海洋運(yùn)動(dòng)控制方程組.答案.ppt

第一章海洋運(yùn)動(dòng)控制方程組 1 1連續(xù)介質(zhì)假設(shè) 海洋動(dòng)力學(xué)研究海水的運(yùn)動(dòng) 海水為一種流體 把牛頓第二定律應(yīng)用于流體時(shí) 是否如應(yīng)用于剛體時(shí)一樣適用 流體由大量分子組成 微觀結(jié)構(gòu)具有不均勻性 離散性 隨機(jī)性 宏觀結(jié)構(gòu)具有均勻性 連續(xù)性 確定性 流體力學(xué)研究流體的宏觀結(jié)構(gòu) 研究方法有統(tǒng)計(jì)物理 即從分子和原子的運(yùn)動(dòng)出發(fā) 采用統(tǒng)計(jì)平均的方法建立宏觀物理量滿足的方程 并確定流體的性質(zhì) 以及以連續(xù)介質(zhì)假設(shè)為基礎(chǔ) 認(rèn)為流體質(zhì)點(diǎn)連續(xù)地充滿了流體所在的整個(gè)空間 流體質(zhì)點(diǎn)所具有的宏觀物理量 如質(zhì)量 速度 壓力 溫度等 滿足一切應(yīng)遵循的物理定律及物理性質(zhì) 例如牛頓定律 質(zhì)量 能量守恒定律 熱力學(xué)定律 以及擴(kuò)散 粘性 熱傳導(dǎo)等輸運(yùn)性質(zhì) 連續(xù)介質(zhì)假設(shè)的基礎(chǔ)是由于宏觀問(wèn)題的特征尺度和特征時(shí)間和分子間的距離及碰撞時(shí)間相比大得不可比擬 個(gè)別分子的行為幾乎不影響大量分子統(tǒng)計(jì)平均后的宏觀物理量 因此在考慮流體的宏觀運(yùn)動(dòng)時(shí) 可不必直接考慮流體的分子結(jié)構(gòu) 而采用連續(xù)介質(zhì)這一近似的理論模型 連續(xù)介質(zhì)假設(shè)認(rèn)為真實(shí)流體所占有的空間 可近似地看成是由 流體質(zhì)點(diǎn) 連續(xù)地?zé)o空隙地充滿著 所謂流體質(zhì)點(diǎn)指的是微觀上充分大 宏觀上充分小的分子團(tuán) 有了連續(xù)介質(zhì)假設(shè) 在研究流體的宏觀運(yùn)動(dòng)時(shí) 就可以把一個(gè)本來(lái)是大量的離散分子或原子的運(yùn)動(dòng)近似為連續(xù)充滿整個(gè)空間的流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題 而且每個(gè)空間點(diǎn)和每個(gè)時(shí)刻都有確定的物理量 它們都是空間坐標(biāo)和時(shí)間的連續(xù)函數(shù) 從而可以利用強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具 正因?yàn)檫@樣 連續(xù)介質(zhì)假設(shè)是流體力學(xué)中第一個(gè)帶根本性的假設(shè) 介質(zhì)的密度一般是不均勻的 而壓縮性又會(huì)使其密度發(fā)生變化 這就出現(xiàn)了矛盾 連續(xù)的意思是質(zhì)點(diǎn)間似乎沒(méi)有空隙 密度能夠變化又意味著內(nèi)部有活動(dòng)的 余地 因此連續(xù)介質(zhì)只是一種抽象的概念 提出這種抽象的概念會(huì)大大簡(jiǎn)化流體力學(xué)的研究 可把牛頓第二定律應(yīng)用于流體 1 2描寫(xiě)流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法 拉格朗日 Lagrange 和歐拉 Euler 方法 在不考慮外力作用的前提下研究已發(fā)生的流體運(yùn)動(dòng) 敘述描寫(xiě)流體運(yùn)動(dòng)的方法及其分析表達(dá) 運(yùn)動(dòng)學(xué) 設(shè)流體質(zhì)點(diǎn)在空間中運(yùn)動(dòng) 如何確定描寫(xiě)流體運(yùn)動(dòng)的方法并且將它用數(shù)學(xué)式子表達(dá)出來(lái) 拉格朗日方法 著眼于流體質(zhì)點(diǎn) 設(shè)法描述出每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)自始至終的運(yùn)動(dòng)過(guò)程 即它們的位置隨時(shí)間變化的過(guò)程 t t0時(shí) 1 1 為流體質(zhì)點(diǎn)矢徑 在直角坐標(biāo)系中 x x a b c t y y a b c t 1 2 變數(shù)a b c t稱為拉格朗日變數(shù) 在拉格朗日觀點(diǎn)中 矢徑函數(shù)的定義區(qū)域不是場(chǎng) 因?yàn)樗皇强臻g坐標(biāo)的函數(shù) 而是質(zhì)點(diǎn)標(biāo)號(hào)的函數(shù) 假設(shè) 1 1 式確定的函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 速度和加速度是對(duì)于同一質(zhì)點(diǎn)而言的單位時(shí)間內(nèi)位移變化率和速度變化率 在直角坐標(biāo)系中 速度和加速度的表達(dá)式 歐拉方法 著眼點(diǎn)不是流體質(zhì)點(diǎn) 而是空間點(diǎn) 設(shè)法在空間中的每一點(diǎn)上描述出流體運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間的變化狀況 如果每一點(diǎn)的流體運(yùn)動(dòng)都已知道 則整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)情況也就清楚了 那么應(yīng)該用什么物理量來(lái)表現(xiàn)空間點(diǎn)上流體運(yùn)動(dòng)的變化情況呢 因?yàn)椴煌瑫r(shí)刻將有不同流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)空間某固定點(diǎn) 所以站在固定點(diǎn)上就無(wú)法觀測(cè)和記錄掠過(guò)的流體質(zhì)點(diǎn)以前和以后的詳細(xì)歷史 就是說(shuō)我們無(wú)法象拉格朗日方法那樣直接測(cè)量出每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置隨時(shí)間的變化情況 雖然如此 不同時(shí)刻經(jīng)過(guò)固定點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的速度是可以測(cè)出的 這樣采用速度矢量來(lái)描寫(xiě)固定點(diǎn)上流體運(yùn)動(dòng)的變化狀況就是什么自然的了 而不管經(jīng)過(guò)該固定點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)從哪里來(lái)到哪里去 要完全描寫(xiě)流體的運(yùn)動(dòng)狀況 還需要給定狀態(tài)函數(shù) 壓力 密度 溫度 鹽度等 變數(shù)x y z t稱為歐拉變數(shù) 當(dāng) x y z 固定 t改變時(shí) 表示空間中某固定點(diǎn)上速度隨時(shí)間的變化 應(yīng)該指出 流矢確定的速度函數(shù)是定義在空間點(diǎn)上 它們是空間點(diǎn)的坐標(biāo)x y z的函數(shù) 所以研究的是場(chǎng) 因此當(dāng)用歐拉觀點(diǎn)描述運(yùn)動(dòng)時(shí) 就可以廣泛地采用場(chǎng)論知識(shí) 若場(chǎng)內(nèi)函數(shù)不依賴于時(shí)間t 稱為定常場(chǎng) 反之 稱不定常場(chǎng) 在氣象觀測(cè)中 廣泛使用歐拉方法 氣象站位資料 在海洋觀測(cè)中 多船定點(diǎn)同步觀測(cè) 采用的是歐拉方法 衛(wèi)星跟蹤漂流浮標(biāo) 采用的是拉格朗日方法 假設(shè)速度函數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 現(xiàn)從流矢表達(dá)式出發(fā)求質(zhì)點(diǎn)的加速度 加速度系對(duì)某一質(zhì)點(diǎn)而言 亦即觀測(cè)某確定質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中其本身速度隨著時(shí)間的變化率 是 跟著 流體質(zhì)點(diǎn)的微分 稱為隨體導(dǎo)數(shù)或?qū)嵸|(zhì)微商 任何物理量的實(shí)質(zhì)微商都是指 跟著 某個(gè)確定流體質(zhì)點(diǎn)觀測(cè)出來(lái)的該物理量的變化率 上式右邊第一項(xiàng)時(shí) 因此是 這一項(xiàng)代表由于場(chǎng)的不定常性引起的速度變化 稱為局部導(dǎo)數(shù) 微商 或就地導(dǎo)數(shù) 右邊第二項(xiàng)為 它代表由于場(chǎng)的不均勻性引起的速度變化 稱為對(duì)流導(dǎo)數(shù) 微商 或位變導(dǎo)數(shù) 其中代表沿s方向移動(dòng)單位長(zhǎng)度引起的速度變化 現(xiàn)在在單位時(shí)間內(nèi)移動(dòng)了V的距離 因此s方向上的速度變化是 總的速度變化即加速度 實(shí)質(zhì)微商 隨體導(dǎo)數(shù) 就是局地微商與對(duì)流微商之和 從場(chǎng)論中知 其中是曲線L上的單位切向矢量 考慮到得 這是矢量形式的加速度的表達(dá)式 也可經(jīng)過(guò)函數(shù)微分 直接得到 對(duì)矢量和標(biāo)量均成立 采用歐拉方法描寫(xiě)流體運(yùn)動(dòng)常常比拉格朗日方法優(yōu)越 主要體現(xiàn)在 廣泛利用場(chǎng)論 一階導(dǎo)數(shù)比二階導(dǎo)數(shù)易處理 在實(shí)際海洋的觀測(cè)中 若用船跟著流體質(zhì)點(diǎn)跑 因流體隨潮流作周期性的運(yùn)動(dòng) 故很難做到 但可用多船同步觀測(cè) 在歐拉場(chǎng)中得出實(shí)質(zhì)微商 固定點(diǎn) 同步 局部微商對(duì)流微商實(shí)質(zhì)微商 1 3海洋運(yùn)動(dòng)控制方程組 海洋運(yùn)動(dòng)可以通過(guò)求解一組數(shù)學(xué)方程來(lái)描寫(xiě) 這些方程包括 1 運(yùn)動(dòng)方程 2 連續(xù)方程以及 3 熱量和鹽量守恒方程 考慮 單位體積 受力作用力下的運(yùn)動(dòng) 一個(gè)流體微團(tuán)定義為 1 3 1運(yùn)動(dòng)方程 對(duì)單位體積質(zhì)量 Mass 對(duì)作用以單位體積方程等于 Acceleration 上式方程說(shuō)明海洋運(yùn)動(dòng)方程可以在一個(gè)給定的合力情況下導(dǎo)出 這里 合力 的意思是不止一個(gè)力同時(shí)作用 運(yùn)動(dòng)是由一些力的合成驅(qū)動(dòng)的 即凈力 海洋中有二類力 初級(jí)力和次級(jí)力 在這里初級(jí)力定義為直接引起運(yùn)動(dòng)的力 次級(jí)力定義為由運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的力 在海洋中 初級(jí)力包括 1 重力 2 風(fēng)應(yīng)力和 3 壓力 次級(jí)力包括 1 科氏力和 2 摩擦力 重力重力為作用于整個(gè)水體質(zhì)量上的體力 這個(gè)力等于引力和離心力之和 引力牛頓萬(wàn)有引力指出宇宙中任意兩個(gè)物體相互吸引 其吸引力正比于它們的質(zhì)量 反比例于它們間距離的平方 兩個(gè)球形物體 質(zhì)量為M m 球形中心相距r 作用于海洋上單位質(zhì)量力為 離心力考慮系于細(xì)繩上質(zhì)量為m的球 以恒定的角速度 作半徑為r的圓旋轉(zhuǎn) 球的速度是恒定的 但前進(jìn)的方向不停地變換 因此流矢是變化的 細(xì)繩的作用如同一個(gè)力 把球拉向旋轉(zhuǎn)軸的方向 這個(gè)力對(duì)球產(chǎn)生了一個(gè)加速度 在時(shí)間間距 t內(nèi) 球轉(zhuǎn)動(dòng)角度變化 流矢變化 量值為 把它除 t 考慮在極限指向旋轉(zhuǎn)軸 得到 離心加速度 從固定坐標(biāo)系看 運(yùn)動(dòng)為一個(gè)指向旋轉(zhuǎn)軸的具有均勻加速度的運(yùn)動(dòng) 加速度等于角速度的平方乘以離旋轉(zhuǎn)軸的距離 這個(gè)加速度叫向心加速度 是拉于球上的細(xì)繩的力引起的 假設(shè)我們是在隨球旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系中觀測(cè)運(yùn)動(dòng) 在旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)中球是靜止的 但仍有一個(gè)力作用于球上 就是細(xì)繩的拉力 因此 為了應(yīng)用牛頓第二定律描述相對(duì)于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng) 必須引入一個(gè)額外的表觀力 名為 離心力 它恰好平衡細(xì)繩作用于球上的力 因此 離心力等于系于細(xì)繩上的球的慣性反應(yīng) 與向心加速度量值相等 方向相反 即 因?yàn)橐约癲 dt 因此 其中 為地球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 為從旋轉(zhuǎn)軸指向物體的正矢量 重力表達(dá)式 在隨地球旋轉(zhuǎn)的相對(duì)坐標(biāo)系內(nèi)觀測(cè) 在地球表面靜止的單位質(zhì)量物體 受到離心力作用 作用于物體上重力應(yīng)等于引力和離心力之和 即 引力指向地心 而離心力背離旋轉(zhuǎn)軸 因而 除了在極地和赤道 重力不指向地心 如果地球?yàn)橐粋€(gè)純粹球體 重力將有一個(gè)平行于表面的指向赤道的分量 假設(shè)地球?yàn)樵诔嗟捞幫钩龅男螤畲笾聻橐粋€(gè)橢球體 則地球已作了調(diào)整來(lái)補(bǔ)償這個(gè)指向赤道的力的分量 因而任意地點(diǎn)重力垂向地表面 因此 地球赤道半徑比極地半徑大約21km 記住局地垂向 取為平行于重力方向 除了赤道和極地并不穿越地心 引力 離心力 重力和地球形狀關(guān)系 科氏力為使牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律應(yīng)用于相對(duì)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系靜止的物體 需引入一個(gè)表觀力 離心力 如果物體相對(duì)于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng) 另外一個(gè)表觀力 叫科氏力 必須引入以使牛頓第二定律仍然有效 觀測(cè)一個(gè)隨旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)的物體 假設(shè)物體初始處于以角速度 旋轉(zhuǎn)的圓平面上 假設(shè)物體相對(duì)這個(gè)平面處于靜止?fàn)顟B(tài) 那它只受離心力的作用 當(dāng)物體開(kāi)始作離開(kāi)旋轉(zhuǎn)軸的直線運(yùn)動(dòng) 在平面上的觀測(cè)者將發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的路徑是彎曲的 原因是受到了一個(gè)與平面旋轉(zhuǎn)方面相反的表觀力作用 這個(gè)偏轉(zhuǎn)力叫科氏力 從平面上看 這個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)為一個(gè)科氏力和離心力作用下加速運(yùn)動(dòng) 科氏力與流矢方向垂直 僅改變運(yùn)動(dòng)的方向 然后 離心力輻射向外 在運(yùn)動(dòng)方向具有一個(gè)分量 當(dāng)物體以螺線向外運(yùn)動(dòng)時(shí)相對(duì)于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系能增加物體的速度 從慣性坐標(biāo)系中 直線 和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中 曲線 觀測(cè)到的慣性運(yùn)動(dòng) 從平面上看物體的彎曲路徑包括了科氏力和離心力的共同作用 上面給出的例子僅僅是為了考慮表觀力的一個(gè)簡(jiǎn)單方法 對(duì)在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng) 兩個(gè)事情是重要的 一個(gè)是在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的任何物體不管是否運(yùn)動(dòng)都受到離心力的作用 在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中 離心力包括在重力中 第二個(gè)是物體在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)科氏力才存在 科氏力僅改變運(yùn)動(dòng)的方向 而離心力能加速沿運(yùn)動(dòng)方向的運(yùn)動(dòng) 下面導(dǎo)出在地球系統(tǒng)中科氏力數(shù)學(xué)表達(dá)式 考慮在旋轉(zhuǎn)無(wú)摩擦地球表面單位質(zhì)量物體自由運(yùn)動(dòng) 假如物體相對(duì)于地球初始狀態(tài)是靜止的 由于地球轉(zhuǎn)動(dòng)作用于物體上的力僅為引力和表觀離心力 這兩個(gè)力的合力為重力 它與局地水平面垂直 現(xiàn)在假設(shè)物體受脈沖力作用開(kāi)始朝東運(yùn)動(dòng) 因?yàn)楝F(xiàn)在物體旋轉(zhuǎn)得比地球快 與角速度的平方成正比的物體離心力將增加 設(shè) 為地球角速度的量值 為從旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸指向物體的正矢量 u為物體相對(duì)于地表面的向東速度 那么總的離心力等于 由于沿緯圈相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生科氏力分量 其中u R為物體相對(duì)于地球的角速度 它是從角速度的定義導(dǎo)出的 假設(shè)物體在時(shí)間間隔 t內(nèi)移動(dòng)距離 s 此間角速度變化 等于 s R 因此 t s t R 取有d dt ds dt R u R 總的離心力可被寫(xiě)為 右邊第一項(xiàng)正是由于地球旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的離心力 當(dāng)然包含在重力中 其它兩項(xiàng)代表偏向力 沿矢量方向向外 通過(guò)計(jì)算它們的比率比較第二和第三項(xiàng)的大小 即 因?yàn)?R u 所以在一級(jí)近似內(nèi)可以忽略掉右邊的第三項(xiàng) 第二項(xiàng)叫科氏力 緣于平行于緯圈的相對(duì)運(yùn)動(dòng) 科氏力可被分為垂向方向和經(jīng)向 南北向 兩個(gè)分量 設(shè) 為緯度 Fc y和 Fc z為南北向和垂向科氏力分量 有 Fc y 2 usin Fc z 2 ucos 其中u為向東方向速度分量 如果流動(dòng)向東 則u為正 向西為負(fù) 在垂直方向科氏力分量遠(yuǎn)比重力小 因而對(duì)運(yùn)動(dòng)只有微小的影響 一般這一項(xiàng)可被忽略 從上述方程可以看到在北半球物體在水平面內(nèi)向東運(yùn)動(dòng) 受科氏力作用向南偏轉(zhuǎn) 而向西運(yùn)動(dòng)的物體向北偏轉(zhuǎn) 在每種情況偏轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)方向的右邊 北半球 也可得出平行于經(jīng)圈作相對(duì)運(yùn)動(dòng)的科氏力 x方向的科氏力為 Fc x 2 vsin 如果流體微團(tuán)向南運(yùn)動(dòng) 即v 0 則科氏力在北半球向西偏向 一般情況下 作用于以速度運(yùn)動(dòng)的物體的科氏力等于 Fc x 2 vsin Fc y 2 usin 在海洋中 我們通常定義f 2 sin 為科氏參數(shù) 因此 壓強(qiáng)梯度力考慮具有體積 x y z的流體微元 作用于A面上的壓力等于 作用B面上的壓力等于 在A面和B面上的壓力差為 作用在流體微元上x(chóng)方向壓強(qiáng)梯度力 作用于單位質(zhì)量上的壓強(qiáng)梯度力在X方向分量等于 設(shè) X 0可得到單位質(zhì)量壓強(qiáng)梯度力X方向分量為 用相同方法 可導(dǎo)出壓強(qiáng)梯度力在y和z方向的分量 運(yùn)動(dòng)方程可表示為Acceleration pressuregradientforce CoriolisForce gravityforce在x y z方向運(yùn)動(dòng)加速度可表示為du dt dv dt和dw dt 把壓強(qiáng)梯度力 科氏力 重力和摩擦力表達(dá)式代入前面表達(dá)式 其中Fx Fy和Fz為x y z方向的摩擦分量 du dt dv dt和dw dt項(xiàng)表達(dá)為流體微元沿路徑的加速度 即它們是單個(gè)流體微元的速度變化率 稱為拉格朗日加速度 我們經(jīng)常用拉格朗日和歐拉這兩個(gè)詞來(lái)區(qū)分兩種不同的觀測(cè)運(yùn)動(dòng)加速度的方法 用拉格朗日方法 可沿著單個(gè)流體微團(tuán)路徑跟蹤它 用這個(gè)方法的運(yùn)動(dòng)加速度意為沿流體微元路徑的加速度 用歐拉方法在某個(gè)固定點(diǎn)觀測(cè)的運(yùn)動(dòng)加速度為速度的局地的變化率 它是由不同流體微團(tuán)在不同時(shí)刻經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)引起的 例如 x方向拉格朗日和歐拉加速度關(guān)系為 其中 固定點(diǎn)x方向流速分量隨時(shí)間的局地變化率 由于運(yùn)動(dòng)的非均勻分布平流變化率