2019-2020學(xué)年天津市和平區(qū)第一中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2019-2020學(xué)年天津市和平區(qū)第一中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1命題“，”的否定是（ ）A，B，C，D，【答案】D【解析】直接利用命題的否定定義得到答案.【詳解】命題“，”的否定是：，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了命題的否定，意在考查學(xué)生對于命題否定的掌握情況.2復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）等于（）ABCD【答案】B【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，化簡 ，即可求解【詳解】由題意，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算可得復(fù)數(shù)，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題3設(shè)是不為零的實(shí)數(shù)，則“且”是“拋物線的焦點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【解析】計(jì)算拋物線的焦點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)等價于且，根據(jù)范圍大小得到答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為在點(diǎn)的左側(cè)，等價于且 且是且的必要不充分條件故選：【點(diǎn)睛】本題考查了必要不充分條件，意在考查學(xué)生的推斷能力.4已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則（ ）ABCD【答案】D【解析】計(jì)算得到長軸長為短軸長為，根據(jù)數(shù)量關(guān)系計(jì)算得到答案.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)在軸，故長軸長為短軸長為 故選：【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的長軸和短軸的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5已知雙曲線方程為，過點(diǎn)作直線與該雙曲線交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰好為中點(diǎn)，則直線的方程為（ ）ABCD【答案】A【解析】先設(shè)，由題意得到，兩式作差整理，結(jié)合題意，求出直線斜率，即可得出直線方程.【詳解】設(shè)，由題意可得：，兩式作差可得：，即，又點(diǎn)恰好為中點(diǎn)，所以直線的斜率為：，因此，直線的方程為：，即.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線中點(diǎn)弦所在直線方程問題，熟記雙曲線的幾何性質(zhì)與直線的斜率公式即可，屬于?？碱}型.6若點(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（ ）ABCD【答案】C【解析】設(shè)，則，根據(jù)函數(shù)的最值得到答案.【詳解】點(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，則 設(shè) 則，當(dāng)時，函數(shù)有最大值為 故選：【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的參數(shù)方程，向量數(shù)量積的最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.7雙曲線的漸近線與拋物線相交于，若的垂心為的焦點(diǎn)，則（ ）ABCD【答案】C【解析】設(shè)，解得，根據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)，則 解得：，同理 ，根據(jù)得到 解得 故選：【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線和拋物線的綜合題型，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線右支與焦點(diǎn)為的拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）ABCD【答案】C【解析】聯(lián)立方程得到，計(jì)算得到，計(jì)算得到答案.【詳解】聯(lián)立方程 ，故漸近線為故選：【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.二、填空題9已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，為實(shí)數(shù))為純虛數(shù)，則_.【答案】.【解析】化簡得到，計(jì)算，代入計(jì)算模長得到答案.【詳解】為純虛數(shù)，故 故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡，復(fù)數(shù)模的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10若，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，若，則到軸的距離為_【答案】.【解析】根據(jù)余弦定理得到，計(jì)算，再利用面積公式得到，計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)余弦定理得到： 故 故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線面積相關(guān)問題，利用等面積法可以簡化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.11已知直線，拋物線圖像上的一動點(diǎn)到直線與它到拋物線準(zhǔn)線距離之和的最小值為_【答案】.【解析】計(jì)算焦點(diǎn)為，根據(jù)拋物線性質(zhì)得到最小值為焦點(diǎn)到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算得到答案.【詳解】拋物線焦點(diǎn)為 拋物線上動點(diǎn)到直線與它到拋物線準(zhǔn)線距離之和等于點(diǎn)到直線和點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和最小值為焦點(diǎn)到直線的距離 故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的最值問題，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離是解題的關(guān)鍵.12已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，以線段為直徑的圓與橢圓交于點(diǎn)，則橢圓的方程為_【答案】.【解析】根據(jù)，和得到橢圓方程.【詳解】根據(jù)題意知：，故 橢圓的方程為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)換能力.13已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與圓相切于點(diǎn)，且直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為_【答案】【解析】畫出圖像,根據(jù)線段成比例的性質(zhì)與雙曲線的定義進(jìn)行列式求解出的關(guān)系,再化簡求得離心率即可.【詳解】如圖,由題可知,則,則,又,又作,可得.則.在中,；即,得,又.化簡可得,雙曲線的離心率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的幾何意義以及離心率的求解方法等,需要畫圖分析其中的關(guān)系進(jìn)行列式求解,屬于中等題型.14如圖，過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，若且，=則此拋物線的方程為_【答案】.【解析】如圖所示：過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線于，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線于，根據(jù)相似得到，在利用相似得到，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線于，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線于故， 故拋物線方程為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線方程，利用相似可以簡化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.三、解答題15已知命題：方程所表示的曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；命題：實(shí)數(shù)滿足不等式（1）若命題為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若命題是命題的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意得到，計(jì)算得到答案.（2）根據(jù)充分不必要條件得到范圍的大小關(guān)系，計(jì)算得到答案.【詳解】（1）方程所表示的曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故，（2）命題：實(shí)數(shù)滿足不等式故命題是命題的充分不必要條件，則【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)命題的真假和充分不必要條件計(jì)算參數(shù)，抓住范圍的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵.16已知橢圓，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)（1）若，求的面積；（2）是否存在著直線，使得當(dāng)經(jīng)過橢圓左頂點(diǎn)且與橢圓相交于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，滿足，若存在，請求出直線的方程；若不存在，請說明理由【答案】（1）；（2）或，理由見解析.【解析】（1）聯(lián)立方程解得，判斷為直角三角形，再利用面積公式計(jì)算得到答案.（2）聯(lián)立方程計(jì)算，根據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】（1），（2）設(shè)故且，故即故或【點(diǎn)睛】本題考查了面積和橢圓與直線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力.17已知曲線上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，若過的兩條直線，的斜率之積為，且，分別交曲線于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，（1）求曲線的方程；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）32.【解析】（1）直接利用拋物線定義得到答案.（2）設(shè)方程為，聯(lián)立方程計(jì)算得到，利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】（1）根據(jù)拋物線的定義知：（2）設(shè)方程為，設(shè)方程為同理當(dāng)時等號成立【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡方程，弦長的最值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.18已知橢圓方程為：橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且（1）橢圓的方程；（2）求的面積的最大值.（3）若橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，經(jīng)過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，該直線與直線交于點(diǎn)，且點(diǎn)，均在第四象限.若的面積是面積的倍，求該直線方程【答案】（1）；（2）3；（3）.【解析】（1）直接計(jì)算得到答案.（2）聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理得到，計(jì)算得到利