用均值不等式求最值的方法和技巧.doc

用均值不等式求最值的方法和技巧 一、幾個(gè)重要的均值不等式當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)，“=”號(hào)成立；當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)，“=”號(hào)成立；當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c時(shí),“=”號(hào)成立； ,當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c時(shí),“=”號(hào)成立.注： 注意運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)的條件：一“正”、二“定”、三“等”； 熟悉一個(gè)重要的不等式鏈：。二、用均值不等式求最值的常見的方法和技巧1、求幾個(gè)正數(shù)和的最小值。例1、求函數(shù)的最小值。解析：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，“=”號(hào)成立，故此函數(shù)最小值是。評析：利用均值不等式求幾個(gè)正數(shù)和的最小值時(shí)，關(guān)鍵在于構(gòu)造條件，使其積為常數(shù)。通常要通過添加常數(shù)、拆項(xiàng)（常常是拆底次的式子）等方式進(jìn)行構(gòu)造。2、求幾個(gè)正數(shù)積的最大值。例2、求下列函數(shù)的最大值： 解析：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，“=”號(hào)成立，故此函數(shù)最大值是1。，則，欲求y的最大值，可先求y2的最大值。,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，不等式中的“=”號(hào)成立，故此函數(shù)最大值是。評析：利用均值不等式求幾個(gè)正數(shù)積的最大值，關(guān)鍵在于構(gòu)造條件，使其和為常數(shù)。通常要通過乘以或除以常數(shù)、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式進(jìn)行構(gòu)造。3、用均值不等式求最值等號(hào)不成立。例3、若x、y，求的最小值。解法一：（單調(diào)性法）由函數(shù)圖象及性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)。證明：任取且，則，則，即在上是減函數(shù)。故當(dāng)時(shí)，在上有最小值5。解法二：（配方法）因，則有，易知當(dāng)時(shí)， 且單調(diào)遞減，則在上也是減函數(shù)，即在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上有最小值5。解法三：（導(dǎo)數(shù)法）由得，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上是減函數(shù)。故當(dāng)時(shí)，在上有最小值5。解法四：（拆分法），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”號(hào)成立，故此函數(shù)最小值是5。評析：求解此類問題，要注意靈活選取方法，特別是單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法具有一般性，配方法及拆分法也是較為簡潔實(shí)用得方法。4、條件最值問題。例4、已知正數(shù)x、y滿足，求的最小值。解法一：（利用均值不等式）,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=”號(hào)成立，故此函數(shù)最小值是18。解法二：（消元法）由得，由則。當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=”號(hào)成立，故此函數(shù)最小值是18。解法三：（三角換元法）令則有則，易求得時(shí)“=”號(hào)成立，故最小值是18。評析：此類問題是學(xué)生求解易錯(cuò)得一類題目，解法一學(xué)生普遍有這樣一種錯(cuò)誤的求解方法： 。原因就是等號(hào)成立的條件不一致。5、利用均值不等式化歸為其它不等式求解的問題。例5、已知正數(shù)滿足，試求、的范圍。解法一：由，則，即解得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”號(hào)，故的取值范圍是。又，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”號(hào)，故的取值范圍是解法二：由，知，則，由，則：，當(dāng)且僅當(dāng)，并求得時(shí)取“=”號(hào)，故的取值范圍是。，當(dāng)且僅當(dāng)，并求得時(shí)取“=”號(hào)，故的取值范圍是。三、用均值不等式求最值的常見的技巧1、 添、減項(xiàng)（配常數(shù)項(xiàng)） 例1 求函數(shù)的最小值. 分析：是二項(xiàng)“和”的形式，但其“積”的形式不為定值.而可與相約，即其積為定積1，因此可以先添、減項(xiàng)6，即，再用均值不等式. 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí),等號(hào)成立. 所以的最小值是. 評注 為了創(chuàng)造條件利用均值不等式，添項(xiàng)是常用的一種變形技巧;為了保證式子的值不變，添項(xiàng)后一定要再減去同一項(xiàng). 2、 配系數(shù)（乘、除項(xiàng)） 例2 已知，且滿足，求的最大值. 分析 , 是二項(xiàng)“積”的形式，但不知其“和”的形式是否定值， 而已知是與的和為定值，故應(yīng)先配系數(shù)，即將變形為，再用均值不等式. 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立. 所以的最大值是. 評注 本題是已知和為定值，要求積的最大值，可逆用均值不等式，即利用來解決. 3、 裂項(xiàng) 例3 已知，求函數(shù)的最小值. 分析 在分子的各因式中分別湊出，借助于裂項(xiàng)解決問題. 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào). 所以. 4、 取倒數(shù) 例4 已知，求函數(shù)的最小值. 分析 分母是與的積，可通過配系數(shù)，使它們的和為定值；也可通過配系數(shù)，使它們的和為 (這是解本題時(shí)真正需要的).于是通過取倒數(shù)即可解決問題. 解 由，得，. 取倒數(shù)，得 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào). 故的最小值是. 5、 平方 例5 已知且求的最大值. 分析 條件式中的與都是平方式，而所求式中的是一次式，是平方式但帶根號(hào).初看似乎無從下手，但若把所求式平方，則解題思路豁然開朗，即可利用均值不等式來解決. 當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立. 故的最大值是. 評注 本題也可將納入根號(hào)內(nèi)，即將所求式化為，先配系數(shù)，再運(yùn)用均值不等式的變式. 6、 換元（整體思想） 例6 求函數(shù)的最大值. 分析 可先令，進(jìn)行換元，再使分子常數(shù)化，然后運(yùn)用均值不等式來解決. 7、 逆用條件 例7 已知,則的最小值是（ ） . 分析 直接利用均值不等式，只能求的最小值，而無法求的最小值.這時(shí)可逆用條件，即由，得，然后展開即可解決問題. 評注 若已知 (或其他定值)，要求的最大值，則同樣可運(yùn)用此法. 8、 巧組合 例8 若且,求的最小值 . 分析 初看，這是一個(gè)三元式的最值問題，無法利用+b來解決.換個(gè)思路，可考慮將重新組合，變成，而等于定值，于是就可以利用均值不等式了. 9、 消元 例9、設(shè)為正實(shí)數(shù)，則的最小值是. 分