)R3表中l(wèi)、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，r1、r2分別表示圓臺(tái) 上、下底面半徑，R表示半徑.(2)圓錐、圓臺(tái)某些數(shù)量關(guān)系圓錐 圓錐軸截面兩腰的夾角叫圓錐的頂角.如圖，圓錐的頂角為，母線與下底面所成角為，母線為l，高為h，底面半徑為r，則 sin=cos = ，+=90 cos=sin = .圓臺(tái) 如圖，圓臺(tái)母線與下底面所成角為，母線為l，高為h，上、下底面半徑分別為r 、r，則h=lsinr-r=lcos.球的截面 用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面.(1)過球心的截面截得的圓叫做球的大圓；不經(jīng)過球心的截面截得的圓叫做球的小圓.(2)球心與截面圓圓心的連線垂直于截面.(3)球心和截面距離d,球半徑R，截面半徑r有關(guān)系：r=.(3)球冠、球帶和球缺球缺 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓(圓周)叫做球冠的底，垂直于截面 的直徑被截得的一段叫做相應(yīng)球冠的高.球冠也可以看作一段圓弧繞經(jīng)過它的一個(gè)端點(diǎn)的直徑旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面.球冠的面積公式 若球的半徑為R，球冠的高為h，則S球冠=2Rh其中h表示球冠的高，R是球冠所在的球的半徑.球帶 球面在兩個(gè)平行截面之間的部分叫做球帶.球帶也可以看作一段圓弧繞它所在的半圓的直徑旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面.球帶的面積公式 若球的半徑為R，球帶的高為h，則S球帶=2Rh球缺 用一個(gè)平面截球體所得的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑 被截得的線段長(zhǎng)叫做球缺的高.球缺的體積公式 若球的半徑為R，球缺的高h(yuǎn)，底面半徑為r，則V球缺=h2(3R-h)= h(3r2+h2)三、知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)提示(一)多面體例1 如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分別為AB、AC 的中點(diǎn)，平面EB1C1將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分，那么V1V2= _.解：設(shè)三棱柱的高為h，上下底的面積為S，體積為V，則V=V1+V2Sh.E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，SAEF=S,V1=h(S+S+)=ShV2=Sh-V1=Sh，V1V2=75.例2 一個(gè)長(zhǎng)方體全面積是20cm2，所有棱長(zhǎng)的和是24cm，求長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng).解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高、對(duì)角線長(zhǎng)分別為xcm、ycm、zcm、lcm 2(xy+yz+zx)=20 依題意得： 4(x+y+Z)=24 由2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36 由-得 x2+y2+z2=16即l2=16 l=4(cm).例3 如圖，正三棱錐SABC的側(cè)棱和底面 邊長(zhǎng)相等，如果E、F分別為AB、SC的中點(diǎn)，那么異面直線EF與SA所成的角等于( ) A.90 B.60 C .450 D.30解：取AC的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，EGFGSAGFE為異面直線EF與SA所成的角.正三棱錐的棱長(zhǎng)為1，則GF=GE=.頂點(diǎn)到A、B、C等距，ABC等邊頂點(diǎn)在底面ABC的射影O是ABC的中心，從而SA在底面上的射影BCSABC，即“正三 棱錐中兩相對(duì)棱垂直”.FGE=90.tgEFG=1,EFG=45.應(yīng)選C.例4 設(shè)正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為，那么它的體 積為( )A.6 B.2 C. D.2解：由已知可得正六棱錐的底面積S=6設(shè)正六棱錐的高為h，則h=2.V=2=.應(yīng)選C.例5 如果三棱錐SABC的底面是不等邊三角形，側(cè) 面與 底面所成的二面角都相等，且頂點(diǎn)S在底面的射影O在ABC內(nèi)，那么O是ABC的( )A.垂心 B.重心 C.外心 D .內(nèi)心解：作OEAB，OFBC，OMCASEO=SFO=SMO,SEOSFOSMO.OE=OF=OM.O為ABC的內(nèi)心，應(yīng)選D.例6 在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，那么直線AM和CN所成角的余弦值是( )A. B. C. D.解：如圖，設(shè)P為AA1的中點(diǎn)，Q為A1M的中點(diǎn)，則DPCN，PQAM，DPQ是異面直線AM和CN的成角.在DPQ中，DP= =，PQ=AM=，DQ=.由余弦定理得cosDPQ=-.又異面直線所成的角的范圍是（0，90）.直線AM和CN所成角的余弦值是.應(yīng)選D.例7 已知三棱錐ABCD的體積是V，棱BC的長(zhǎng)是a，面ABC 和面 DBC的面積分別是S1和S2.設(shè)面ABC和面DBC所成的二面角是，那么sin=_.解：如圖，作AO面BCD于O，作OEBC于E，連結(jié)AE.由V=AOS2，得AO=又S1=AEBC，得AE=由三垂線定理知，AEBC，AEO是二面角ABCD的平面角.即AEO=，sin=sinAEO=.例8 若正棱錐的底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)相等，則該棱錐 一定不是( )A.三棱錐 B.四棱錐C.五棱錐 D.六棱錐解：該棱錐一定不是正六棱錐.否則設(shè)正棱錐SABCDEF符合題設(shè)，則在SAB和OAB中(O為頂點(diǎn)S在底面的射影)，SA=SB=AB=OA=OB,SABOAB但OAB是SAB在底面的射影，不可能.應(yīng)選D.例9 如圖，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA= 90，點(diǎn)D1 、F1分別是A1B1、A1C1的中點(diǎn)，若BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成的角的余 弦值是( )A. B. C. D. 解：設(shè)BC=CA=CC1=1.取BC中點(diǎn)E，連結(jié)EF、D1F，則EFBD1EFA為BD1和AF所成的角.易知FE=D1B= =.由BCA=90，得AE=.AF= =由余弦定理有cosEFA= = = 即BD1和AF1成角的余弦值是.應(yīng)選A.例10 一個(gè)三棱錐，如果它的底面是直角三角形，那么它的三個(gè)側(cè)面( )A.必然都是非直角三角形 B.至多只能有一個(gè)是直角三角形C.至多只能有二個(gè)直角三角形 D.可能都是直角三角形解：如圖，三棱錐PABC中，ABC=90，PA面ABC.則PAAC，PAAB，PAC和PAB都是直角三角形.又ACB=90，即ACBC，PCCB，即PCB=90，PCB也是直角三角形.應(yīng)選D.例11 側(cè)棱長(zhǎng)為3cm，底面邊長(zhǎng)為4cm的正四棱錐的體積為_cm3.解：由已知有底面對(duì)角線長(zhǎng)為4cm.h=1(cm)V=hS= (cm)3例12 已知長(zhǎng)方體ABCDABCD中，棱AA=5，AB=12，那么直 線BC和平面ABCD的距離是_.解：如 圖BCBC，BC面AC，BC面AC，BC面AC.點(diǎn)B到平面ABCD的距離即直線BC到平面ABCD的距離.作BHAB于H，又CB面AABB，BH面AABB，BH面AB，所 以BHCB，從而BH平面ABCD.BHAB=BABB，BH=即直線BC到平面ABCD的距離是.(二)旋轉(zhuǎn)體例13 如果圓臺(tái)的上底面半徑為5，下底面半徑為R， 中截面把圓臺(tái)分為上、下兩個(gè)圓臺(tái)，它們的側(cè)面積的比為1：2，那么R=( )A.10 B.15 C.20 D.25解D.例14 長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)度分別為3，4，5，且它的8個(gè)頂點(diǎn)都在 同一球面上，這個(gè)球的 表面積是( )A.20 B.25 C.50 D.200 解：設(shè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為l，球半徑為R，由已知及對(duì)稱性知l=2R,l=5，得R=.S球=4R2=50應(yīng)選C.例15 若母線長(zhǎng)為4的圓錐的軸截面的面積為8,則圓錐的側(cè)面積為_(結(jié)果中保留).解：設(shè)軸截面為SAB，則SA=SB=4,SSAB=8=SASBsinSBA，得sinASB=1，ASB=90，AB=SA=4,S側(cè)=rl=()SA=24=8.例16 如果等邊圓柱(即底面直徑與母線相等的圓柱)的體 積是16cm3，那么它的底半徑等于( )A.4cm B.4cm C.2cm D.2cm解：16=r2(2r)=2r3，得r=2(cm)應(yīng)選D.例17 圓柱軸截面的周長(zhǎng)1為定值，那么圓柱體積的最 大值是( )A.()3 B.()3 C.()3 D. ()3解：設(shè)r為底半徑，l為母線.由4r+2l=1，得l=V=r2l=(2r)(2r)(2l)()3=()3=()3=()3 .等號(hào)僅當(dāng)2r=2l即r=l=時(shí)成立.應(yīng)選A.例18 設(shè)圓錐底面圓周上兩點(diǎn)A、B間的距離為2，圓錐 頂點(diǎn)到 直線AB的距離為，AB和圓錐的軸的距離為1,則該圓錐的體積為_.解：如圖O為底面圓心，OCAB于C.由OA=OB得C為AB中點(diǎn)，由SA=SB，C為AB中點(diǎn)得SCAB于C.OC=1,SC=,AC=CB=1, SO=， OB= = .V=OB2SO= ()2=.例19 在一個(gè)實(shí)心圓錐體的零部件，它的軸截面是邊 長(zhǎng)為10厘米的等邊三角 形，現(xiàn)要在它的整個(gè)表面鍍上一層防腐材料，已知每平方厘米的工料價(jià)為0.1元，則需要費(fèi) 用_元(取3.2).解：設(shè)圓錐的底半徑為r,由已知有r=5cm,母線長(zhǎng)為10cm.S全=52+510=75240(cm2)工料價(jià)為2400.1=24元.例20 圓錐母線長(zhǎng)為l，側(cè)面展開圓心角為240，該 圓錐的體積是( )A. B. C. D. 解：設(shè)圓錐底半徑為r，由已知有240=，得r= .h=.V=r2h=()2=應(yīng)選C.(三)綜合題賞析例21 如圖，平面和相交于直線MN，點(diǎn)A在平面上，點(diǎn)B在平面上， 點(diǎn)C在直線MN上，ACM=BCN =45，A-MN-B是60的二面角，AC=1.求：(1)點(diǎn)A到平面的距離； (2)二面角ABCM的大小.解：(1)作AH平面于H，HDMN于D，連結(jié)AD，則ADMN于D，故ADH是二面角AMNB 的平面角，所以ADH=60.在RtACD中，ACD=45，ADC=90，AD=AC=1=.在RtADH中，AH=ADsinADH=sin60即點(diǎn)A到平面的距離是，(2)設(shè)二面角ABCM為度，在等腰RtADC中，由斜邊AC=1，得DC=AD=在RtADH中，DH= =在RtDHC中，HC= =作HE直線BC于E，則AEH是二面角ABCM的平面角.HCB =180-(HCD+BCN)=180-HCD-45，sinHCE=sin(45+HCD)=(sinHCD+cosHCD)=HE=HCsinHCE=tgAEH=.即=arctg為所求.例22 如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為4的 正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC垂直平面ABCD，GC=2.求點(diǎn)B到平面EFG的距離.解：連GB、GE、GF、FE、FB，設(shè)點(diǎn)B到面EFG的距離為d.VBEFG=dSGFE. VBEFG=VG-BEF=GCSBEF=BEFd=SBEF=ABF=(AFAB)=2, 在EFG中，GF=GE=2,EF=2,故它的周長(zhǎng)之 半P=(EF+FG+GE)=2+2SEFG= P(P-EF)(P-EF)(P-GE)=2d=.即點(diǎn)B到平面EFG的距離是2例23 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，ACB=90，BAC=30，BC=1,AA1=,M是CC的中點(diǎn).求證：AB1A1M證明：由題設(shè)知B1C1A1C1，B1C1C1CB1C1側(cè)面A1ACC1.連C1A，則C1A是B1A在面A1ACC1上的射影.設(shè)AC1與A1M交于點(diǎn)D.在RtA1B1C1中，B1C1=1,B1A1C1=BAC=30，得A1 C1= .=在RtA1C1M中，=，又AA1C1=A1C1M=90，AA1C1A1C1M,得3=4由 AA1CC1，得1=2，C1DM=C1A1A90，AC1A1M.由三垂線定理，得AB1A1M.例24 如圖，圓錐的軸截面為 等腰RtSAB，Q為底面圓周上一點(diǎn).(1)若QB 的中點(diǎn)為C，OHSC，求證OH平面SBQ；(2)如果AOQ=60，QB=2，求此圓錐的體積；(3)如果二面角ASBQ的大小為arctg，求 AOQ的大小.解：(1)連OC.SQ=SB，OQ=OB,QC=CB，QBSC，QBOC，得OB面SOC.OH面SOC，得QBOH，又OHSC，OH面SQB.(2)連AQ.Q為底面圓周上的一點(diǎn)，AB為直徑，AQQB在RtAQB中，QBA=30，QB=2AB=4SAB是等腰直角三角形.SO=AB=2，V圓錐=OA2SO=(3)過Q作QMAB于M.由于面SAB面ABQ，得QM面SAB.作MPSB于P，連PQ，則由三垂線定理知QPSB.MPQ是二面角ASBQ的平面角.MPQ=arctg為已知，設(shè)圓錐底半徑為r,AOQ=，在RtMPB中，PBM=45，MB=r(1+cos)，MP=r(1+cos)tgMPQ=，=,即=.即tg=，故AOQ=60例25 如圖，A1B1C1 ABC是正三棱柱，D是AC中點(diǎn).(1)證明AB1平面DBC1；(2)假設(shè)AB1BC1，求以BC1為棱、以DBC1與CBC1為面的二面角 的度數(shù).證明：(1)由于A1B1C1ABC是正三棱柱，故四邊形B1BCC1是矩形連B1C交BC1于E，則B1E=EC,連DE.在AB1C中，AD=DC，得DEAB1又AB1面DBC1，DE面DBC1，AB1平面DBC1.(2)作DFBC于F，則DF面B1BCC1；連EF，則EF是ED在面B1BCC1上的射影.AB1B1C1，又由(1)知，AB1DE，DEBC1，從而BC1EFDEF是二面角的平面角.設(shè)AC=1,則DC=.ABC是正三角形.在RtDCF中，DF=DCsinC=，CF=DCcosC=.取BC中點(diǎn)G，因BE=EC，故EGBC.在RtBEF中，EF2=BFGF，又BF=BC-FC=,GF=.EF2=，得EF=tgDEF=1.DEF=45即二面角為45.例26 如圖，梯形ABCD中，ADBC,ABC=,AB=a,AD=3a,ADC=arcsin,PA面ABCD,PA=a求:(1)二面角PCDA的大小(用反三角函數(shù)表示)：(2)點(diǎn)A到平面PBC的距離.解：(1)作AE直線CD于E連PE.由PA面ABCD據(jù)三垂線定理知PECD.PEA是二面角PCDA的平面角.在RtAED中,AD=3a,ADE=arcsin.AE=ADsinADE=a在RtPAE,中tgPEA=.PEA=arctg即二面角PCDA的大小為arctg.(2)作AHPB于H由PA面ABCD,得PBBC.又ABBC,得BC面PAB得BCAHAH面PBC，AH的長(zhǎng)為點(diǎn)A到面PBC的距離在等腰RtPAB中,AH=a.點(diǎn)A到平面PBC的距離是a例27 如圖，已知RtABC的兩直角邊AC=2、BC=3，P為 斜邊AB上一點(diǎn)，現(xiàn)沿C P將此直三角形析成直二面角APCB，AB=，求二面角PACB的大小.解：由已知ACPB是直二面角，作BDCP于D，則BD平面ACP作DEAC于E，則BEAC， BED是二面角PACB的平面角.作AFDC于F，連BF，則AFB=.設(shè)ACP=，則BCP=-，在RtAFB中AB2=AF2+FB2=AF2+DB2+DF2=7AF=2sin,CF=2cosBD=3sin(90-)-3cosCD=3sin(90-)-3cosDF=CD-CF=3sin-2cos(2sin)2+(3cos)2+(3sin-2cos )2=7解得=.在RtBED中DE=CDsin=3sin2=.tgBED=.BED=arctg即二面角PACB的大小是arctg例28 設(shè)三棱錐SABC的底面為等腰直角三角形，已知該直角三角形的斜邊 AC長(zhǎng)為10，三棱錐的側(cè)棱SA=SB=SC=13，求：(1)頂點(diǎn)S到底面的距離；(2)側(cè)棱SB與底面所有角的大小(用反三角函數(shù)表示)；(3)二面角ASBC的大小(用反三角函數(shù)表示)；解：如圖(1)作SO底面ABC，由已知SA=SB=SC知，O為底面ABC的外心，又ABC為直角三角形，故O為斜邊AC的中點(diǎn).SO=12.即頂點(diǎn)S到底面的距離是12.(2)SOB是SB與底面ABC所成的角.COB=arcsin=arcsin(3)作ADSB于D，連結(jié)CD.SBAD,SBAC.SB平面ADCCDSB,ADC是二面角ASBC的平面角.易得 AB=BC=5AD=DC=ADC=arccos(-)即二面角ASBC的大小是arccos(-).例29 如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AB=5.AD=4,AA1=3,ABAD,A1AB=A1AD=.(1)求證：頂點(diǎn)A1在底面ABCD的射影O在BAD的平分線上；(2)求這個(gè)平行六面體的體積V.解：(1)連A1O，則A1O底面，作OMAB于M，ONAD于N，連AM，AN，A O，由三垂線定理得A1MAB，A1NAD又A1AM=A1AN.RtA1NARtA1MAA1M=A1N,得OM=ON.點(diǎn)O在BAD的平分線上(2)V=30 用等體積法解點(diǎn)到面的距離和體積立幾題 立體幾何是每年高考中的一個(gè)重要考查對(duì)象,在每年的高考中都占有很大的比例。解立體幾何題需要我們的看圖、讀圖、繪圖能力；也需要我們的轉(zhuǎn)化能力及空間想象能力.因此許多同學(xué)學(xué)習(xí)起感覺到很困難很麻煩，導(dǎo)致在高考中失分較多，影響考試的成績(jī)?？v觀近年的高考,我們不難發(fā)現(xiàn)，在立體幾何的考試中，經(jīng)?？疾榈角簏c(diǎn)到面的距離和體積的問題，而這些問題的解決有時(shí)借助常規(guī)的方法并不能輕松地獲得結(jié)果.這時(shí)如果能想到等體積法，則可以給你一種“柳暗花明又一村”的感覺.下面我們將從幾道高考題中感受到這種方法帶給我們的好處。（一） 用等體積法求點(diǎn)到平面的距離 AA1BDECB1C1D1【2005贛文（理）20】如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)(1) 證明：D1EA1D；(2) 當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)E到面ACD1的距離；(3) AE等于何值時(shí)，二面角D1ECD的大小為（）解：設(shè)點(diǎn)到平面D1的距離為h，在D1中，D1，D1，故， 而 h=【04年文（21）理（20）】如圖，已知四棱錐PABCD ，PBAD，側(cè)面PAD為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120。（）求點(diǎn)P到平面ABCD的距離；（）求面APB與面CPB所成二面角的大小。PBCDEA（）解：取AD的中點(diǎn)E，連結(jié)PE，BE。PAD為等邊三角形 PEAD 又PBADAD平面PBE ADBE PEB為平面PAD與平