幾何與代數(shù)實驗報告.doc

10-11-2幾何與代數(shù)數(shù)學(xué)實驗報告學(xué)號：06010329 姓名：周志浩 得分： .實驗一：平板的穩(wěn)態(tài)溫度分布問題（線性方程組應(yīng)用）在熱傳導(dǎo)的研究中，一個重要的問題是確定一塊平板的穩(wěn)態(tài)溫度分布。假定下圖中的平板代表一條金屬梁的截面，并忽略垂直于該截面方向上的熱傳導(dǎo)。已知平板內(nèi)部有9個節(jié)點，每個節(jié)點的溫度近似等于與它相鄰的四個節(jié)點溫度的平均值，例如,；為避免出現(xiàn)分數(shù)，可寫成。設(shè)4條邊界上的溫度分別等于每位同學(xué)學(xué)號的后四位的4倍，例如學(xué)號為16308209的同學(xué)計算時，選擇、。求：（1）建立可以確定平板內(nèi)節(jié)點溫度的線性方程組；（2）用MATLAB軟件的三種方法求解該線性方程組 (請輸出精確解（分數(shù)形式）) ； 方法一：利用Cramer法則求解； 方法二：作為逆矩陣的方法求解； 方法三：利用Gauss消元法即通過初等行變換求解。實驗部分構(gòu)造的線性方程：方法一：Cramer法則 format rata1=4,-1,0,-1,0,0,0,0,0,;a2=-1,4,-1,0,-1,0,0,0,0;a3=0,-1,4,0,0,-1,0,0,0;a4=-1,0,0,4,-1,0,-1,0,0;a5=0,-1,0,-1,4,-1,0,-1,0;a6=0,0,-1,0,-1,4,0,0,-1;a7=0,0,0,-1,0,0,4,-1,0;a8=0,0,0,0,-1,0,-1,4,-1;a9=0,0,0,0,0,-1,0,-1,4;b=12,0,4,12,0,4,24,12,16; D=det(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9),D = 100352 D1=det(b,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9),D2=det(a1,b,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9),D3=det(a1,a2,b,a4,a5,a6,a7,a8,a9),D4=det(a1,a2,a3,b,a5,a6,a7,a8,a9),D5=det(a1,a2,a3,a4,b,a6,a7,a8,a9),D6=det(a1,a2,a3,a4,a5,b,a7,a8,a9),D7=det(a1,a2,a3,a4,a5,a6,b,a8,a9),D8=det(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,b,a9),D9=det(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,b),D1 = 630784 D2 = 419328 D3 =344064 D4 =899584 D5 =702464 D6 =555520 D7 =1060864 D8 =935424 D9 =774144 T1=D1/D,T2=D2/D,T3=D3/D,T4=D4/D,T5=D5/D,T6=D6/D,T7=D7/D,T8=D8/D,T9=D9/DT1 = 44/7 T2 = 117/28 T3 = 24/7 T4 = 251/28 T5 = 7 T6 = 155/28 T7 = 74/7 T8 = 261/28 T9 =54/7 方法二：逆矩陣a1=4,-1,0,-1,0,0,0,0,0,;a2=-1,4,-1,0,-1,0,0,0,0;a3=0,-1,4,0,0,-1,0,0,0;a4=-1,0,0,4,-1,0,-1,0,0;a5=0,-1,0,-1,4,-1,0,-1,0;a6=0,0,-1,0,-1,4,0,0,-1;a7=0,0,0,-1,0,0,4,-1,0;a8=0,0,0,0,-1,0,-1,4,-1;a9=0,0,0,0,0,-1,0,-1,4; b=12,0,4,12,0,4,24,12,16; A=a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,B=12,0,4,12,0,4,24,12,16,A = Columns 1 through 5 4 -1 0 -1 0 -1 4 -1 0 -1 0 -1 4 0 0 -1 0 0 4 -1 0 -1 0 -1 4 0 0 -1 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 Columns 6 through 9 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 0 0 -1 0 -1 0 4 0 0 -1 0 4 -1 0 0 -1 4 -1 -1 0 -1 4 B = 12 0 4 12 0 4 24 12 16 T=inv(A)*BT = 44/7 117/28 24/7 251/28 7 155/28 74/7 261/28 54/7 方法三：Gauss消元法a1=4,-1,0,-1,0,0,0,0,0,;a2=-1,4,-1,0,-1,0,0,0,0;a3=0,-1,4,0,0,-1,0,0,0;a4=-1,0,0,4,-1,0,-1,0,0;a5=0,-1,0,-1,4,-1,0,-1,0;a6=0,0,-1,0,-1,4,0,0,-1;a7=0,0,0,-1,0,0,4,-1,0;a8=0,0,0,0,-1,0,-1,4,-1;a9=0,0,0,0,0,-1,0,-1,4; b=12,0,4,12,0,4,24,12,16; A=a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,b,A = Columns 1 through 7 4 -1 0 -1 0 0 0 -1 4 -1 0 -1 0 0 0 -1 4 0 0 -1 0 -1 0 0 4 -1 0 -1 0 -1 0 -1 4 -1 0 0 0 -1 0 -1 4 0 0 0 0 -1 0 0 4 0 0 0 0 -1 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 Columns 8 through 10 0 0 12 0 0 0 0 0 4 0 0 12 -1 0 0 0 -1 4 -1 0 24 4 -1 12 -1 4 16 rref(A)ans = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 44/7 0 1 0 0 0 0 0 0 0 117/28 0 0 1 0 0 0 0 0 0 24/7 0 0 0 1 0 0 0 0 0 251/28 0 0 0 0 1 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 1 0 0 0 155/28 0 0 0 0 0 0 1 0 0 74/7 0 0 0 0 0 0 0 1 0 261/28 0 0 0 0 0 0 0 0 1 54/7 實驗二：比賽排名問題在有n位選手參加的單循環(huán)比賽中，比賽勝一場得1分，負一場得0分，我們可以構(gòu)造一個對角線元素為零的n階矩陣表示比賽結(jié)果，其中矩陣M的第i行表示選手i的比賽勝負情況，該行元素之和為選手i的取勝次數(shù)，即選手i在比賽中的積分。如果e表示元素全為1的n維列向量，則向量的每個元素就是每位選手的積分?？梢愿鶕?jù)每位選手的積分高低確定比賽名次。如果有多位選手積分相同，則需要考慮第二級積分，即所戰(zhàn)勝選手的積分之和。根據(jù)第二級積分，選手名次的排列可能會出現(xiàn)波動，繼續(xù)計算第三級、第四級積分，一般地由計算第k級積分。根據(jù)競賽圖理論，如果比賽至少有4位選手參加、并且任意兩位選手比賽的負者都可以間接“戰(zhàn)勝”其勝者，則對于矩陣M的最大的特征值和特征向量s，成立 （1）這表明在一定條件下，積分向量序列收斂到一個固定的排列，我們可以根據(jù)積分向量s各分量的大小確定各選手的成績排名。在計算時可以將特征向量s或者各個分量同時除以一個數(shù)，保證s的分量的絕對值在迭代過程中不趨向于無窮大（零）。一種常用的方法是每次除以絕s的和，這個過程稱為歸一化。具體求出積分向量s的方法有兩種：方法一：直接計算矩陣M的最大特征值，及其對應(yīng)的特征向量s，并對它們進行歸一化處理(使向量各分量絕對值的和為1)，并根據(jù)特征向量s確定選手的名次排列；方法二：依次計算各級積分向量，并對它們進行歸一化處理(使向量各分量絕對值的和為1)，直至相鄰兩次計算的結(jié)果小于指定的精度，并根據(jù)最后的積分向量s確定選手的名次排列。問題：請自行構(gòu)造有8名選手參加的單循環(huán)比賽成績矩陣M，要求有兩組選手，他們的積分分別相同，比如一組4人都得4分，一組4人都得3分。同時滿足（1）式成立的條件。求：（1）分析單循環(huán)比賽的成績矩陣具有什么特點；（2）根據(jù)所構(gòu)造的矩陣M，分別用方法一、方法二確定這8名選手的名次排列；（3）你是否可以找到更簡單的排列名次方法。實驗部分（1） M對稱位置上的數(shù)不相等，一個是0，一個就是1，對角線上的元素都是0（2） M= M=0,1,0,1,0,1,0,1;0,0,1,0,1,1,1,0;1,0,0,1,0,0,1,1;0,1,0,0,1,0,1,1;1,0,1,0,0,1,0,0;0,0,1,1,0,0,1,0;1,0,0,0,1,0,0,1;0,1,0,0,1,1,0,0; P,D=eig(M)P = 0.4017 0.0273 + 0.2141i 0.0273 - 0.2141i 0.5302 0.5302 -0.4095 -0.1772 - 0.0097i -0.1772 + 0.0097i 0.3887 -0.2665 - 0.2424i -0.2665 + 0.2424i -0.2021 + 0.1925i -0.2021 - 0.1925i -0.1671 -0.4508 -0.4508 0.4009 0.4682 0.4682 -0.0087 - 0.0358i -0.0087 + 0.0358i 0.5165 -0.2829 + 0.1306i -0.2829 - 0.1306i 0.3808 0.0155 + 0.3273i 0.0155 - 0.3273i -0.2201 + 0.3106i -0.2201 - 0.3106i -0.2016 0.1561 + 0.4077i 0.1561 - 0.4077i 0.3246 -0.1327 - 0.3010i -0.1327 + 0.3010i 0.0629 - 0.3914i 0.0629 + 0.3914i -0.0862 0.1545 + 0.3680i 0.1545 - 0.3680i 0.3138 0.1837 - 0.3348i 0.1837 + 0.3348i 0.0731 + 0.3301i 0.0731 - 0.3301i -0.0640 0.3000 - 0.2610i 0.3000 + 0.2610i 0.2979 0.1071 + 0.2134i 0.1071 - 0.2134i -0.3352 - 0.3213i -0.3352 + 0.3213i -0.2830 0.0442 - 0.3432i 0.0442 + 0.3432i 0.2986 -0.3825 + 0.1990i -0.3825 - 0.1990i 0.0866 + 0.0145i 0.0866 - 0.0145i 0.6367 0.0818 - 0.1836i 0.0818 + 0.1836iD = 3.4399 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.4969 + 2.0373i 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.4969 - 2.0373i 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.4950 + 1.5989i 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.4950 - 1.5989i 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.4983 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.4789 + 0.2340i 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.4789 - 0.2340i M=