數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)中的元認(rèn)知.doc

數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)中的元認(rèn)知丹陽(yáng)市第五中學(xué) 212300 張濤 一些數(shù)學(xué)家認(rèn)為數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)是有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，所以按照有意義學(xué)習(xí)理論，必然是解題者已有的解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)整個(gè)解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)過(guò)程起著決定性的作用。數(shù)學(xué)的解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)由解題知識(shí)結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)和解題元認(rèn)知結(jié)構(gòu)組成。關(guān)于解題知識(shí)結(jié)構(gòu)和思維結(jié)構(gòu)，對(duì)此，已經(jīng)有人進(jìn)行了比較詳實(shí)地闡述，本文擬就數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)的元認(rèn)知問(wèn)題進(jìn)行深入探討。1“元認(rèn)知”思想的脈絡(luò) “元”的概念來(lái)源于對(duì)“內(nèi)省法的自我證明悖論”的哲學(xué)思索?？商?Comte)認(rèn)為， 同一器官如何能夠同時(shí)既是觀察者又是被觀察者呢，因而“內(nèi)省法”存在“自我證明悖論”。為了解決這一悖論，哲學(xué)家塔爾斯基(ATMski)引進(jìn)了“Meta”即“元”的概念。他針對(duì)“客體水平”提出了“元水平”的概念：客體水平是“關(guān)于客體本身的表述”，而元水平則是“關(guān)于客體水平表述的表述”。這2者之間的區(qū)別，使得一個(gè)過(guò)程可以作為同時(shí)進(jìn)行的2個(gè)或2個(gè)以上不同水平的進(jìn)程來(lái)分析，其中任何一個(gè)較低層次進(jìn)程都可以成為一個(gè)較高層次進(jìn)程的對(duì)象因此內(nèi)省可看作是，認(rèn)知主體對(duì)自己所進(jìn)行的關(guān)于客體水平的意識(shí)做出元水平的言語(yǔ)表述這樣一來(lái)，關(guān)于內(nèi)省法的自我證明悖論就得到了解決與此同時(shí)，“元”的概念給予心理學(xué)家以啟示，產(chǎn)生了“元認(rèn)知”的思想元認(rèn)知最初被表述為“個(gè)人關(guān)于自己的認(rèn)知過(guò)程及結(jié)果或其它相關(guān)事情的知識(shí)”，是“為完成某一具體目標(biāo)或任務(wù)，認(rèn)知主體依據(jù)認(rèn)知對(duì)象對(duì)認(rèn)知過(guò)程進(jìn)行主動(dòng)的監(jiān)測(cè)，以及連續(xù)的調(diào)節(jié)和協(xié)調(diào)”，是“個(gè)人對(duì)認(rèn)知領(lǐng)域的知識(shí)和控制”。因此，元認(rèn)知被簡(jiǎn)單地表述為“關(guān)于認(rèn)知的認(rèn)知”。2波利亞的元認(rèn)知思想 雖然“元認(rèn)知”概念提出較晚，但元認(rèn)知思想已有悠久歷史，古今中外的許多先哲均有所涉獵，在數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域，波利亞則堪稱(chēng)提出解題元認(rèn)知思想的第一人。如果從心理學(xué)的角度來(lái)欣賞，波利亞的數(shù)學(xué)解題理論堪稱(chēng)數(shù)學(xué)解題心理學(xué)的精品，特別是其中所蘊(yùn)涵元認(rèn)知思想更是令人嘆為觀止，拍案叫絕。 其實(shí)，“怎樣解題表”本身就是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)解題的元認(rèn)知體系。解題表既給出了解題的程序 一種程序性知識(shí)，又給出了解題的策略 如何使解題效果更好的自我監(jiān)控知識(shí)，它對(duì)解題過(guò)程給出的“提示語(yǔ)”就是典型的元認(rèn)知知識(shí)。對(duì)于“弄清題意”，波利亞認(rèn)為：在解題過(guò)程中解題者常常會(huì)翻來(lái)覆去地在腦子里掂量著問(wèn)題，試圖使它看起來(lái)更簡(jiǎn)便，這可以問(wèn)一下自己：“能重新表述一下這個(gè)問(wèn)題，使之盡可能簡(jiǎn)單、有啟發(fā)性嗎?當(dāng)然要使問(wèn)題表述得更熟悉，更有吸引力，更接近于問(wèn)題和更有希望解決?！边@種對(duì)自己思維趨向的提示，是地道的元認(rèn)知活動(dòng)。至于具體如何重新表述，是把條件或結(jié)論變形，還是把整個(gè)問(wèn)題變形?是把未知量或已知量變形，還是把2者同時(shí)都變形?這些具體的策略和方法屬于知識(shí)和技能，更傾向于認(rèn)知而不是元認(rèn)知?！盎氐蕉x去”是波利亞的最強(qiáng)調(diào)、最常用的提示語(yǔ)，“把問(wèn)題所給的因素返回到定義去考慮，使我們可以引進(jìn)某些新的因素，而這些新的因素轉(zhuǎn)而又引出更多的新因素，如此繼續(xù)下去，就可以把問(wèn)題的思路進(jìn)一步展開(kāi)，這種展開(kāi)往往能使我們更接近于問(wèn)題的解?！睂?duì)于“擬訂計(jì)劃”，波利亞用一系列的提示語(yǔ)來(lái)誘發(fā)一個(gè)“好念頭”，作為解題的核心環(huán)節(jié)，這些起監(jiān)控作用的提示語(yǔ)都是元認(rèn)知知識(shí)。 波利亞提出的“目標(biāo)意識(shí)”“看著未知數(shù)”，“盯著目標(biāo)”也是一種元認(rèn)知意識(shí)。波利亞指出：目標(biāo)啟示著手段，對(duì)目標(biāo)的考慮可能會(huì)啟發(fā)找到一個(gè)途徑。考慮了目標(biāo)，問(wèn)題就一個(gè)接著一個(gè)出來(lái)了：這些提問(wèn)引導(dǎo)了一條“倒退”的途徑：如果能發(fā)覺(jué)了推出問(wèn)題未知量的“已知量”，那就可以把這些“已知量”選做輔助問(wèn)題的目標(biāo)，就可以從后往前推了。波利亞還提出“接近度”解題思路探索時(shí)與解題目標(biāo)的接近程度的思想，“能不能把問(wèn)題重新表述得使未知量和已知量、結(jié)論和假設(shè)看上去彼此更加接近呢?”這是一種解題的元認(rèn)知體驗(yàn)，這種體驗(yàn)有利于調(diào)節(jié)解題的思維方向。 波利亞關(guān)于“對(duì)自己提出的猜想應(yīng)該保持一種理智的態(tài)度(堅(jiān)持或放棄)”的思想，也是一種元認(rèn)知知識(shí)。不輕信所做的猜想，也不輕易改變自己的猜想。即使有足夠的證據(jù)，猜想也需要論證；即使不能論證猜想，也不要輕言放棄；一旦發(fā)現(xiàn)證據(jù)不足需要改變猜想，就毫不猶豫做出決斷。 對(duì)于“實(shí)施計(jì)劃”，波利亞提出“對(duì)每一步演算和推理進(jìn)行檢驗(yàn)”，“補(bǔ)充細(xì)節(jié)”，“耐心檢驗(yàn)每一步”，“能清楚地看出這一步是正確的嗎”，“不要放過(guò)任何含糊之處”。這些也都是元認(rèn)知活動(dòng)。 對(duì)于“回顧解題”，波利亞強(qiáng)調(diào)要通過(guò)對(duì)解題的回顧，達(dá)到“能一下子看出問(wèn)題的解”。這是培養(yǎng)解題者的“題感”，實(shí)際是對(duì)問(wèn)題的敏感，一種解題的元認(rèn)知體驗(yàn)。 波利亞數(shù)學(xué)解題理論可謂充滿了元認(rèn)知思想，如果稱(chēng)其為數(shù)學(xué)解題元認(rèn)知理論的創(chuàng)立人，那決不為過(guò)。3 解題的元認(rèn)知體驗(yàn)和元認(rèn)知監(jiān)控解題的元認(rèn)知，由主體的元認(rèn)知結(jié)構(gòu)和元認(rèn)知監(jiān)控組成。元認(rèn)知結(jié)構(gòu)的成分包括元認(rèn)知知識(shí)和元認(rèn)知體驗(yàn)。元認(rèn)知知識(shí)有元認(rèn)知特征知識(shí)，元認(rèn)知任務(wù)知識(shí)，元認(rèn)知策略知識(shí)和元認(rèn)知評(píng)價(jià)知識(shí)。這里著重討論解題的元認(rèn)知體驗(yàn)和元認(rèn)知監(jiān)控。3.1 解題的元認(rèn)知體驗(yàn) 所謂元認(rèn)知體驗(yàn)，是伴隨并從屬于智力活動(dòng)的有意識(shí)的認(rèn)知體驗(yàn)或情感體驗(yàn)。所謂體驗(yàn)一般是沒(méi)有明確編碼、甚至難以編碼的信息，近似于通常所說(shuō)的“感覺(jué)”、“意會(huì)”，像心理圖像，隱約的類(lèi)似，朦朧的情境，難以明言的預(yù)期等，這些都是認(rèn)知體驗(yàn)。 對(duì)問(wèn)題情境中各種因素及其之間關(guān)系和變化的敏感，屬于元認(rèn)知體驗(yàn)的范疇。這種敏感包括2方面： 一是，對(duì)問(wèn)題情境中各種線索的敏感，這種敏感決定著對(duì)情境中有關(guān)信息的覺(jué)察與認(rèn)知，如果不敏感就可能遺漏、忽略某些重要的信息，或者產(chǎn)生誤解、偏差的認(rèn)識(shí)。例如，需要利用乘法公式進(jìn)行因式分解時(shí)，如果沒(méi)有對(duì)公式結(jié)構(gòu)的敏感，沒(méi)有對(duì)各項(xiàng)指數(shù)關(guān)系的敏感，沒(méi)有對(duì)冪的底數(shù)相同性的敏感，沒(méi)有局部和整體關(guān)系的敏感，即使對(duì)乘法公式記憶得滾瓜爛熟，也不能有效運(yùn)用乘法公式使問(wèn)題得到解決。 二是，激活和提取不同問(wèn)題情境下相應(yīng)策略的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的敏感，這種敏感影響著調(diào)控對(duì)策和方法的選取，如果缺乏這方面敏感就可能在問(wèn)題情境和方法匹配上發(fā)生困難，難以激活、提取適當(dāng)?shù)姆椒ú呗裕y以將一種具體問(wèn)題情境下解決問(wèn)題策略和方法遷移到其它問(wèn)題情境中去。如果從學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題的角度，這種“敏感”還應(yīng)該包括“一種敏銳的題感，它使人在解題時(shí)能一下子抓住關(guān)鍵，單刀直入，立即深入問(wèn)題的核心”。3.2解題的元認(rèn)知監(jiān)控 從波利亞數(shù)學(xué)解題元認(rèn)知思想中，可以抽取出組成自我監(jiān)控的幾個(gè)主要因素：控制、監(jiān)察、預(yù)見(jiàn)、調(diào)節(jié)和評(píng)價(jià)。它與一般的元認(rèn)知監(jiān)控的組成因素既有一致性，又有數(shù)學(xué)解題的自身特點(diǎn)。 (1)控制，即在解題過(guò)程中，對(duì)如何入手，如何策劃，如何構(gòu)思，如何選擇，如何組織，如何猜想，如何修正等做出基本計(jì)劃和安排。對(duì)學(xué)習(xí)情境中的各種信息做出準(zhǔn)確的知覺(jué)和分類(lèi)，調(diào)動(dòng)頭腦中已有的相關(guān)知識(shí)，對(duì)有效信息做出迅速選擇，以恰當(dāng)?shù)姆绞浇M織信息，選擇解決問(wèn)題的策略，安排學(xué)習(xí)步驟，控制自己的思維方向。關(guān)注解題的過(guò)程性和層次性，有意識(shí)地控制自己的解題節(jié)奏，對(duì)整個(gè)解題過(guò)程做到“心中有數(shù)”，明確地意識(shí)到自己所采取的每一個(gè)解題步驟的意圖。 (2)監(jiān)察，即監(jiān)視和考察。在解題過(guò)程中，密切關(guān)注解題進(jìn)程，保持良好的批判性，以高度的警覺(jué)審視解題每一歷程問(wèn)題的認(rèn)識(shí)、策略的選取、前景的設(shè)想、概念的理解、定理的運(yùn)用、形式的把握，用恰當(dāng)?shù)姆绞椒椒z查自己的猜想、推理、運(yùn)算和結(jié)論。 (3)預(yù)見(jiàn)，即在數(shù)學(xué)解題的整個(gè)過(guò)程，隨時(shí)估計(jì)自己的處境，判斷問(wèn)題的性質(zhì)，展望問(wèn)題的前景。對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的性質(zhì)、特點(diǎn)和難度以及解題的基本策略和基本思維做出大致的估計(jì)、判斷和選擇；猜想問(wèn)題的可能答案和可能采取的方法，并估計(jì)各方法的前景和成功的可能性等等，要設(shè)法使自己置身于一個(gè)最便于行動(dòng)的位置上，處在一個(gè)最易于抓住問(wèn)題的位置上。(4)調(diào)節(jié)，即根據(jù)監(jiān)察的結(jié)果，根據(jù)對(duì)解題各方面的預(yù)見(jiàn)，及時(shí)調(diào)整解題進(jìn)程，轉(zhuǎn)換思考的策略，重新考慮已知條件、未知數(shù)或條件、假設(shè)和結(jié)論；對(duì)問(wèn)題重新表述，以使其變得更加熟悉，更易于接近目標(biāo)，如，“盡可能畫(huà)一張圖”，“引入適當(dāng)?shù)姆?hào)”，“回到定義去”。(5)評(píng)價(jià)，即以“理解性”和“發(fā)展性”標(biāo)準(zhǔn)來(lái)認(rèn)識(shí)自己解題的收獲，自覺(jué)對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)進(jìn)行重新剖析，反思自己發(fā)現(xiàn)解題念頭的經(jīng)歷，抽取解決問(wèn)題的關(guān)鍵，總結(jié)解題過(guò)程的經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)，反思解題過(guò)程的成敗得失及其原因；從思維策略的高度對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行總結(jié)，從中概括出一般性規(guī)律，概括出點(diǎn)點(diǎn)滴滴的新經(jīng)驗(yàn)、新見(jiàn)解、新體會(huì)，以及對(duì)問(wèn)題進(jìn)行推廣、深化，尋找新的解法、更好的解法，對(duì)解題過(guò)程或表述予以簡(jiǎn)化。評(píng)價(jià)應(yīng)該貫穿于解題的始終，隨時(shí)進(jìn)行評(píng)價(jià)，而不僅僅是在解題后。4 解題元認(rèn)知能力的培養(yǎng)4.1 善于運(yùn)用波利亞的“提示語(yǔ)” 波利亞在他的解題理論著作中所給出的很多提示語(yǔ)，都是屬于元認(rèn)知的范疇。因而在解題時(shí)經(jīng)常自覺(jué)地運(yùn)用這些提示語(yǔ)，是提高解題元認(rèn)知能力的有效途徑。正如波利亞指出，“表中的問(wèn)題除了普遍性以外，它們也是自然的、簡(jiǎn)單的、顯而易見(jiàn)的，來(lái)自于普通常識(shí)。這些問(wèn)題總是勸告你去做此時(shí)你該去做的合乎情理的事，而對(duì)你正要解決的特定問(wèn)題并沒(méi)提出具體的勸告(這正是元認(rèn)知知識(shí))?！薄叭绻麊?wèn)得是地方，是時(shí)候，就可能引出好的答案，引出正確的想法，或一個(gè)能夠推動(dòng)解題進(jìn)程的合宜的步子?！?在解題教學(xué)中，教師為學(xué)生所能做的最大好事是通過(guò)比較自然的幫助，特別應(yīng)當(dāng)反復(fù)經(jīng)常地提出這些提示語(yǔ)，促使他自己想出一個(gè)好念頭。這樣的指導(dǎo)，可以使學(xué)生找到使用各種提示語(yǔ)的正確方法。因?yàn)檫@些都是元認(rèn)知知識(shí)，超越了具體對(duì)對(duì)象而實(shí)用于任何問(wèn)題，從而學(xué)生就學(xué)到比任何具體數(shù)學(xué)知識(shí)更重要的東西。4.2 善于提煉自己的“提示語(yǔ)”對(duì)善于解決問(wèn)題而已經(jīng)擁有這些常識(shí)的人來(lái)說(shuō)，這些常識(shí)性提示語(yǔ)似乎很自然、很平凡、很不起眼，但是他們往往不注意用明確的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)他的行動(dòng)，而波利亞則以自己的明確意識(shí)，清晰地表達(dá)出這些觀點(diǎn)。 因此，一方面需要學(xué)習(xí)運(yùn)用波利亞的元認(rèn)知監(jiān)控的提示語(yǔ)，培養(yǎng)良好的解題元認(rèn)知習(xí)慣，另一方面解題者還應(yīng)當(dāng)從自己的體驗(yàn)中提煉和總結(jié)自己在解題監(jiān)控中的經(jīng)驗(yàn)和體會(huì)，形成有自己風(fēng)格的元認(rèn)知監(jiān)控的提示語(yǔ)。盡管個(gè)體從事的解決問(wèn)題活動(dòng)的實(shí)踐千差萬(wàn)別，但“進(jìn)行自我監(jiān)控”卻是從事各種解題活動(dòng)時(shí)的一種共同特征，而且個(gè)體對(duì)不同類(lèi)型解題活動(dòng)進(jìn)行自我監(jiān)控的實(shí)質(zhì)是相同的。因此，在任何一種解題活動(dòng)中的自我監(jiān)控都具有廣泛的遷移性，可以用于多種不同的實(shí)踐活動(dòng)上。這表明，數(shù)學(xué)解題活動(dòng)的元認(rèn)知知識(shí)和體驗(yàn)可以用于其它領(lǐng)域的解題活動(dòng)之中，而其它領(lǐng)域解題活動(dòng)的元認(rèn)知知識(shí)和體驗(yàn)也可以用于數(shù)學(xué)解題活動(dòng)之中。 元認(rèn)知不僅來(lái)源和運(yùn)用于文化知識(shí)的學(xué)習(xí)，還來(lái)自于游戲、體育及其它活動(dòng)之中。例如學(xué)習(xí)打乒乓球，打球者要始終監(jiān)控自己的每一個(gè)擊球動(dòng)作，從球的落點(diǎn)、方向、速度、高度、旋轉(zhuǎn)等，及時(shí)判斷該如何調(diào)整自己的擊球動(dòng)作，這樣他的技術(shù)才會(huì)較快地提高。游戲中也包含了許多對(duì)自己活動(dòng)監(jiān)控、調(diào)整，因而包含了大量的元認(rèn)知活動(dòng)。重要的是找出關(guān)于處理各類(lèi)問(wèn)題所共有的特征來(lái)；找出與問(wèn)題的主題無(wú)關(guān)的一般特征來(lái)。更為重要的是這些元認(rèn)知活動(dòng)是主體獨(dú)立主動(dòng)進(jìn)行的，其所獲得的元認(rèn)知知識(shí)和體驗(yàn)，都是自己逐步感悟和摸索出來(lái)的，也就是自己建構(gòu)起來(lái)的，這樣才可能具有很強(qiáng)的遷移性，利于遷移